Трихотомия (математика) - Trichotomy (mathematics)

В математика, закон трихотомия заявляет, что каждый настоящий номер может быть положительным, отрицательным или нулевым.^[1]

В более общем плане бинарное отношение р на набор Икс является трихотомический если для всех Икс и у в Икс, ровно один из xRy, yRx и Икс = у держит. Письмо р как <, это выражается в формальной логике как:

${\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.}$

Свойства

• Отношение трихотомично тогда и только тогда, когда оно асимметричный и полуконнекс.
• Если трихотомическое отношение также транзитивно, то это строгий общий порядок; это частный случай строгий слабый порядок.^[2][3]

Примеры

• На съемочной площадке Икс = {а,б,c}, Соотношение р = { (а,б), (а,c), (б,c)} транзитивен и трихотомичен, а значит, строгий общий заказ.
• На этом же множестве циклическое отношение р = { (а,б), (б,c), (c,а)} трихотомичен, но не транзитивен; это даже антитранзитивный.

Трихотомия по номерам

А закон трихотомии на каком-то наборе Икс чисел обычно выражает, что некоторое неявно заданное отношение порядка на Икс является трихотомическим. Примером может служить закон «Для произвольных действительных чисел Икс и у, ровно один из Икс < у, у < Икс, или Икс = у применяется "; некоторые авторы даже исправляют у быть нулем,^[1] полагаясь на добавку действительного числа линейно упорядоченная группа структура. Последний является группа снабжена трихотомическим орденом.

В классической логике это аксиома трихотомии справедливо для обычного сравнения действительных чисел и, следовательно, также для сравнений между целые числа и между рациональное число.^{[требуется разъяснение ]} Закон в целом не соблюдается интуиционистская логика.^{[нужна цитата ]}

В Теория множеств Цермело – Френкеля и Теория множеств Бернейса, закон трихотомии выполняется между Количественные числительные удобных наборов даже без аксиома выбора. Если выбранная аксиома верна, то трихотомия выполняется между произвольными количественными числами (поскольку в этом случае все они хорошо упорядочиваются).^[4]

Смотрите также

• Begriffsschrift содержит раннюю формулировку закона трихотомии
• Дихотомия
• Закон непротиворечивости
• Закон исключенного среднего
• Трехстороннее сравнение

использованная литература

1. Закон о трихотомии в MathWorld
2. Джерролд Э. Марсден И Майкл Дж. Хоффман (1993) Элементарный классический анализ, стр. 27, В. Х. Фриман и компания ISBN  0-7167-2105-8
3. H.S. Медведь (1997) Введение в математический анализ, стр.11, Академическая пресса ISBN  0-12-083940-7
4. Бернейс, Пол (1991). Аксиоматическая теория множеств. Dover Publications. ISBN  0-486-66637-9.