Унипотентный - Unipotent - Wikipedia

В математика, а унипотентный элемент р из звенеть р один такой, что р - 1 - это нильпотентный элемент; другими словами, (р − 1)п равен нулю для некоторых п.

В частности, квадратная матрица, M, это унипотентная матрица, тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен, п(т), является степенью т - 1. Таким образом, все собственные значения унипотентной матрицы равны 1.

Период, термин квазиунипотентный означает, что некоторая власть односторонна, например, для диагонализуемая матрица с собственные значения это все корни единства.

В унипотентная аффинная алгебраическая группа, все элементы унипотентны (см. ниже определение элемента, являющегося унипотентным в такой группе).

Определение

Определение с матрицами

Рассмотрим группу верхнетреугольных матриц с на диагонали, значит, это группа матриц[1]

затем унипотентная группа можно определить как подгруппу некоторых . С помощью теория схем группа можно определить как групповую схему

а аффинная групповая схема унипотентна, если она является замкнутой групповой схемой этой схемы.

Определение с теорией колец

Элемент, Икс, аффинного алгебраическая группа унипотентен, когда связанный с ним правый оператор перевода, рИкс, на аффинное координатное кольцо А[грамм] из грамм локально унипотентна как элемент кольца линейного эндоморфизма А[грамм]. (Локально унипотентность означает, что ее ограничение на любое конечномерное стабильное подпространство А[грамм] унипотентен в обычном кольцевом смысле.)

Аффинная алгебраическая группа называется всесильный если все его элементы унипотентны. Любая унипотентная алгебраическая группа является изоморфный к замкнутой подгруппе группы верхнетреугольных матриц с диагональными элементами 1, и, наоборот, любая такая подгруппа унипотентна. В частности, любая унипотентная группа является нильпотентная группа, хотя обратное неверно (контрпример: диагональные матрицы GLп(k)).

Например, стандартное представление на со стандартной базой имеет фиксированный вектор .

Определение с теорией представлений

Если унипотентная группа действует на аффинном многообразии, все ее орбиты замкнуты, а если она действует линейно в конечномерном векторном пространстве, то у нее есть ненулевой фиксированный вектор. Фактически последнее свойство характеризует унипотентные группы.[1] В частности, это означает, что нет нетривиальных полупростые представления.

Примеры

Uп

Конечно, группа матриц односторонен. С использованием Нижняя Центральная серия

куда

и

есть ассоциированные унипотентные группы. Например, на , центральный ряд - это матричные группы

, , , и

даны некоторые индуцированные примеры унипотентных групп.

граммап

Аддитивная группа является унипотентной групповой группой благодаря вложению

Обратите внимание, что умножение матриц дает

следовательно, это групповое вложение. В более общем смысле есть вложение с карты

Используя теорию схем, дается функтором

куда

Ядро Фробениуса

Рассмотрим функтор в подкатегории , есть подфунктор куда

поэтому он задается ядром Эндоморфизм Фробениуса.

Классификация унипотентных групп над характеристикой 0

Сверх характеристики существует хорошая классификация унипотентных алгебраических групп относительно нильпотентные алгебры Ли. Напомним, что нильпотентная алгебра Ли - это подалгебра некоторой таким образом, что повторное сопряженное действие в конечном итоге завершается нулевым отображением. В терминах матриц это означает, что это подалгебра из , матрицы с за .

Тогда существует эквивалентность категорий конечномерных нильпотентных алгебр Ли и унипотентных алгебраических групп[1]стр. 261. Это можно построить с помощью Ряд Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа , где для конечномерной нильпотентной алгебры Ли отображение

дает структуру унипотентной алгебраической группы на .

В другом направлении экспоненциальная карта переводит любую нильпотентную квадратную матрицу в унипотентную матрицу. Более того, если U коммутативная унипотентная группа, экспоненциальное отображение индуцирует изоморфизм алгебры Ли U к U сам.

Замечания

Унипотентные группы над алгебраически замкнутым полем любого заданного измерения в принципе могут быть классифицированы, но на практике сложность классификации очень быстро возрастает с увеличением размера, поэтому люди[ВОЗ? ] склонны сдаваться где-то около измерения 6.

Унипотентный радикал

В унипотентный радикал из алгебраическая группа грамм набор унипотентных элементов в радикальный из грамм. Это связная унипотентная нормальная подгруппа группы грамм, и содержит все другие такие подгруппы. Группа называется редуктивной, если ее унипотентный радикал тривиален. Если грамм редуктивно, то его радикал - тор.

Разложение алгебраических групп

Алгебраические группы можно разложить на унипотентные группы, мультипликативные группы и абелевы многообразия, но утверждение о том, как они распадаются, зависит от характеристики их базового поля.

Характеристика 0

Сверх характеристики есть хорошая теорема о разложении алгебраической группы связывая его структуру со структурой линейная алгебраическая группа и Абелева разновидность. Есть краткая точная последовательность групп[2]стр. 8

куда - абелева разновидность, имеет мультипликативный тип, значение и - унипотентная группа.

Характеристика p

Когда характеристика основного поля равна есть аналогичное заявление[2] для алгебраической группы : существует наименьшая подгруппа такой, что

  1. унипотентная группа
  2. является расширением абелевого многообразия группой мультипликативного типа.
  3. уникален до Соизмеримость в и уникален до Изогения.

Разложение Жордана

Любой элемент грамм линейной алгебраической группы над идеальное поле можно записать однозначно как произведение грамм = граммтыграммs коммутирующих унипотентных и полупростой элементы граммты и граммs. В случае группы GLп(C), по сути, это говорит о том, что любая обратимая комплексная матрица сопряжена с произведением диагональной матрицы и верхнетреугольной матрицы, что является (более или менее) мультипликативной версией Разложение Жордана – Шевалле.

Существует также вариант разложения Жордана для групп: любая коммутативная линейная алгебраическая группа над идеальное поле является произведением унипотентной группы и полупростой группы.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Милн, Дж. С. Линейные алгебраические группы (PDF). С. 252–253, Унипотентные алгебраические группы.
  2. ^ а б Брион, Мишель (27.09.2016). «Коммутативные алгебраические группы с точностью до изогении». arXiv:1602.00222 [math.AG ].