Модуль Верма - Verma module

Модули Verma, названный в честь Дая-Нанд Верма, являются объектами в теория представлений из Алгебры Ли, филиал математика.

Модули Verma можно использовать в классификация неприводимых представлений комплексной полупростой алгебры Ли. В частности, хотя сами модули Верма бесконечномерны, их частные можно использовать для построения конечномерных представлений с наибольшим весом. ${\displaystyle \lambda }$, куда ${\displaystyle \lambda }$ является доминирующий и интегральная.^[1] Их гомоморфизмы соответствуют инвариантные дифференциальные операторы над многообразия флагов.

Неформальное строительство

Вес модуля Верма с наибольшим весом ${\displaystyle \lambda }$

Мы можем объяснить идею модуля Верма следующим образом.^[2]. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ быть полупростая алгебра Ли (над ${\displaystyle \mathbb {C} }$, для простоты). Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ быть фиксированным Подалгебра Картана из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и разреши ${\displaystyle R}$ быть связанной корневой системой. Позволять ${\displaystyle R^{+}}$ фиксированный набор положительных корней. Для каждого ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$, выберите ненулевой элемент ${\displaystyle X_{\alpha }}$ для соответствующего корневого пространства ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ и ненулевой элемент ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ в корневом пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$. Мы думаем о ${\displaystyle X_{\alpha }}$как "повышающие операторы" и ${\displaystyle Y_{\alpha }}$Хочу как "понижающие операторы".

Теперь позвольте ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ - произвольный линейный функционал, не обязательно доминирующий или целочисленный. Наша цель - построить представление ${\displaystyle W_{\lambda }}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ с наибольшим весом ${\displaystyle \lambda }$ который порождается одним ненулевым вектором ${\displaystyle v}$ с весом ${\displaystyle \lambda }$. Модуль Верма является одним из таких модулей наивысшего веса, который является максимальным в том смысле, что любой другой модуль старшего веса с наибольшим весом ${\displaystyle \lambda }$ является фактором модуля Верма. Оказывается, модули Верма всегда бесконечномерны; если ${\displaystyle \lambda }$ является доминантным интегралом, однако можно построить конечномерный фактор-модуль модуля Верма. Таким образом, модули Верма играют важную роль в классификация конечномерных представлений из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. В частности, они являются важным инструментом в жесткой части теоремы о старшем весе, а именно в демонстрации того, что каждый доминирующий интегральный элемент на самом деле возникает как старший вес конечномерного неприводимого представления ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Теперь мы пытаемся интуитивно понять, что модуль Верма с наибольшим весом ${\displaystyle \lambda }$ должно выглядеть. С ${\displaystyle v}$ должен быть вектором наивысшего веса с весом ${\displaystyle \lambda }$, мы обязательно хотим

${\displaystyle H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$

и

${\displaystyle X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

потом ${\displaystyle W_{\lambda }}$ должны быть составными элементами, полученными опусканием ${\displaystyle v}$ действием ${\displaystyle Y_{\alpha }}$s:

${\displaystyle Y_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}\cdot v}$.

Теперь мы навязываем Только те отношения между векторами указанного выше вида, которые требуются коммутационными соотношениями между ${\displaystyle Y}$с. В частности, модуль Верма всегда бесконечномерен. Вес модуля Верма с наибольшим весом ${\displaystyle \lambda }$ будет состоять из всех элементов ${\displaystyle \mu }$ что можно получить из ${\displaystyle \lambda }$ путем вычитания целочисленных комбинаций положительных корней. На рисунке показаны веса модуля Верма для ${\displaystyle \mathrm {sl} (3;\mathbb {C} )}$.

Простой аргумент переупорядочения показывает, что существует только один возможный способ, которым полная алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ может действовать на этом пространстве. В частности, если ${\displaystyle Z}$ любой элемент ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, то по легкой части теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта мы можем переписать

${\displaystyle ZY_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}}$

как линейная комбинация произведений элементов алгебры Ли на повышающие операторы ${\displaystyle X_{\alpha }}$ действующие в первую очередь элементы подалгебры Картана, а в конце - понижающие операторы ${\displaystyle Y_{\alpha }}$. Применение этой суммы условий к ${\displaystyle v}$, любой член с повышающим оператором равен нулю, любые множители в Картане действуют как скаляры, и, таким образом, мы получаем элемент исходной формы.

Чтобы лучше понять структуру модуля Верма, мы можем выбрать порядок положительных корней как ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ и пусть соответствующие операторы понижения обозначены ${\displaystyle Y_{1},\ldots Y_{n}}$. Затем с помощью простого аргумента переупорядочения каждый элемент вышеуказанной формы может быть переписан как линейная комбинация элементов с ${\displaystyle Y}$в определенном порядке:

${\displaystyle Y_{1}^{k_{1}}\cdots Y_{n}^{k_{n}}v}$,

где ${\displaystyle k_{j}}$- неотрицательные целые числа. Собственно оказывается, что такие векторы составляют основу модуля Верма.

Хотя это описание модуля Verma дает интуитивное представление о том, что ${\displaystyle W_{\lambda }}$ похоже, осталось дать его строгое построение. В любом случае модуль Верма дает - для любой ${\displaystyle \lambda }$, не обязательно доминирующий или интегральный - представление с наибольшим весом ${\displaystyle \lambda }$. Цена, которую мы платим за эту относительно простую конструкцию, заключается в том, что ${\displaystyle W_{\lambda }}$ всегда бесконечен. В случае, когда ${\displaystyle \lambda }$ является доминантным и целым, можно построить конечномерный неприводимый фактор модуля Верма.^[3]

Случай ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$

Позволять ${\displaystyle {X,Y,H}}$ быть обычной основой для ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$:

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$

с подалгеброй Картана, являющейся оболочкой ${\displaystyle H}$. Позволять ${\displaystyle \lambda }$ определяться ${\displaystyle \lambda (H)=m}$ для произвольного комплексного числа ${\displaystyle m}$. Тогда модуль Верма с наибольшим весом ${\displaystyle \lambda }$ натянута на линейно независимые векторы ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\dots }$ а действие базовых элементов следующее:^[4]

${\displaystyle Y\cdot v_{j}=v_{j+1};\quad X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1};\quad H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}$.

(Это, в частности, означает, что ${\displaystyle H\cdot v_{0}=mv_{0}}$ и это ${\displaystyle X\cdot v_{0}=0}$.) Эти формулы мотивированы тем, как базисные элементы действуют в конечномерных представлениях ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$, за исключением того, что мы больше не требуем, чтобы "цепочка" собственных векторов для ${\displaystyle H}$ должен прекратиться.

В этой конструкции ${\displaystyle m}$ - произвольное комплексное число, не обязательно действительное, положительное или целое. Тем не менее, случай, когда ${\displaystyle m}$ неотрицательное целое число является особенным. В этом случае промежуток векторов ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ легко увидеть инвариантным - потому что ${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}$. Фактормодуль тогда является конечномерным неприводимым представлением ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ измерения ${\displaystyle m+1.}$

Определение модулей Верма

Есть две стандартные конструкции модуля Верма, каждая из которых включает концепцию универсальная обертывающая алгебра. Продолжаем обозначения предыдущего раздела: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ - комплексная полупростая алгебра Ли, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ фиксированная подалгебра Картана, ${\displaystyle R}$ ассоциированная корневая система с фиксированным набором ${\displaystyle R^{+}}$ положительных корней. Для каждого ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$, выберем ненулевые элементы ${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ и ${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$.

Как фактор обертывающей алгебры

Первая конструкция^[5] модуля Верма является фактором универсальной обертывающей алгебры ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Поскольку модуль Верма должен быть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль, это тоже будет ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$-модуль универсальным свойством обертывающей алгебры. Таким образом, если у нас есть модуль Верма ${\displaystyle W_{\lambda }}$ с вектором наибольшего веса ${\displaystyle v}$, будет линейная карта ${\displaystyle \Phi }$ из ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ в ${\displaystyle W_{\lambda }}$ данный

${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v,\quad x\in U({\mathfrak {g}})}$.

С ${\displaystyle W_{\lambda }}$ должен быть сгенерирован ${\displaystyle v}$, карта ${\displaystyle \Phi }$ должно быть сюръективным. С ${\displaystyle v}$ должен быть вектором старшего веса, ядром ${\displaystyle \Phi }$ должен включать все корневые векторы ${\displaystyle X_{\alpha }}$ за ${\displaystyle \alpha }$ в ${\displaystyle R^{+}}$. Поскольку также ${\displaystyle v}$ должен быть вектором веса с весом ${\displaystyle \lambda }$, ядро ${\displaystyle \Phi }$ должен включать все векторы вида

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Наконец, ядро ${\displaystyle \Phi }$ должен быть левым идеалом в ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$; в конце концов, если ${\displaystyle x\cdot v=0}$ тогда ${\displaystyle (yx)\cdot v=y\cdot (x\cdot v)=0}$ для всех ${\displaystyle y\in U({\mathfrak {g}})}$.

Предыдущее обсуждение мотивирует следующую конструкцию модуля Верма. Мы определяем ${\displaystyle W_{\lambda }}$ как факторное векторное пространство

${\displaystyle W_{\lambda }=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}$,

куда ${\displaystyle I_{\lambda }}$ левый идеал, порожденный всеми элементами вида

${\displaystyle X_{\alpha },\quad \alpha \in R^{+},}$

и

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Потому что ${\displaystyle I_{\lambda }}$ левый идеал, естественное левое действие ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ сам по себе переносится на частное. Таким образом, ${\displaystyle W_{\lambda }}$ это ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$-модуль и, следовательно, также ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль.

Расширением скаляров

"расширение скаляров "процедура - это способ замены левого модуля ${\displaystyle V}$ над одной алгеброй ${\displaystyle A_{1}}$ (не обязательно коммутативный) в левый модуль над большей алгеброй ${\displaystyle A_{2}}$ который содержит ${\displaystyle A_{1}}$ как подалгебра. Мы можем думать о ${\displaystyle A_{2}}$ как право ${\displaystyle A_{1}}$-модуль, где ${\displaystyle A_{1}}$ действует на ${\displaystyle A_{2}}$ умножением справа. С ${\displaystyle V}$ левый ${\displaystyle A_{1}}$-модуль и ${\displaystyle A_{2}}$ это право ${\displaystyle A_{1}}$-модуль, мы можем сформировать тензорное произведение из двух над алгеброй ${\displaystyle A_{1}}$:

${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$.

Теперь, поскольку ${\displaystyle A_{2}}$ левый ${\displaystyle A_{2}}$-модуля над собой, указанное выше тензорное произведение несет структуру левого модуля над большей алгеброй ${\displaystyle A_{2}}$, однозначно определяемая требованием, чтобы

${\displaystyle a_{1}\cdot (a_{2}\otimes v)=(a_{1}a_{2})\otimes v}$

для всех ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ в ${\displaystyle A_{2}}$. Таким образом, начиная слева ${\displaystyle A_{1}}$-модуль ${\displaystyle V}$, мы создали левую ${\displaystyle A_{2}}$-модуль ${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$.

Теперь применим эту конструкцию к полупростой алгебре Ли. Мы позволяем ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ быть подалгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ охватывает ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ и корневые векторы ${\displaystyle X_{\alpha }}$ с ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$. (Таким образом, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ является «борелевской подалгеброй» в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.) Мы можем образовать левый модуль ${\displaystyle F_{\lambda }}$ над универсальной обертывающей алгеброй ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ следующее:

• ${\displaystyle F_{\lambda }}$ - одномерное векторное пространство, натянутое на один вектор ${\displaystyle v}$ вместе с ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$-модуль структура такая, что ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ действует как умножение на ${\displaystyle \lambda }$ и положительные корневые пространства действовать банально:

${\displaystyle \quad H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}};\quad X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

Мотивация этой формулы заключается в том, что она описывает, как ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ предполагается, что он действует на вектор старшего веса в модуле Верма.

Теперь из Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта. который ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ является подалгеброй ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$. Таким образом, мы можем применить расширение техники скаляров для преобразования ${\displaystyle F_{\lambda }}$ слева ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$-модуль в левую ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$-модуль ${\displaystyle W_{\lambda }}$ следующим образом:

${\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }}$.

С ${\displaystyle W_{\lambda }}$ левый ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$-модуль, это, в частности, модуль (представление) для ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Структура модуля Верма

Какую бы конструкцию модуля Верма ни использовали, нужно доказать, что он нетривиален, т. Е. Не нулевой модуль. На самом деле, можно использовать теорему Пуанкаре – Биркгофа – Витта, чтобы показать, что основное векторное пространство ${\displaystyle W_{\lambda }}$ изоморфен

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

куда ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$ подалгебра Ли, порожденная отрицательными корневыми пространствами ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (это ${\displaystyle Y_{\alpha }}$s). ^[6]

Основные свойства

Модули Верма, рассматриваемые как ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модули, находятся модули наибольшего веса, т.е. они порождаются вектор наибольшего веса. Этот вектор наибольшего веса ${\displaystyle 1\otimes 1}$ (первый ${\displaystyle 1}$ единица в ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ а второй - единица в поле ${\displaystyle F}$считается ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$-модуль${\displaystyle F_{\lambda }}$) и имеет вес ${\displaystyle \lambda }$.

Кратности

Модули Verma весовые модули, т.е. ${\displaystyle W_{\lambda }}$ это прямая сумма всего его весовые пространства. Каждое весовое пространство в ${\displaystyle W_{\lambda }}$ конечномерна, а размерность ${\displaystyle \mu }$-весовое пространство ${\displaystyle W_{\mu }}$ это количество способов выражения ${\displaystyle \lambda -\mu }$ как сумма положительные корни (это тесно связано с так называемым Статистическая сумма Костанта ). Это утверждение следует из сделанного ранее утверждения, что модуль Верма изоморфен как векторное пространство модулю ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$вместе с теоремой Пуанкаре – Биркгофа – Витта для ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$.

Универсальная собственность

Модули Verma обладают очень важным свойством: если ${\displaystyle V}$ - любое представление, порожденное вектором старшего веса веса ${\displaystyle \lambda }$, Существует сюръективный ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-гомоморфизм ${\displaystyle W_{\lambda }\to V.}$ То есть все представления с наибольшим весом ${\displaystyle \lambda }$ которые порождаются вектором старшего веса (так называемые модули наибольшего веса ) находятся частные из ${\displaystyle W_{\lambda }.}$

Неприводимый фактор-модуль

${\displaystyle W_{\lambda }}$ содержит единственный максимальный подмодуль, а его частное - единственное (с точностью до изоморфизм ) неприводимое представление с наибольшим весом ${\displaystyle \lambda .}$^[7] Если наибольший вес ${\displaystyle \lambda }$ является доминирующим и целым, затем доказывается, что это неприводимое частное действительно конечномерно.^[8]

В качестве примера рассмотрим случай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ обсуждалось выше. Если наибольший вес ${\displaystyle m}$ является «доминирующим интегралом», что означает просто неотрицательное целое число, тогда ${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$ и размах элементов ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ инвариантен. Тогда фактор-представление неприводимо с размерностью ${\displaystyle m+1}$. Фактор-представление натянуто на линейно независимые векторы ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}}$. Действие ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ то же, что и в модуле Верма, Кроме который ${\displaystyle Yv_{m}=0}$ в частном по сравнению с ${\displaystyle Yv_{m}=v_{m+1}}$ в модуле Верма.

Модуль Верма ${\displaystyle W_{\lambda }}$ само по себе неприводимо тогда и только тогда, когда ни одна из координат ${\displaystyle \lambda }$ в основе основные веса из набора ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$.

Другие свойства

Модуль Верма ${\displaystyle W_{\lambda }}$ называется обычный, если его старший вес λ находится на аффинной орбите Вейля доминирующий масса ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$. Другими словами, существует элемент w из Группа Вейля W такой, что

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$

куда ${\displaystyle \cdot }$ это аффинное действие из Группа Вейля.

Модуль Верма ${\displaystyle W_{\lambda }}$ называется единственное число, если на аффинной орбите λ нет доминирующего веса. В этом случае существует вес ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$ так что ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$ находится на стене фундаментальная камера Вейля (δ - сумма всех основные веса ).

Гомоморфизмы модулей Верма

Для любых двух весов ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ нетривиальный гомоморфизм

${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

может существовать, только если ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \lambda }$ связаны с аффинное действие из Группа Вейля ${\displaystyle W}$ алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Это легко следует из Теорема Хариш-Чандры на бесконечно малые центральные символы.

Каждый гомоморфизм модулей Верма инъективен и измерение

${\displaystyle \dim(\operatorname {Hom} (W_{\mu },W_{\lambda }))\leq 1}$

для любого ${\displaystyle \mu ,\lambda }$. Итак, существует ненулевое ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$ если и только если ${\displaystyle W_{\mu }}$ является изоморфный в (уникальный) подмодуль ${\displaystyle W_{\lambda }}$.

Полная классификация гомоморфизмов модулей Верма была проведена Бернштейном – Гельфандом – Гельфандом.^[9] и Верма^[10] и его можно резюмировать в следующем утверждении:

Существует ненулевой гомоморфизм ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$ тогда и только тогда, когда существует

последовательность весов

${\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda }$

такой, что ${\displaystyle \nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )}$ для некоторых положительных корней ${\displaystyle \gamma _{i}}$ (и ${\displaystyle s_{\gamma _{i}}}$ соответствующий корневое отражение и ${\displaystyle \delta }$ это сумма всех основные веса ) и для каждого ${\displaystyle 1\leq i\leq k,(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})}$ натуральное число (${\displaystyle H_{\gamma _{i}}}$ это корут связанный с корнем ${\displaystyle \gamma _{i}}$).

Если модули Верма ${\displaystyle M_{\mu }}$ и ${\displaystyle M_{\lambda }}$ находятся обычный, то существует единственный доминирующий вес ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$ и уникальные элементы ш, ш' из Группа Вейля W такой, что

${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$

и

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},}$

куда ${\displaystyle \cdot }$ это аффинное действие группы Вейля. Если веса больше интеграл, то существует ненулевой гомоморфизм

${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

если и только если

${\displaystyle w\leq w'}$

в Заказ Брюа группы Вейля.

Серия Иордана – Гёльдера

Позволять

${\displaystyle 0\subset A\subset B\subset W_{\lambda }}$

быть последовательностью ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модулей так, что фактор-группа B / A неприводима с самый высокий вес μ. Тогда существует ненулевой гомоморфизм ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$.

Легким следствием этого является то, что для любого модули наибольшего веса ${\displaystyle V_{\mu },V_{\lambda }}$ такой, что

${\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }}$

существует ненулевой гомоморфизм ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$.

Резолюция Бернштейна – Гельфанда – Гельфанда.

Позволять ${\displaystyle V_{\lambda }}$ быть конечномерным неприводимое представление из Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ с самый высокий вес λ. Из раздела о гомоморфизмах модулей Верма мы знаем, что существует гомоморфизм

${\displaystyle W_{w'\cdot \lambda }\to W_{w\cdot \lambda }}$

если и только если

${\displaystyle w\leq w'}$

в Заказ Брюа из Группа Вейля. Следующая теорема описывает разрешающая способность из ${\displaystyle V_{\lambda }}$ в терминах модулей Верма (доказано Бернштейн –Гельфанд –Гельфанд в 1975 г.^[11]) :

Существует точная последовательность ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-гомоморфизмы

${\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=n}W_{w\cdot \lambda }\to \cdots \to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=2}W_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=1}W_{w\cdot \lambda }\to W_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0}$

куда п - длина наибольшего элемента группы Вейля.

Аналогичное разрешение существует для обобщенные модули Верма также. Обозначается кратко как Разрешение BGG.

Смотрите также

• Классификация конечномерных представлений алгебр Ли
• Теорема старшего веса
• Обобщенный модуль Верма
• Модуль Вейля

Примечания

1. Например., Зал 2015 Глава 9
2. Зал 2015 Раздел 9.2
3. Зал 2015 Разделы 9.6 и 9.7
4. Зал 2015 Разделы 9.2
5. Зал 2015 Раздел 9.5
6. Зал 2015 Теорема 9.14.
7. Зал 2015 Раздел 9.6
8. Зал 2015 Раздел 9.7
9. Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Гельфанд С.И. Структура представлений, порождаемых векторами старшего веса // Функционал. Анальный. Appl. 5 (1971)
10. Верма Н., Структура некоторых индуцированных представлений комплексных полупростых алгебр Ли, Бюлл. Амер. Математика. Soc. 74 (1968)
11. Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М., Гельфанд С. И., Дифференциальные операторы на базовом аффинном пространстве и изучение g-модулей, групп Ли и их представлений, Под ред. И. М. Гельфанда, Адам Хильгер, Лондон, 1975.

Рекомендации

• Bäuerle, G.G.A; de Kerf, E.A .; тен Кроуд, A.P.E. (1997). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике. Исследования по математической физике. 7. Северная Голландия. Глава 20. ISBN  978-0-444-82836-1 - через ScienceDirect.
• Картер, Р. (2005), Алгебры Ли конечного и аффинного типов, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-85138-1.
• Диксмье, Дж. (1977), Обертывающие алгебры, Амстердам, Нью-Йорк, Оксфорд: Северная Голландия, ISBN  978-0-444-11077-0.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Хамфрис, Дж. (1980), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Springer Verlag, ISBN  978-3-540-90052-8.
• Кнапп, А. В. (2002), Группы лжи за пределами введения (2-е изд.), Birkhäuser, p. 285, г. ISBN  978-0-8176-3926-6.
• Роча, Алвани (2001) [1994], «Разрешение BGG», Энциклопедия математики, EMS Press
• Roggenkamp, ​​K .; Стефанеску, М. (2002), Алгебра - Теория представлений, Спрингер, ISBN  978-0-7923-7114-4.

Эта статья включает материал из модуля Verma по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.