Слабая алгебра Хопфа - Weak Hopf algebra

В математика, слабые биалгебры являются обобщением биалгебры которые являются одновременно алгебрами и коалгебрами, но для которых условия совместимости между двумя структурами были «ослаблены». В том же духе, слабые алгебры Хопфа являются слабыми биалгебрами вместе с линейная карта S удовлетворяющие определенным условиям; они являются обобщениями Алгебры Хопфа.

Эти объекты были представлены Бемом, Ниллом и Шлачаньи. Первые мотивы к их изучению исходили от квантовая теория поля и операторные алгебры.^[1] Слабые алгебры Хопфа имеют довольно интересную теорию представлений; в частности, модули над полупростой конечной слабой алгеброй Хопфа категория слияния (что является моноидальная категория с дополнительными свойствами). Этингоф, Никшич и Острик также показали, что любая категория слияния эквивалентна категории модулей над слабой алгеброй Хопфа.^[2]

Определение

А слабая биалгебра ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ над полем ${\displaystyle k}$ это векторное пространство ${\displaystyle H}$ такой, что

• ${\displaystyle (H,\mu ,\eta )}$ образует ассоциативный алгебра с умножением ${\displaystyle \mu :H\otimes H\rightarrow H}$ и единица ${\displaystyle \eta :k\rightarrow H}$,
• ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ образует коассоциативный коалгебра с умножением ${\displaystyle \Delta :H\rightarrow H\otimes H}$ и считать ${\displaystyle \varepsilon :H\rightarrow k}$,

для которого выполняются следующие условия совместимости:

1. Мультипликативность коумножения:

   ${\displaystyle \Delta \circ \mu =(\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \sigma _{H,H}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )}$,

2. Слабая мультипликативность графа:

   ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ (\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta \otimes \mathrm {id} _{H})=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ (\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta ^{op}\otimes \mathrm {id} _{H})}$,

3. Слабая коумльтипликативность единицы:

   ${\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta \circ \eta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )\circ (\eta \otimes \eta )=(\mathrm {id} _{H}\otimes \mu ^{op}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )\circ (\eta \otimes \eta )}$,

куда ${\displaystyle \sigma _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V:v\otimes w\mapsto w\otimes v}$ переворачивает два тензорных фактора. более того ${\displaystyle \mu ^{op}=\mu \circ \sigma _{H,H}}$ - обратное умножение и ${\displaystyle \Delta ^{op}=\sigma _{H,H}\circ \Delta }$ противоположное коумножение. Обратите внимание, что мы также неявно используем Mac Lane теорема когерентности для моноидальной категории векторных пространств, отождествляющая ${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)}$ а также ${\displaystyle V\otimes k\cong V\cong k\otimes V}$.

Определение довольно очевидно, очевидно, что это совместимость между структурами алгебры и коалгебры, которая ослаблена.

А слабая алгебра Хопфа ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$ слабая биалгебра ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ с линейной картой ${\displaystyle S:H\to H}$, называется антипод, что удовлетворяет:

• ${\displaystyle \mu \circ (\mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ \Delta =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \sigma _{H,H})\circ (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\eta \otimes \mathrm {id} _{H})}$,
• ${\displaystyle \mu \circ (S\otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \varepsilon )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \mu )\circ (\sigma _{H,H}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \eta )}$,
• ${\displaystyle S=\mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (S\otimes \mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta }$.

Примеры

1. Алгебра Хопфа. Конечно любой Алгебра Хопфа является слабой алгеброй Хопфа.
2. Группоидная алгебра. Предполагать ${\displaystyle G=(G_{0},G_{1})}$ это группоид и разреши ${\displaystyle K[G]}$ - группоидная алгебра, другими словами, алгебра, порожденная морфизмами ${\displaystyle g\in G_{1}}$. Это становится слабой алгеброй Хопфа, если мы определим
   • ${\displaystyle \mu :K[G]\otimes K[G]\to K[G]~{\text{by}}~\mu (g\otimes h)=\left\{{\begin{array}{cl}g\circ h&{\text{if target(h) = source(g)}}\\0&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$
   • ${\displaystyle \eta :k\to K[G]~{\text{by}}~\eta (1)=\sum _{X\in G_{0}}\mathrm {id} _{X}}$
   • ${\displaystyle \Delta :K[G]\to K[G]\otimes K[G]~{\text{by}}~\Delta (g)=g\otimes g~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$
   • ${\displaystyle \varepsilon :K[G]\to k~{\text{by}}~\varepsilon (g)=1~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$
   • ${\displaystyle S:K[G]\to K[G]~{\text{by}}~S(g)=g^{-1}~{\text{for all}}~g\in G_{1}}$.

Обратите внимание, что этот второй пример является слабой алгеброй Хопфа, но нет а Алгебра Хопфа.

Теория представлений

Пусть H - полупростая конечная слабая алгебра Хопфа, тогда модули над H образуют полупростую жесткую моноидальную категорию с конечным числом простых объектов. Более того, пространства гомоморфизмов являются конечномерными векторными пространствами, а пространство эндоморфизмов простых объектов одномерным. Наконец, моноидальный блок - это простой объект. Такая категория называется категория слияния.

Можно показать, что некоторые моноидальные категории не являются модулями над алгеброй Хопфа. В случае категорий слияния (которые представляют собой просто моноидальные категории с дополнительными условиями) Этингоф, Никшич и Острик доказали, что любая категория слияния эквивалентна категории модулей над слабой алгеброй Хопфа.

Примечания

1. Бём, Нилл, Шлачаньи. п. 387
2. Этингоф, Никшич и Острик, Кор. 2.22

Рекомендации

• Бём, Габриэлла; Нилл, Флориан; Szlachányi, Kornel (1999). «Слабые алгебры Хопфа. I. Интегральная теория и ${\displaystyle C^{*}}$-структура". Журнал алгебры. 221 (2): 385–438. Дои:10.1006 / jabr.1999.7984.

• Этингоф, Павел; Никшич, Дмитрий; Острик, Виктор (2005). «По категориям фьюжн». Анналы математики. Вторая серия. 162 (2): 581–642. arXiv:математика / 0203060. Дои:10.4007 / анналы.2005.162.581.

• Караали, Gizem (2008). «Об алгебрах Хопфа и их обобщениях». Коммуникации в алгебре. 36 (12): 4341–4367. arXiv:математика / 0703441. Дои:10.1080/00927870802182424.