Классификация Вигнера - Wigners classification - Wikipedia

В математика и теоретическая физика, Классификация Вигнераклассификация неотрицательный (E ≥ 0) энергия неприводимые унитарные представления из Группа Пуанкаре которые имеют острые^{[когда определяется как? ]} масса собственные значения. (Поскольку эта группа некомпактна, эти унитарные представления бесконечномерны.) Она была введена Юджин Вигнер, чтобы классифицировать частицы и поля в физике - см. статью физика элементарных частиц и теория представлений. Он опирается на стабилизирующие подгруппы этой группы, получившие название Маленькие группы Вигнера различных массовых состояний.

В Инварианты Казимира группы Пуанкаре являются $C 1 = п μ п μ$ , куда $п$ это 4-импульсный оператор, и $C 2 = W α W α$ , куда $W$ это Псевдовектор Паули – Любанского. Собственные значения этих операторов служат для обозначения представлений. Первый связан с квадратом массы, а второй - с спиральность или же вращение.

Таким образом, физически релевантные представления могут быть классифицированы в зависимости от того, $м > 0$ ; $м = 0$ но $п 0 > 0$ ; и $м = 0$ с $п μ = 0$ . Вигнер обнаружил, что безмассовые частицы принципиально отличаются от массивных частиц.

Для первого случая обратите внимание, что собственное подпространство (видеть обобщенные собственные подпространства неограниченных операторов ) связана с $п =(м, 0,0,0)$ это представление из ТАК (3). в лучевая интерпретация, можно перейти к Отжим (3) вместо. Итак, массивные состояния классифицируются по неприводимому спину (3) унитарное представительство что характеризует их вращение, а положительная масса $м$ .
Для второго случая посмотрите на стабилизатор из $п =(к, 0,0, -к)$ . Это двойная крышка из SE (2) (видеть представление единичного луча ). У нас есть два случая, один из которых ремонты описываются целым кратным 1/2, называемым спиральность, а другое - представление «непрерывного спина».
Последний случай описывает вакуум. Единственное конечномерное унитарное решение - это тривиальное представление называется вакуум.

Массивные скалярные поля

В качестве примера представим себе неприводимое унитарное представление с $м > 0$ и $s = 0$ . Это соответствует пространству массивные скалярные поля.

Позволять $M$ быть гиперболоидным листом, определяемым:

{ displaystyle P_ {0} ^ {2} -P_ {1} ^ {2} -P_ {2} ^ {2} -P_ {3} ^ {2} = m ^ {2}}

,

{ displaystyle P_ {0}> 0}

.

Метрика Минковского ограничивается Риманова метрика на $M$ , давая $M$ метрическая структура гиперболическое пространство, в частности, это модель гиперболоида гиперболического пространства, см. геометрия пространства Минковского для доказательства. Группа Пуанкаре $п$ действует на $M$ потому что (забывая действие подгруппы перевода $ℝ 4$ с добавлением внутри $п$ ) он сохраняет Внутренний продукт Минковского, и элемент $Икс$ переводческой подгруппы $ℝ 4$ группы Пуанкаре действует на $L 2 (М)$ умножением на подходящие фазовые умножители $ехр (- я п \cdot Икс)$ , куда $п \in M$ . Эти два действия можно умело комбинировать, используя индуцированные представления добиться иска $п$ на $L 2 (М)$ который сочетает в себе движения $M$ и фазовое умножение.

Это дает действие группы Пуанкаре на пространстве интегрируемых с квадратом функций, определенных на гиперповерхности $M$ в пространстве Минковского. Их можно рассматривать как меры, определенные на пространстве Минковского, которые сосредоточены на множестве $M$ определяется

{ displaystyle E ^ {2} -P_ {1} ^ {2} -P_ {2} ^ {2} -P_ {3} ^ {2} = m ^ {2}}

,

{ Displaystyle E Equiv P_ {0}> 0.}

Преобразование Фурье (по всем четырем переменным) таких мер дает положительную энергию,^{[требуется разъяснение ]} конечноэнергетические решения Уравнение Клейна – Гордона определенное на пространстве Минковского, а именно

{ displaystyle { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} psi - nabla ^ {2} psi + m ^ {2} psi = 0,}

без физических единиц. Таким образом, $м > 0, s = 0$ неприводимое представление группы Пуанкаре реализуется ее действием на подходящее пространство решений линейного волнового уравнения.

Теория проективных представлений

Физически нас интересуют несводимые проективный унитарные представления группы Пуанкаре. В конце концов, два вектора в квантовом гильбертовом пространстве, которые отличаются умножением на константу, представляют одно и то же физическое состояние. Таким образом, два унитарных оператора, которые различаются на несколько единиц, имеют одинаковое действие на физические состояния. Следовательно, унитарные операторы, представляющие симметрию Пуанкаре, определены только с точностью до константы - и, следовательно, закон композиции групп должен выполняться только с точностью до константы.

В соответствии с Теорема Баргмана, каждое проективное унитарное представление группы Пуанкаре сводится к обычному унитарному представлению ее универсального покрытия, которое является двойным покрытием. (Теорема Баргмана применима, потому что двойное покрытие Группа Пуанкаре не допускает нетривиальных одномерных центральные пристройки.)

Переход к двойному покрытию важен, потому что он позволяет использовать случаи спина половинных нечетных чисел. В случае положительной массы, например, маленькая группа - это SU (2), а не SO (3); тогда представления SU (2) включают как целочисленные, так и полунечетно-целые случаи спинов.

Поскольку общий критерий теоремы Баргмана не был известен, когда Вигнер проводил свою классификацию, ему нужно было показать вручную (раздел 5 статьи), что фазы могут быть выбраны в операторах так, чтобы отражать закон композиции в группе, с точностью до , который затем учитывается переходом к двойному покрытию группы Пуанкаре.

Дальнейшая информация

В этой классификации исключены тахионный решения, решения без фиксированной массы, инфрачастицы без фиксированной массы и т. д. Такие решения имеют физическое значение при рассмотрении виртуальных состояний. Знаменитый пример - случай глубоконеупругое рассеяние, в котором виртуальный космический фотон обменивается между входящими лептон и входящие адрон. Это оправдывает введение поперечно и продольно поляризованных фотонов и связанных с ними концепций поперечных и продольных структурных функций при рассмотрении этих виртуальных состояний как эффективных датчиков внутреннего кваркового и глюонного содержания адронов. С математической точки зрения рассматривается группа SO (2,1) вместо обычной ТАК (3) группа встречается в обычном массовом случае, о котором говорилось выше. Этим объясняется наличие двух векторов поперечной поляризации ${ displaystyle epsilon _ {T} ^ { lambda = 1,2}}$ и ${ displaystyle epsilon _ {L}}$ которые удовлетворяют ${ displaystyle epsilon _ {T} ^ {2} = - 1}$ и ${ displaystyle epsilon _ {L} ^ {2} = + 1}$ , для сравнения с обычным случаем бесплатного ${ displaystyle Z_ {0}}$ бозон с тремя векторами поляризации ${ displaystyle epsilon _ {T} ^ { lambda = 1,2,3}}$ , каждый из них удовлетворяет ${ displaystyle epsilon _ {T} ^ {2} = - 1}$ .

Классификация Вигнера - Wigners classification - Wikipedia

Содержание

Массивные скалярные поля

Теория проективных представлений

Дальнейшая информация

Смотрите также

Рекомендации