Σ-конечная мера - Σ-finite measure

В математика, положительный (или подписанный ) мера μ определено на σ-алгебра Σ подмножеств набор Икс называется конечной мерой, если μ(Икс) является конечным настоящий номер (а не ∞), и множество А в Σ имеет конечную меру, если μ(А) < ∞. Мера μ называется σ-конечный если Икс это счетный союз измеримых множеств с конечной мерой. Говорят, что множество в пространстве меры имеет σ-конечная мера если это счетное объединение измеримых множеств с конечной мерой. Σ-конечность меры является более слабым условием, чем конечная мера, т.е. все конечные меры являются σ-конечными, но есть (много) σ-конечных мер, которые не являются конечными.

Другое, но родственное понятие, которое не следует путать с сигма-конечностью, - s-конечность.

Определение

Позволять ${displaystyle (X,{mathcal {A}})}$ быть измеримое пространство и ${displaystyle mu }$ а мера в теме.

Мера ${displaystyle mu }$ называется σ-конечной мерой, если она удовлетворяет одному из четырех следующих эквивалентных критериев:

1. набор ${displaystyle X}$ можно покрыть не более чем счетно много измеримые множества с конечной мерой. Это означает, что есть наборы ${displaystyle A_{1},A_{2},ldots in {mathcal {A}}}$ с участием ${displaystyle mu left(A_{n}ight)<infty }$ для всех ${displaystyle nin mathbb {N} }$ это удовлетворяет ${displaystyle igcup _{nin mathbb {N} }A_{n}=X}$.^[1]
2. набор ${displaystyle X}$ могут быть покрыты не более чем счетным количеством измеримых непересекающиеся множества с конечной мерой. Это означает, что есть наборы ${displaystyle B_{1},B_{2},ldots in {mathcal {A}}}$ с участием ${displaystyle mu left(B_{n}ight)<infty }$ для всех ${displaystyle nin mathbb {N} }$ и ${displaystyle B_{i}cap B_{j}=varnothing }$ для ${displaystyle ieq j}$ это удовлетворяет ${displaystyle igcup _{nin mathbb {N} }B_{n}=X}$.
3. набор ${displaystyle X}$ покрывается монотонной последовательностью измеримых множеств с конечной мерой. Это означает, что есть наборы ${displaystyle C_{1},C_{2},ldots in {mathcal {A}}}$ с участием ${displaystyle C_{1}subset C_{2}subset cdots }$ и ${displaystyle mu left(C_{n}ight)<infty }$ для всех ${displaystyle nin mathbb {N} }$ это удовлетворяет ${displaystyle igcup _{nin mathbb {N} }C_{n}=X}$.
4. существует строго положительный измеримая функция ${displaystyle f}$ интеграл которой конечен.^[2] Это значит, что ${displaystyle f(x)>0}$ для всех ${displaystyle xin X}$ и ${displaystyle int f(x)mu (mathrm {d} x)<infty }$.

Если ${displaystyle mu }$ это ${displaystyle sigma }$-конечная мера, измерить пространство ${displaystyle (X,{mathcal {A}},mu )}$ называется ${displaystyle sigma }$пространство конечной меры.^[3]

Примеры

Мера Лебега

Например, Мера Лебега на действительные числа не конечно, но σ-конечно. Действительно, рассмотрим интервалы [k, k + 1) для всех целые числа k; таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, а их объединение - это целая вещественная линия.

Счетная мера

В качестве альтернативы, рассмотрите действительные числа с счетная мера; мера любого конечного множества - это количество элементов в множестве, а мера любого бесконечного множества - бесконечность. Эта мера не σ-конечно, потому что каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и потребовалось бы несчетное количество таких множеств, чтобы покрыть всю действительную прямую. Но набор натуральных чисел ${displaystyle mathbb {N} }$ с счетная мера является σ -конечно.

Локально компактные группы

Локально компактные группы которые σ-компактный σ-конечны при Мера Хаара. Например, все связанный, локально компактные группы г σ-компактны. Чтобы увидеть это, позвольте V быть относительно компактным, симметричным (т. е. V = V⁻¹) открытая окрестность единицы. потом

${displaystyle H=igcup _{nin mathbb {N} }V^{n}}$

открытая подгруппа г. Следовательно ЧАС также замкнуто, поскольку его дополнение представляет собой объединение открытых множеств и в силу связности г, должно быть г сам. Таким образом, все связано Группы Ли σ-конечны относительно меры Хаара.

Отрицательные примеры

Любая нетривиальная мера, принимающая только два значения 0 и ${displaystyle infty }$ очевидно, не σ-конечно. Один пример в ${displaystyle mathbb {R} }$ это: для всех ${displaystyle Asubset mathbb {R} }$, ${displaystyle mu (A)=infty }$ тогда и только тогда, когда A не пусто; другой: для всех ${displaystyle Asubset mathbb {R} }$, ${displaystyle mu (A)=infty }$ тогда и только тогда, когда A несчетно, 0 в противном случае. Между прочим, оба они трансляционно-инвариантны.

Свойства

Класс σ-конечных мер обладает некоторыми очень удобными свойствами; σ-конечность в этом отношении можно сравнить с разделимость топологических пространств. Некоторые теоремы анализа требуют в качестве гипотезы σ-конечности. Обычно оба Теорема Радона – Никодима и Теорема Фубини сформулированы в предположении σ-конечности рассматриваемых мер. Однако, как показано в статье Сигала «Эквивалентность пространств с мерой» (Am. J. Math. 73, 275 (1953)) они требуют только более слабого условия, а именно возможность локализации.

Хотя меры, которые не σ-конечные иногда рассматриваются как патологические, на самом деле они возникают вполне естественно. Например, если Икс это метрическое пространство из Хаусдорфово измерение р, то все низкоразмерные Хаусдорфовы меры не σ-конечны, если рассматривать их как меры на Икс.

Эквивалентность вероятностной мере

Любая σ-конечная мера μ на пространстве Икс является эквивалент к вероятностная мера на Икс: позволять V_п, п ∈ N, быть покрытием Икс попарно непересекающимися измеримыми множествами конечных μ-мерь, и пусть ш_п, п ∈ N, - последовательность положительных чисел (весов) такая, что

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }w_{n}=1.}$

Мера ν определяется

${displaystyle u (A)=sum _{n=1}^{infty }w_{n}{frac {mu left(Acap V_{n}ight)}{mu left(V_{n}ight)}}}$

тогда является вероятностной мерой на Икс с точно таким же нулевые наборы так какμ.

Связанные понятия

Умеренные меры

А Мера Бореля (в смысле локально конечная мера на Бореле ${displaystyle sigma }$-алгебра^[4]) ${displaystyle mu }$ называется умеренная мера если открытых множеств не более чем счетное число ${displaystyle A_{1},A_{2},ldots }$ с участием ${displaystyle mu left(A_{i}ight)<infty }$ для всех ${displaystyle i}$ и ${displaystyle igcup _{i=1}^{infty }A_{i}=X}$.^[5]

Каждая умеренная мера - это ${displaystyle sigma }$-конечная мера, обратное неверно.

Разложимые меры

Мера называется разложимая мера есть непересекающиеся измеримые множества ${displaystyle left(A_{i}ight)_{iin I}}$ с участием ${displaystyle mu left(A_{i}ight)<infty }$ для всех ${displaystyle iin I}$ и ${displaystyle igcup _{iin I}A_{i}=X}$. Обратите внимание, что для разложимых мер нет ограничения на количество измеримых множеств с конечной мерой.

Каждые ${displaystyle sigma }$-конечная мера - разложимая мера, обратное неверно.

s-конечные меры

Мера ${displaystyle mu }$ называется s-конечная мера если это сумма не более чем счетного множества конечные меры.^[2]

Всякая σ-конечная мера s-конечна, обратное неверно. Доказательство и контрпример см. s-конечная мера # Отношение к σ-конечным мерам.

Смотрите также

• Аддитивность сигмы

использованная литература

1. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.12. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
2. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 21. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
3. Аносов, Д. (2001) [1994], «Измерьте пространство», Энциклопедия математики, EMS Press
4. Эльстродт, Юрген (2009). Maß- und Integrationstheorie [Теория меры и интеграции] (на немецком). Берлин: Springer Verlag. п. 313. Дои:10.1007/978-3-540-89728-6. ISBN  978-3-540-89727-9.
5. Эльстродт, Юрген (2009). Maß- und Integrationstheorie [Теория меры и интеграции] (на немецком). Берлин: Springer Verlag. п. 318. Дои:10.1007/978-3-540-89728-6. ISBN  978-3-540-89727-9.