AW * -алгебра - AW*-algebra - Wikipedia

В математика, AW * -алгебра является алгебраическим обобщением W * -алгебра. Их представил Ирвинг Каплански в 1951 г.^[1] В качестве операторные алгебры, алгебры фон Неймана, среди всех C * -алгебры, обычно обрабатываются одним из двух способов: они представляют собой двойное пространство некоторых Банахово пространство, и они во многом определяются своими прогнозами. Идея AW * -алгебр состоит в том, чтобы отказаться от первого, топологического, условия и использовать только последнее, алгебраическое, условие.

Определение

Напомним, что проекция C * -алгебры является самосопряженный идемпотентный элемент. C * -алгебра А является AW * -алгеброй, если для каждого подмножества S из А, слева аннигилятор

${\displaystyle \mathrm {Ann} _{L}(S)=\{a\in A\mid \forall s\in S,as=0\}\,}$

создается как левый идеальный по некоторой проекции п из А, и аналогично правый аннигилятор порождается как правый идеал некоторой проекцией q:

${\displaystyle \forall S\subseteq A\,\exists p,q\in \mathrm {Proj} (A)\colon \mathrm {Ann} _{L}(S)=Ap,\quad \mathrm {Ann} _{R}(S)=qA}$.

Следовательно, AW * -алгебра - это C * -алгебра, которая в то же время является Baer * -ринг.

Исходное определение Капланского гласит, что AW * -алгебра - это C * -алгебра такая, что (1) любое множество ортогональных проекций имеет точную верхнюю границу и (2) каждая максимальная коммутативная C * -подалгебра порождается своей прогнозы. Первое условие утверждает, что проекции имеют интересную структуру, а второе условие гарантирует, что проекций достаточно, чтобы они были интересными.^[1] Заметим, что второе условие эквивалентно тому, что каждая максимальная коммутативная C * -подалгебра монотонно полна.

Теория структуры

Многие результаты, касающиеся алгебр фон Неймана, переносятся на AW * -алгебры. Например, AW * -алгебры можно классифицировать по поведению их проекций и разложить на типы.^[2] Другой пример: нормальные матрицы с элементами AW * -алгебры всегда можно диагонализовать.^[3] AW * -алгебры также всегда имеют полярное разложение.^[4]

Однако есть также способы, которыми AW * -алгебры ведут себя иначе, чем алгебры фон Неймана.^[5] Например, AW * -алгебры типа I могут проявлять патологические свойства,^[6] хотя Капланский уже показал, что такие алгебры с тривиальным центром автоматически являются алгебрами фон Неймана.

Коммутативный случай

Коммутативная C * -алгебра является AW * -алгеброй тогда и только тогда, когда ее спектр это Стоунан пространство. Через Каменная двойственность, коммутативные AW * -алгебры, следовательно, соответствуют полный Булевы алгебры. Проекции коммутативной AW * -алгебры образуют полную булеву алгебру, и, наоборот, любая полная булева алгебра изоморфна проекциям некоторой коммутативной AW * -алгебры.

Рекомендации

1. Каплански, Ирвинг (1951). «Проекторы в банаховых алгебрах». Анналы математики. 53 (2): 235–249. Дои:10.2307/1969540.
2. Бербериан, Стерлинг (1972). Кольца Baer *. Springer.
3. Хойнен, Крис; Рейес, Мануэль Л. (2013). «Диагонализирующие матрицы над AW * -алгебрами». Журнал функционального анализа. 264 (8): 1873–1898. arXiv:1208.5120. Дои:10.1016 / j.jfa.2013.01.022.
4. Ара, Пере (1989). «Левая и правая проекции эквивалентны в C * -алгебрах Рикарта». Журнал алгебры. 120 (2): 433–448. Дои:10.1016/0021-8693(89)90209-3.
5. Райт, Дж. Д. Мейтленд. «AW * -алгебра». Springer.
6. Одзава, Масанао (1984). «Неединственность мощности однородных AW * -алгебр». Труды Американского математического общества. 93: 681–684. Дои:10.2307/2045544.