Каменная двойственность - Stone duality

В математика, есть достаточный запас категориальные дуальности между определенными категории из топологические пространства и категории частично упорядоченные наборы. Сегодня эти дуальности обычно собираются под ярлыком Каменная двойственность, поскольку они образуют естественное обобщение Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр. Эти концепции названы в честь Маршалл Стоун. Дуальности каменного типа также служат основой для бессмысленная топология и эксплуатируются в теоретическая информатика для изучения формальная семантика.

В этой статье даются указания на особые случаи двойственности Стоуна и подробно объясняется ее очень общий случай.

Обзор дуальностей каменного типа

Вероятно, самая общая двойственность, которую классически называют «каменной двойственностью», - это двойственность между категориями. Рыдать из трезвые пространства с участием непрерывные функции и категория SFrm пространственных кадры с соответствующими гомоморфизмами реперов. В двойная категория из SFrm категория пространственных локации обозначается SLoc. В категориальная эквивалентность из Рыдать и SLoc является основой математической области бессмысленная топология, посвященный изучению Loc- категория всех регионов, из которых SLoc это полная подкатегория. Задействованные конструкции характерны для такого рода двойственности и подробно описаны ниже.

Теперь можно легко получить ряд других двойственностей, ограничившись некоторыми специальными классами трезвых пространств:

К этим базовым дуальностям можно добавить многие другие дуальности каменного типа.

Двойственность трезвых пространств и пространственных локаций

Решетка открытых множеств

Отправной точкой теории является тот факт, что каждое топологическое пространство характеризуется набором точек Икс и система Ω (Икс) из открытые наборы элементов из Икс, т.е. подмножество powerset из Икс. Известно, что Ω (Икс) обладает некоторыми особыми свойствами: это полная решетка в пределах которого супрема и конечный инфима задаются объединениями множеств и конечными пересечениями множеств соответственно. Кроме того, он содержит как Икс и пустой набор. Поскольку встраивание области Ω (Икс) в решетку степеней Икс сохраняет конечная инфима и произвольная верхняя грань Ω (Икс) наследует следующий закон распределительности:

для каждого элемента (открытый набор) Икс и каждое подмножество S области Ω (Икс). Следовательно, Ω (Икс) не является произвольной полной решеткой, а является полная алгебра Гейтинга (также называется Рамка или локаль - различные имена в основном используются для различения нескольких категорий, которые имеют один и тот же класс объектов, но разные морфизмы: морфизмы каркаса, морфизмы локалей и гомоморфизмы полных алгебр Гейтинга). Возникает очевидный вопрос: в какой степени топологическое пространство характеризуется локалью открытых множеств?

Как уже было сказано выше, можно пойти еще дальше. Категория верхний топологических пространств имеет в качестве морфизмов непрерывные функции, где функция ж непрерывно, если обратное изображение ж −1(О) любого открытого множества в codomain из ж открыт в домен из ж. Таким образом, любая непрерывная функция ж из космоса Икс в космос Y определяет обратное отображение ж −1 из Ω (Y) в Ω (Икс). Кроме того, легко проверить, что ж −1 (как и любое отображение обратного изображения) сохраняет конечные пересечения и произвольные объединения и, следовательно, является морфизм фреймов. Если мы определим Ω (ж) = ж −1 то Ω становится контравариантный функтор из категории верхний в категорию Frm фреймов и фрейм-морфизмов. Используя инструменты теории категорий, задача описания топологических пространств в терминах их открытых решеток множеств эквивалентна нахождению функтора из Frm к верхний который прилегающий к Ω.

Очки локали

Цель этого раздела - определить функтор pt из Frm к верхний что в определенном смысле «инвертирует» работу Ω, присваивая каждой локали L набор точек pt (L) (отсюда обозначение pt) с подходящей топологией. Но как мы можем восстановить набор точек только из локали, если он не задан в виде решетки наборов? Несомненно, что в общем случае нельзя ожидать, что pt может воспроизвести все исходные элементы топологического пространства только из его решетки открытых множеств - например, все множества с недискретная топология дают (с точностью до изоморфизма) тот же языковой стандарт, так что информация о конкретном наборе больше не присутствует. Однако все еще существует разумная техника для получения «точек» из локали, которая действительно дает пример центральной конструкции для теорем двойственности типа Стоуна.

Давайте сначала посмотрим на точки топологического пространства Икс. Обычно возникает соблазн рассмотреть вопрос Икс как элемент Икс из набора Икс, но на самом деле есть более полезное описание для нашего текущего исследования. Любая точка Икс дает непрерывную функцию пИкс из одноэлементного топологического пространства 1 (все подмножества которого открыты) в пространство Икс определяя пИкс(1) = Икс. И наоборот, любая функция от 1 до Икс четко определяет одну точку: элемент, на который она «указывает». Следовательно, множество точек топологического пространства эквивалентно описывается как множество функций от 1 до Икс.

При использовании функтора Ω для перехода от верхний к Frm, все теоретико-множественные элементы пространства теряются, но - используя фундаментальную идею теории категорий - можно также работать над функциональные пространства. Ведь любая «точка» пИкс: 1 → Икс в верхний отображается в морфизм Ω (пИкс): Ω (Икс) → Ω (1). Решетка открытых множеств одноэлементного топологического пространства Ω (1) является просто (изоморфной) двухэлементной локалью 2 = {0, 1} с 0 <1. После этих наблюдений представляется разумным определить множество точек региона L быть набором каркасных морфизмов из L к 2. Тем не менее, нет гарантии, что каждая точка локали Ω (Икс) находится во взаимно однозначном соответствии с точкой топологического пространства Икс (снова рассмотрим недискретную топологию, для которой решетка открытых множеств имеет только одну «точку»).

Прежде чем определять требуемую топологию на pt (Икс), стоит уточнить понятие точки локали дальше. Перспектива, мотивированная выше, предлагает рассмотреть точку локали L как морфизм фрейма п от L до 2. Но эти морфизмы эквивалентно характеризуются прообразами двух элементов 2. Из свойств каркасных морфизмов можно вывести, что п −1(0) - нижнее множество (поскольку п является монотонный ), который содержит наибольший элемент ап = V п −1(0) (поскольку п сохраняет произвольную супрему). В дополнение главный идеал п −1(0) - это главный идеал поскольку п сохраняет конечную инфиму и, следовательно, главную ап это элемент meet-prime. Теперь обратное множество п −1(0) дается п −1(1) является полностью заправить фильтр потому что п −1(0) - главный первичный идеал. Оказывается, все эти описания однозначно определяют морфизм исходного фрейма. Резюмируем:

Точка локали L эквивалентно описывается как:

  • каркасный морфизм из L до 2
  • главный первичный идеал L
  • простой элемент L
  • полностью первичный фильтр L.

Все эти описания имеют свое место в теории, и между ними удобно переключаться по мере необходимости.

Функтор pt

Теперь, когда набор точек доступен для любой локали, остается снабдить этот набор соответствующей топологией, чтобы определить объектную часть функтора pt. Это делается путем определения открытых множеств pt (L) так как

φ (а) = { п ∈ pt (L) | п(а) = 1 },

для каждого элемента а из L. Здесь мы рассмотрели точки L как морфизмы, но, конечно, можно дать аналогичное определение для всех других эквивалентных характеристик. Можно показать, что, задав Ω (pt (L)) = {φ (а) | а ∈ L} действительно дает топологическое пространство (pt (L), Ω (pt (L))). Обычно это пространство сокращается как pt (L).

Наконец, pt можно определить на морфизмах Frm скорее канонически, определяя для морфизма фрейма г от L к M, пт (г): pt (M) → pt (L) как pt (г)(п) = п о г. На словах мы получаем морфизм из L до 2 (точка L) с помощью морфизма г получить от L к M перед применением морфизма п что карты из M до 2. Опять же, это можно формализовать с помощью других описаний точек локали - например, просто вычислить (п о г) −1(0).

Слияние Top и Loc

Как уже несколько раз отмечалось, pt и Ω обычно не являются обратными. В общем, ни то, ни другое Икс гомеоморфный к pt (Ω (Икс)) и не L порядково-изоморфный к Ω (pt (L)). Однако, вводя топологию pt (L) выше отображение φ из L к Ω (pt (L)) был применен. Это отображение действительно является морфизмом фреймов. Наоборот, мы можем определить непрерывную функцию ψ из Икс к pt (Ω (Икс)), положив ψ (Икс) = Ω (пИкс), где пИкс это просто характеристическая функция для точки Икс от 1 до Икс как описано выше. Еще одно удобное описание дает просмотр точек локали как простых элементов. В этом случае ψ (Икс) = Икс Cl {Икс}, где Cl {Икс} обозначает топологическое замыкание множества {Икс} и - это просто разность наборов.

На данный момент у нас уже более чем достаточно данных для получения желаемого результата: функторы Ω и pt определяют присоединение между категориями верхний и Loc = Frmop, где pt сопряжена справа к Ω и естественные преобразования ψ и φop укажите требуемый юнит и счет соответственно.

Теорема двойственности

Вышеупомянутое присоединение не является эквивалентом категорий верхний и Loc (или, что то же самое, двойственность верхний и Frm). Для этого необходимо, чтобы и ψ, и φ были изоморфизмами в своих соответствующих категориях.

Для пространства Икс, ψ: Икс → pt (Ω (Икс)) является гомеоморфизмом если и только если это биективный. Используя характеристику через простые элементы решетки открытых множеств, можно увидеть, что это так, если и только если каждое открытое множество с простыми совпадениями имеет вид Икс Cl {Икс} для уникального Икс. В качестве альтернативы, каждое замкнутое простое множество соединений является замыканием единственной точки, где "простое соединение" может быть заменено на (присоединиться) неприводимый так как мы находимся в дистрибутивной решетке. Пространства с этим свойством называются трезвый.

И наоборот, для локали L, φ: L → Ω (pt (L)) всегда сюръективно. Кроме того, он инъективен тогда и только тогда, когда любые два элемента а и б из L для которого а не меньше или равно б могут быть разделены точками локали, формально:

если не а ≤ б, то есть точка п в пт (L) такое, что p (а) = 1 и p (б) = 0.

Если это условие выполняется для всех элементов локали, то локаль пространственный, или сказал, что набрал достаточно очков. (Смотрите также четко обозначенная категория для аналогичного состояния в более общих категориях.)

Наконец, можно убедиться, что для каждого пробела Икс, Ω (Икс) является пространственным и для каждой локали L, пт (L) трезвый. Отсюда следует, что указанное выше присоединение верхний и Loc ограничивается эквивалентностью полных подкатегорий Рыдать трезвых пространств и SLoc пространственных локаций. Этот основной результат дополняется наблюдением, что для функтора pt o Ω отправка каждого пространства в точки своей открытой решетки множеств сопряжена слева с функтор включения от Рыдать к верхний. Для пространства Икс, pt (Ω (Икс)) называется его отрезвление. Случай функтора Ω o pt симметричен, но специальное название для этой операции обычно не используется.

использованная литература

  • Стэнли Н. Беррис и Х. П. Санкаппанавар, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN  3-540-90578-2. (доступно бесплатно онлайн на указанном веб-сайте)
  • П. Т. Джонстон, Каменные Пространства, Кембриджские исследования по высшей математике 3, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1982. ISBN  0-521-23893-5.
  • Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков. Энциклопедия математики и ее приложений. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-83414-7. Zbl  1034.18001.
  • Викерс, Стивен (1989). Топология через логику. Кембриджские трактаты в теоретической информатике. 5. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36062-5. Zbl  0668.54001.
  • Абстрактная каменная двойственность
  • Карамелло, Оливия (2011). «Теоретико-топосферный подход к двойственности стоун-типа». arXiv:1103.3493.