Представление алгебры - Algebra representation

Не путать с алгебраическое представление.

В абстрактная алгебра, а представление ассоциативная алгебра это модуль для этой алгебры. Здесь ассоциативная алгебра - это (не обязательно единый ) звенеть. Если алгебра не унитальна, ее можно сделать стандартным способом (см. присоединенные функторы страница); нет существенной разницы между модулями для результирующего кольца с единицей, в котором тождество действует посредством тождественного отображения, и представлениями алгебры.

Примеры

Линейная сложная структура

Основная статья: Линейная сложная структура

Один из простейших нетривиальных примеров - это линейная сложная структура, который является представлением сложные числа C, рассматриваемую как ассоциативную алгебру над действительные числа р. Эта алгебра конкретно реализуется как ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),}$ что соответствует я² = −1 . Тогда представление C это реальное векторное пространство Vвместе с действием C на V (карта ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathrm {End} (V)}$). Конкретно это просто действие я , поскольку это порождает алгебру, а оператор, представляющий я (изображение я в конце (V)) обозначается J чтобы избежать путаницы с единичная матрица я.

Полиномиальные алгебры

Другой важный базовый класс примеров - это представления полиномиальные алгебры, свободные коммутативные алгебры - они составляют центральный объект изучения в коммутативная алгебра и его геометрический аналог, алгебраическая геометрия. Представление алгебры многочленов в k переменные над полем K конкретно K-векторное пространство с k коммутирующие операторы, и часто обозначают ${\displaystyle K[T_{1},\dots ,T_{k}],}$ имея в виду представление абстрактной алгебры ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{k}]}$ куда ${\displaystyle x_{i}\mapsto T_{i}.}$

Основной результат о таких представлениях состоит в том, что над алгебраически замкнутым полем представляющие матрицы имеют вид одновременно треугольный.

Интересен даже случай представлений алгебры полиномов от одной переменной - это обозначается ${\displaystyle K[T]}$ и используется для понимания структуры одного линейного оператора в конечномерном векторном пространстве. В частности, применяя структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов к этой алгебре дает как следствия различные канонические формы матриц, такие как Иорданская каноническая форма.

В некоторых подходах к некоммутативная геометрия свободная некоммутативная алгебра (многочлены от некоммутирующих переменных) играет аналогичную роль, но анализ намного сложнее.

Вес

Основная статья: Вес (теория представлений)

Собственные значения и собственные векторы можно обобщить на представления алгебры.

Обобщение собственное значение представления алгебры является, а не единственным скаляром, одномерным представлением ${\displaystyle \lambda \colon \ A\to R}$ (т.е. гомоморфизм алгебры от алгебры к ее основному кольцу: a линейный функционал это тоже мультипликативный).^{[примечание 1]} Это известно как масса, а аналог собственного вектора и собственного подпространства называются вектор веса и весовое пространство.

Случай собственного значения одного оператора соответствует алгебре ${\displaystyle R[T],}$ и карту алгебр ${\displaystyle R[T]\to R}$ определяется, какой скаляр отображает генератор Т к. Весовой вектор для представления алгебры - это вектор, такой, что любой элемент алгебры отображает этот вектор в кратное себе - одномерный подмодуль (подпредставление). Как спаривание ${\displaystyle A\times M\to M}$ билинейно, "кратное" - это А-линейный функционал А (карта алгебры А → р), а именно вес. В символах весовой вектор - это вектор ${\displaystyle m\in M}$ такой, что ${\displaystyle am=\lambda (a)m}$ для всех элементов ${\displaystyle a\in A,}$ для некоторого линейного функционала ${\displaystyle \lambda }$ - обратите внимание, что слева умножение - это действие алгебры, а справа умножение - это скалярное умножение.

Поскольку вес - это отображение в коммутативное кольцо, отображение факторизуется через абелианизацию алгебры ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ - эквивалентно исчезает на производная алгебра - в терминах матриц, если ${\displaystyle v}$ является общим собственным вектором операторов ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle U}$, тогда ${\displaystyle TUv=UTv}$ (потому что в обоих случаях это просто умножение на скаляры), поэтому общие собственные векторы алгебры должны находиться в наборе, на котором алгебра действует коммутативно (которое аннулируется производной алгеброй). Таким образом, центральный интерес представляют свободные коммутативные алгебры, а именно полиномиальные алгебры. В этом особенно простом и важном случае алгебры многочленов ${\displaystyle \mathbf {F} [T_{1},\dots ,T_{k}]}$ в наборе коммутирующих матриц весовой вектор этой алгебры является одновременный собственный вектор матриц, а вес этой алгебры - это просто ${\displaystyle k}$-набор скаляров ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$ соответствующему собственному значению каждой матрицы, и, следовательно, геометрически точке в ${\displaystyle k}$-Космос. Эти веса - в особенности их геометрия - имеют решающее значение для понимания теория представлений алгебр Ли в частности конечномерные представления полупростых алгебр Ли.

В качестве приложения этой геометрии дана алгебра, которая является фактором алгебры многочленов на ${\displaystyle k}$ генераторов, он геометрически соответствует алгебраическое многообразие в ${\displaystyle k}$-мерное пространство, и вес должен приходиться на многообразие, т. е. он удовлетворяет определяющим уравнениям для многообразия. Это обобщает тот факт, что собственные значения удовлетворяют характеристическому многочлену матрицы от одной переменной.

Смотрите также

• Теория представлений
• Intertwiner
• Теория представлений алгебр Хопфа
• Представление алгебры Ли
• Лемма Шура
• Теорема плотности Джекобсона
• Теорема о двойном коммутанте

Примечания

1. Обратите внимание, что для поля алгебра эндоморфизмов одномерного векторного пространства (линия) канонически равна базовому полю: End (L) = K, поскольку все эндоморфизмы являются скалярным умножением; таким образом, нет потери в ограничении конкретными отображениями в базовом поле, а не абстрактными одномерными представлениями. Для колец есть также отображения на кольца частных, которые не нуждаются в факторизации через отображения на само кольцо, но, опять же, абстрактные одномерные модули не нужны.

Рекомендации