Тензор энергии-импульса Белинфанте – Розенфельда - Belinfante–Rosenfeld stress–energy tensor

В математическая физика, то Белинфанте –Розенфельд тензор представляет собой модификацию тензора энергии-импульса, который строится из канонического тензора энергии-импульса и спинового тока, чтобы быть симметричным, но все же сохраняющимся.

В классический или же квант теория локального поля, генератор Преобразования Лоренца можно записать в виде интеграла

${\displaystyle M_{\mu \nu }=\int \mathrm {d} ^{3}x\,{M^{0}}_{\mu \nu }}$

местного течения

${\displaystyle {M^{\mu }}_{\nu \lambda }=(x_{\nu }{T^{\mu }}_{\lambda }-x_{\lambda }{T^{\mu }}_{\nu })+{S^{\mu }}_{\nu \lambda }.}$

Здесь ${\displaystyle {T^{\mu }}_{\lambda }}$ канонический Нётер тензор энергии-импульса, и ${\displaystyle {S^{\mu }}_{\nu \lambda }}$ - вклад собственной (спиновой) угловой момент. Локальное сохранение углового момента

${\displaystyle \partial _{\mu }{M^{\mu }}_{\nu \lambda }=0\,}$

требует, чтобы

${\displaystyle \partial _{\mu }{S^{\mu }}_{\nu \lambda }=T_{\lambda \nu }-T_{\nu \lambda }.}$

Таким образом, источник спин-ток влечет несимметричный канонический тензор энергии-импульса.

Тензор Белинфанте – Розенфельда^[1][2] является модификацией тензора энергии-импульса

${\displaystyle T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\lambda }(S^{\mu \nu \lambda }+S^{\nu \mu \lambda }-S^{\lambda \nu \mu })}$

построенный из канонического тензора энергии-импульса и спинового тока ${\displaystyle {S^{\mu }}_{\nu \lambda }}$ чтобы быть симметричным, но все же сохраняться.

Интеграция по частям показывает, что

${\displaystyle M^{\nu \lambda }=\int (x^{\nu }T_{B}^{0\lambda }-x^{\lambda }T_{B}^{0\nu })\,\mathrm {d} ^{3}x,}$

Таким образом, физическая интерпретация тензора Белинфанте состоит в том, что он включает в себя «связанный импульс», связанный с градиентами собственного углового момента. Другими словами, добавляемый член является аналогом ${\displaystyle {\mathbf {J} }_{\text{bound}}=\nabla \times \mathbf {M} }$ "связанный ток "связанный с плотностью намагничивания ${\displaystyle {\mathbf {M} }}$.

Любопытная комбинация компонентов спинового тока, необходимая для создания ${\displaystyle T_{B}^{\mu \nu }}$ симметричный и все же сохраненный кажется полностью для этого случая, но и Розенфельд, и Белинфанте показали, что модифицированный тензор - это в точности симметричный гильбертовый тензор энергии-импульса, который действует как источник гравитации в общая теория относительности. Точно так же, как сумма связанных и свободных токов действует как источник магнитного поля, это сумма связанной и свободной энергии-импульса действует как источник гравитации.

Белинфанте – Розенфельд и гильбертовый тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса Гильберта ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ определяется вариацией функционала действия ${\displaystyle S_{\rm {eff}}}$ относительно метрики как

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}={\frac {1}{2}}\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{\mu \nu }\,\delta g^{\mu \nu },}$

или эквивалентно как

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=-{\frac {1}{2}}\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T^{\mu \nu }\,\delta g_{\mu \nu }.}$

(Знак минус во втором уравнении возникает потому, что ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \sigma }\delta g_{\sigma \tau }g^{\tau \nu }}$ потому что ${\displaystyle \delta (g^{\mu \sigma }g_{\sigma \tau })=0.}$)

Мы также можем определить тензор энергии-импульса ${\displaystyle T_{cb}}$ путем варьирования ортонормированного Минковского Vierbein ${\displaystyle {\bf {e}}_{a}}$ получить

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left({\frac {\delta S}{\delta e_{a}^{\mu }}}\right)\delta e_{a}^{\mu }\equiv \int d^{n}x{\sqrt {g}}\left(T_{cb}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}\right)\delta e_{a}^{\mu }.}$

Здесь ${\displaystyle \eta _{ab}={\bf {e}}_{a}\cdot {\bf {e}}_{b}}$ - метрика Минковского для ортонормированного репера Вербейна, а ${\displaystyle {\bf {e}}^{*b}}$ ковекторы двойственные вербейнам.

С вариацией vierbein нет очевидной причины для ${\displaystyle T_{cb}}$ быть симметричным. Однако функционал действия ${\displaystyle S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a})}$ должен быть инвариантным относительно бесконечно малого локального преобразования Лоренца ${\displaystyle \delta e_{a}^{\mu }=e_{b}^{\mu }{\theta ^{b}}_{a}(x)}$, ${\displaystyle \theta ^{ab}=-\theta ^{ba}}$,и так

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}e_{d}^{\mu }{\theta ^{d}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\eta ^{ca}{\theta ^{b}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\theta ^{bc}(x),}$

должен быть равен нулю. ${\displaystyle \theta ^{bc}(x)}$ является произвольной кососимметричной матрицей, зависящей от положения, мы видим, что локальная инвариантность к лоренцеву и вращению требует и означает ${\displaystyle T_{bc}=T_{cb}}$.

Как только мы узнаем, что ${\displaystyle T_{ab}}$ симметричен, легко показать, что ${\displaystyle T_{ab}=e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu }T_{\mu \nu }}$, поэтому тензор энергии-импульса вариации Вирбейна эквивалентен тензору Гильберта вариации метрики.

Теперь мы можем понять происхождение модификации Белинфанте-Розфельда канонического тензора энергии-импульса Нётер. Примите меры, чтобы быть ${\displaystyle S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a},{\omega }_{\mu }^{ab})}$ куда ${\displaystyle {\omega }_{\mu }^{ab}}$ это спин-соединение что определяется ${\displaystyle {\bf {e}}_{a}}$ через условие метрической совместимости и отсутствия кручения. Спиновый ток ${\displaystyle {S^{\mu }}_{ab}}$ тогда определяется вариацией

${\displaystyle {S^{\mu }}_{ab}={\frac {2}{\sqrt {g}}}\left.\left({\frac {\delta S_{\rm {eff}}}{\delta \omega _{\mu }^{ab}}}\right)\right|_{{\bf {e}}_{a}}}$

вертикальная черта, обозначающая, что ${\displaystyle {\bf {e}}_{a}}$ фиксируются во время изменения. «Канонический» тензор энергии-импульса Нётер ${\displaystyle T_{cb}^{(0)}}$ - это часть, которая возникает из варианта, в котором мы фиксируем спиновое соединение:

${\displaystyle T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left.\left({\frac {\delta S_{\rm {eff}}}{\delta e_{a}^{\mu }}}\right)\right|_{\omega _{\mu }^{ab}}.}$

потом

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}\delta e_{a}^{\mu }+{\frac {1}{2}}{S^{\mu }}_{ab}\delta {\omega ^{ab}}_{\mu }\right\}.}$

Теперь для связности без кручения и с метрической совместимостью мы имеем

${\displaystyle (\delta \omega _{ij\mu })e_{k}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}\left\{(\nabla _{j}\delta e_{ik}-\nabla _{k}\delta e_{ij})+(\nabla _{k}\delta e_{ji}-\nabla _{i}\delta e_{jk})-(\nabla _{i}\delta e_{kj}-\nabla _{j}\delta e_{ki})\right\},}$

где мы используем обозначения

${\displaystyle \delta e_{ij}={\bf {e}}_{i}\cdot \delta {\bf {e}}_{j}=\eta _{ib}[e_{\alpha }^{*b}\delta e_{j}^{\alpha }].}$

Используя вариант спиновой связи и после интегрирования по частям, находим

${\displaystyle \delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}+{\frac {1}{2}}\nabla _{a}({S_{bc}}^{a}+{S_{cb}}^{a}-{S^{a}}_{bc})\right\}\eta ^{cd}e_{\mu }^{*b}\,\delta e_{d}^{\mu }.}$

Таким образом, мы видим, что поправки к каноническому тензору Нётер, которые появляются в тензоре Белинфанте – Розенфельда, происходят потому, что нам нужно одновременно изменять вербейн и спиновую связь, если мы хотим сохранить локальную лоренц-инвариантность.

В качестве примера рассмотрим классический лагранжиан для поля Дирака

${\displaystyle \int d^{d}x{\sqrt {g}}\left\{{\frac {i}{2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }\nabla _{\mu }\Psi -(\nabla _{\mu }{\bar {\Psi }})e_{a}^{\mu }\gamma _{a}\Psi \right)+m{\bar {\Psi }}\Psi \right\}.}$

Здесь спинорные ковариантные производные равны

${\displaystyle \nabla _{\mu }\Psi =\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}+{\frac {1}{8}}[\gamma _{b},\gamma _{c}]{\omega ^{bc}}_{\mu }\right)\Psi ,}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }{\bar {\Psi }}=\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}-{\frac {1}{8}}[\gamma _{b},\gamma _{c}]{\omega ^{bc}}_{\mu }\right){\bar {\Psi }}.}$

Таким образом, мы получаем

${\displaystyle T_{bc}^{(0)}={\frac {i}{2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma _{c}(\nabla _{b}\Psi )-(\nabla _{b}{\bar {\Psi }})\gamma _{c}\Psi \right),}$

${\displaystyle {S^{a}}_{bc}={\frac {i}{8}}{\bar {\Psi }}\{\gamma ^{a},[\gamma _{b},\gamma _{c}]\}\Psi .}$

Нет вклада от ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$ если использовать уравнения движения, т.е. мы находимся на оболочке.

Сейчас же

${\displaystyle \{\gamma _{a},[\gamma _{b},\gamma _{c}]\}=4\gamma _{a}\gamma _{b}\gamma _{c},}$

если ${\displaystyle a,bc}$ различны и равны нулю в противном случае. ${\displaystyle S_{abc}}$ полностью антисимметричен. Теперь, используя этот результат и снова уравнения движения, находим, что

${\displaystyle \nabla _{a}{S^{a}}_{bc}=T_{cb}^{(0)}-T_{bc}^{(0)},}$

Таким образом, тензор Белинфанте-Розенфельда принимает вид

${\displaystyle T_{bc}=T_{bc}^{(0)}+{\frac {1}{2}}(T_{cb}^{(0)}-T_{bc}^{(0)})={\frac {1}{2}}(T_{bc}^{(0)}+T_{cb}^{(0)}).}$

Таким образом, тензор Белинфанте – Розенфельда для поля Дирака является симметризованным каноническим тензором энергии-импульса.

Определение Вайнберга

Вайнберг определяет тензор Белинфанте как^[3]

${\displaystyle T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\frac {i}{2}}\partial _{\kappa }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\kappa }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\mu \nu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\kappa \nu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\kappa \mu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}\right]}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ это Плотность лагранжиана, множество {Ψ} - это поля, входящие в лагранжиан, тензор энергии и импульса небелинфанте определяется как

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi ^{\ell })}}\partial ^{\nu }\Psi ^{\ell }}$

и ${\displaystyle {\mathcal {J^{\mu \nu }}}}$ представляют собой набор матриц, удовлетворяющих алгебре однородных Группа Лоренца^[4]

${\displaystyle [{\mathcal {J}}^{\mu \nu },{\mathcal {J}}^{\rho \sigma }]=i{\mathcal {J}}^{\rho \nu }\eta ^{\mu \sigma }-i{\mathcal {J}}^{\sigma \nu }\eta ^{\mu \rho }-i{\mathcal {J}}^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }+i{\mathcal {J}}^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$.

Рекомендации

1. Ф. Дж. Белинфанте (1940). «О токе и плотности электрического заряда, энергии, импульсе и моменте количества движения произвольных полей». Physica. 7 (5): 449. Bibcode:1940Phy ..... 7..449B. CiteSeerX  10.1.1.205.8093. Дои:10.1016 / S0031-8914 (40) 90091-X.
2. Л. Розенфельд (1940). "Sur le tenseur D'Impulsion-Energie". Акад. Рой. Бельг. Мемуары классов науки. 18 (глава 6).
3. Вайнберг, Стивен (2005). Квантовая теория полей (Repr., Pbk. Ed.). Кембридж [u.a.]: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  9780521670531.
4. Кэхилл, Кевин, Университет Нью-Мексико (2013). Физическая математика (Ред. Ред.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107005211.