Спиновый тензор - Spin tensor

Не путать с тензорные произведения из спиновые представления.

В математика, математическая физика, и теоретическая физика, то спиновый тензор - величина, используемая для описания вращательного движения частиц в пространство-время. Тензор имеет применение в общая теория относительности и специальная теория относительности, а также квантовая механика, релятивистская квантовая механика, и квантовая теория поля.

В Евклидова группа SE (d) из прямые изометрии генерируется переводы и вращения. это Алгебра Ли написано ${\displaystyle {\mathfrak {se}}(d)}$.

В этой статье используется Декартовы координаты и обозначение тензорного индекса.

Справочная информация о токах Нётер

В Ток Нётер для перемещений в пространстве это импульс, а для приращений во времени - энергия. Эти два утверждения объединяются в одно в пространстве-времени: трансляции в пространстве-времени, то есть смещение между двумя событиями, генерируется четырехмерным импульсом. п. Сохранение четырехимпульса дает уравнение неразрывности:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0\,,}$

где ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$ это тензор энергии-импульса, и ∂ являются частные производные которые составляют четыре градиента (в не декартовых координатах это необходимо заменить на ковариантная производная ). Интеграция по пространству:

${\displaystyle \int d^{3}xT^{\mu 0}({\vec {x}},t)=P^{\mu }}$

дает четырехмерный вектор во время т.

Ток Нётер для вращения вокруг точки у задается тензором 3-го порядка, обозначаемым ${\displaystyle M_{y}^{\alpha \beta \mu }}$. Из-за Алгебра Ли связи

${\displaystyle M_{y}^{\alpha \beta \mu }(x)=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(x)+y^{\alpha }T^{\beta \mu }(x)-y^{\beta }T^{\alpha \mu }(x)\,,}$

где нижний индекс 0 указывает происхождение (в отличие от импульса, угловой момент зависит от начала координат), интеграл:

${\displaystyle \int d^{4}xM_{0}^{\mu \nu }({\vec {x}},t)}$

дает тензор углового момента ${\displaystyle M^{\mu \nu }\,}$ вовремя т.

Определение

В спиновый тензор определяется в точке Икс быть значением тока Нётер при Икс вращения вокруг Икс,

${\displaystyle S^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ M_{x}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )+x^{\alpha }T^{\beta \mu }(\mathbf {x} )-x^{\beta }T^{\alpha \mu }(\mathbf {x} )}$

Уравнение неразрывности

${\displaystyle \partial _{\mu }M_{0}^{\alpha \beta \mu }=0\,,}$

подразумевает:

${\displaystyle \partial _{\mu }S^{\alpha \beta \mu }=T^{\beta \alpha }-T^{\alpha \beta }\neq 0}$

и поэтому тензор энергии-импульса это не симметричный тензор.

Количество S это плотность вращение угловой момент (спин в этом случае есть не только для точечной частицы, но и для протяженного тела), и M - плотность орбитального углового момента. Полный угловой момент всегда является суммой спинового и орбитального вкладов.

Соотношение:

${\displaystyle T_{ij}-T_{ji}}$

дает крутящий момент плотность, показывающая скорость преобразования между орбитальным угловым моментом и спином.

Примеры

Примеры материалов с ненулевой спиновой плотностью: молекулярные жидкости, то электромагнитное поле и турбулентные жидкости. В случае молекулярных жидкостей отдельные молекулы могут вращаться. Электромагнитное поле может иметь круговой поляризованный свет. Для турбулентных жидкостей мы можем произвольно проводить различие между явлениями длинных волн и явлениями коротких волн. Длинная волна завихренность может быть преобразован через турбулентность в более мелкие и более мелкие вихри, переносящие угловой момент на все меньшие и меньшие длины волн, одновременно уменьшая завихренность. Это может быть приблизительно выражено вихревая вязкость.

Смотрите также

• Тензор энергии-импульса Белинфанте – Розенфельда
• Группа Пуанкаре
• Группа Лоренца
• Релятивистский угловой момент
• Центр масс (релятивистский)
• Уравнения Матиссона – Папапетру – Диксона
• Псевдовектор Паули – Любанского

использованная литература

• А. К. Райчаудхури; С. Банерджи; А. Банерджи (2003). Общая теория относительности, астрофизика и космология. Библиотека астрономии и астрофизики. Springer. С. 66–67. ISBN  978-038-740-628-2.
• J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр.156 –159, §5.11. ISBN  978-0-7167-0344-0.
• Л. М. Бутчер; А. Ласенби; М. Хобсон (2012). «Локализация углового момента линейной гравитации». Phys. Ред. D. 86 (8): 084012. arXiv:1210.0831. Bibcode:2012ПхРвД..86х4012Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.86.084012. S2CID  119220791.
• Т. Бэнкс (2008). «Современная квантовая теория поля: краткое введение». Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-113-947-389-7.

• С. Копейкин, М. Ефроимский, Г. Каплан (2011). «Релятивистская небесная механика Солнечной системы». Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-352-763-457-6.
• У. Ф. Махер; Дж. Д. Зунд (1968). «Спинорный подход к тензору спина Ланцоша». Il Nuovo Cimento A. 10. 57 (4). Springer. С. 638–648. Дои:10.1007 / BF02751371.

внешние ссылки

• фон Ян Штайнхофф. "Каноническая формулировка спина в общей теории относительности (диссертация)" (PDF). Получено 2013-10-27.