Билинейная карта - Bilinear map

В математика, а билинейная карта это функция объединение элементов двух векторные пространства чтобы получить элемент третьего векторного пространства, и является линейный в каждом из своих аргументов. Умножение матриц это пример.

Определение

Векторные пространства

Позволять ${displaystyle V,W}$ и ${displaystyle X}$ быть тремя векторные пространства на той же базе поле ${displaystyle mathbb {F} }$. Билинейная карта - это функция

${displaystyle B:V imes W o X}$

такой, что для всех ${displaystyle win W}$, карта ${displaystyle B_{w}}$

${displaystyle vmapsto B(v,w)}$

это линейная карта из ${displaystyle V}$ к ${displaystyle X}$, и для всех ${displaystyle vin V}$, карта ${displaystyle B_{v}}$

${displaystyle wmapsto B(v,w)}$

это линейная карта из ${displaystyle W}$ к ${displaystyle X}$. Другими словами, когда мы фиксируем первую запись билинейного отображения, позволяя изменять вторую запись, результатом будет линейный оператор, и аналогично, когда мы фиксируем вторую запись.

Такая карта ${displaystyle B}$ удовлетворяет следующим свойствам.

• Для любого ${displaystyle lambda in mathbb {F} }$, ${displaystyle B(lambda v,w)=B(v,lambda w)=lambda B(v,w)}$.
• Карта ${displaystyle B}$ является аддитивным в обоих компонентах: если ${displaystyle v_{1},v_{2}in V}$ и ${displaystyle w_{1},w_{2}in W}$, тогда ${displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ и ${displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2})}$.

Если V = W и у нас есть B(v, ш) = B(ш, v) для всех v, ш в V, то мы говорим, что B является симметричный. Если Икс это базовое поле F, то карта называется билинейная форма, которые хорошо изучены (см., например, скалярное произведение, внутренний продукт и квадратичная форма ).

Модули

Определение работает без изменений, если вместо векторных пространств над полем F, мы используем модули через коммутативное кольцо р. Это обобщает на п-арные функции, где собственный член полилинейный.

Для некоммутативных колец р и S, левый р-модуль M и право S-модуль N, билинейная карта - это карта B : M × N → Т с Т ан (р, S)-бимодуль, и для которых любой п в N, м ↦ B(м, п) является р-модульный гомоморфизм, и для любого м в M, п ↦ B(м, п) является S-модульный гомоморфизм. Это удовлетворяет

B(р ⋅ м, п) = р ⋅ B(м, п)

B(м, п ⋅ s) = B(м, п) ⋅ s

для всех м в M, п в N, р в р и s в S, а также B существование добавка в каждом аргументе.

Характеристики

Первым непосредственным следствием определения является то, что B(v, ш) = 0_Икс в любое время v = 0_V или же ш = 0_W. Это можно увидеть, написав нулевой вектор 0_V в качестве 0 ⋅ 0_V (и аналогично для 0_W) и перемещая скаляр 0 «наружу» перед B, по линейности.

Набор L(V, W; Икс) всех билинейных отображений является линейное подпространство пространства (а именно векторное пространство, модуль ) всех карт из V × W в Икс.

Матрица M определяет билинейное отображение в вещественные числа с помощью реальной билинейной формы (v, ш) ↦ v′Mw, тогда соратники из этого используются для трех других возможностей, используя двойственность и музыкальный изоморфизм

Если V, W, Икс находятся конечномерный, то так L(V, W; Икс). За Икс = F, т.е. билинейные формы, размерность этого пространства равна тусклый V × тусклый W (в то время как пространство L(V × W; F) из линейный формы имеет размер тусклый V + тусклый W). Чтобы увидеть это, выберите основа за V и W; то каждое билинейное отображение может быть однозначно представлено матрицей B(е_я, ж_j), наоборот. Сейчас если Икс пространство более высокой размерности, очевидно, что тусклый L(V, W; Икс) = тусклый V × тусклый W × тусклый Икс.

Примеры

• Умножение матриц это билинейное отображение М (м, п) × M (п, п) → M (м, п).
• Если векторное пространство V над действительные числа р несет внутренний продукт, то внутренним произведением является билинейное отображение V × V → р.
• В общем случае для векторного пространства V над полем F, а билинейная форма на V то же самое, что и билинейное отображение V × V → F.
• Если V это векторное пространство с двойное пространство V^∗, затем оператор приложения, б(ж, v) = ж(v) это билинейная карта из V^∗ × V к базовому полю.
• Позволять V и W быть векторными пространствами над одним и тем же базовым полем F. Если ж является членом V^∗ и грамм членом W^∗, тогда б(v, ш) = ж(v)грамм(ш) определяет билинейное отображение V × W → F.
• В перекрестное произведение в р³ это билинейное отображение р³ × р³ → р³.
• Позволять B : V × W → Икс быть билинейным отображением и L : U → W быть линейная карта, тогда (v, ты) ↦ B(v, Лу) является билинейным отображением на V × U.

Непрерывность и отдельная преемственность

Предполагать Икс, Y, и Z находятся топологические векторные пространства и разреши ${displaystyle b:X imes Y o Z}$ быть билинейным отображением. потом б как говорят отдельно непрерывный если выполнены следующие два условия:

1. для всех ${displaystyle xin X}$, карта ${displaystyle Y o Z}$ данный ${displaystyle ymapsto b(x,y)}$ непрерывно;
2. для всех ${displaystyle yin Y}$, карта ${displaystyle X o Z}$ данный ${displaystyle xmapsto b(x,y)}$ непрерывно.

Многие отдельно непрерывные билинейные, которые не являются непрерывными, удовлетворяют дополнительному свойству: лицемерие.^[1] Все непрерывные билинейные отображения гипонепрерывны.

Достаточные условия для преемственности

Многие билинейные карты, которые встречаются на практике, являются непрерывными по отдельности, но не все непрерывны. Перечислим здесь достаточные условия непрерывности отдельно непрерывной билинейной функции.

• Если Икс это Пространство Бэра и Y является метризуемый то каждое отдельно непрерывное билинейное отображение ${displaystyle b:X imes Y o Z}$ непрерывно.^[1]
• Если Икс, Y, и Z являются сильные дуалы из Пространства фреше то каждое отдельно непрерывное билинейное отображение ${displaystyle b:X imes Y o Z}$ непрерывно.^[1]
• Если билинейное отображение непрерывно в точке (0, 0), то оно непрерывно всюду.^[2]

Составная карта

Смотрите также: Топология равномерной сходимости

Позволять Икс, Y, и Z - локально выпуклые хаусдорфовы пространства и пусть ${displaystyle C:Lleft(X;Yight) imes Lleft(Y;Zight) o Lleft(X;Zight)}$ быть составной картой, определяемой ${displaystyle C(u,v):=vcirc u}$. В общем случае билинейное отображение C не является непрерывным (какие бы топологии ни заданы пространства линейных отображений). Однако у нас есть следующие результаты:

Дайте всем трем пространствам линейных отображений одну из следующих топологий:

1. дать всем трем топологию ограниченной сходимости;
2. дать всем трем топологию компактной сходимости;
3. зададим всем трем топологию поточечной сходимости.

• Если E является равностепенный подмножество ${displaystyle Lleft(Y;Zight)}$ тогда ограничение ${displaystyle C{ig vert }_{Lleft(X;Yight) imes E}:Lleft(X;Yight) imes E o Lleft(X;Zight)}$ непрерывна для всех трех топологий.^[1]
• Если Y это ствольное пространство тогда для каждой последовательности ${displaystyle left(u_{i}ight)_{i=1}^{infty }}$ сходится к ты в ${displaystyle Lleft(X;Yight)}$ и каждая последовательность ${displaystyle left(v_{i}ight)_{i=1}^{infty }}$ сходится к v в ${displaystyle Lleft(Y;Zight)}$, последовательность ${displaystyle left(v_{i}circ u_{i}ight)_{i=1}^{infty }}$ сходится к ${displaystyle vcirc u}$ в ${displaystyle Lleft(Y;Zight)}$. ^[1]

Смотрите также

• Тензорное произведение
• Полуторалинейная форма
• Билинейная фильтрация
• Многолинейная карта
• Мультилинейное подпространственное обучение

Рекомендации

1. Трев 2006, стр. 424-426.
2. Шефер и Вольф, 1999 г., п. 118.

Библиография

• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

внешняя ссылка

• «Билинейное отображение», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]