Капиллярная волна - Capillary wave

Капиллярная волна (рябь) в воде

Капиллярные волны, создаваемые капля воздействует на границу раздела воды и воздуха.

А капиллярная волна это волна путешествуя по фазовая граница жидкости, чья динамика и фазовая скорость преобладают эффекты поверхностное натяжение.

Капиллярные волны распространены в природа, и их часто называют рябь. В длина волны капиллярных волн на воде обычно меньше нескольких сантиметров, с фазовая скорость более 0,2–0,3 м / сек.

Большая длина волны на границе раздела жидкостей приведет к гравитационно-капиллярные волны на которые влияют как поверхностное натяжение, так и сила тяжести, а также жидкостью инерция. Обыкновенный гравитационные волны иметь еще большую длину волны.

Когда они порождаются легким ветром в открытой воде, морское название для них кошачья лапа волны. Легкий ветерок, вызывающий такую мелкую рябь, также иногда называют кошачьими лапками. В открытом океане намного больше океанские поверхностные волны (моря и набухает ) может возникнуть в результате слияния более мелких волн, вызванных ветром.

Отношение дисперсии

В соотношение дисперсии описывает отношения между длина волны и частота В волнах. Можно провести различие между чистыми капиллярными волнами, в которых полностью преобладают эффекты поверхностного натяжения, и гравитационно-капиллярными волнами, на которые также влияет сила тяжести.

Собственно капиллярные волны

Дисперсионное соотношение для капиллярных волн имеет вид

{ displaystyle omega ^ {2} = { frac { sigma} { rho + rho '}} , | k | ^ {3},}

где ${ displaystyle omega}$ это угловая частота, ${ displaystyle sigma}$ то поверхностное натяжение, ${ displaystyle rho}$ то плотность из более тяжелой жидкости, ${ displaystyle rho '}$ плотность жидкости для зажигалок и ${ displaystyle k}$ то волновое число. В длина волны является ${ displaystyle lambda = { frac {2 pi} {k}}.}$ Для границы между жидкостью и вакуумом (свободная поверхность) дисперсионное соотношение сводится к

{ displaystyle omega ^ {2} = { frac { sigma} { rho}} , | k | ^ {3}.}

Гравитационно-капиллярные волны

Рассеяние гравитационно-капиллярных волн на поверхности глубокой воды (нулевая массовая плотность верхнего слоя,

{ displaystyle rho '= 0}

). Фаза и групповая скорость, деленная на

{ displaystyle scriptstyle { sqrt [{4}] {г sigma / rho}}}

как функция обратной относительной длины волны

{ displaystyle scriptstyle { frac {1} { lambda}} { sqrt { sigma / ( rho g)}}}

.
• Синие линии (A): фазовая скорость, красные линии (B): групповая скорость.
• Проведенные линии: дисперсионное уравнение для гравитационно-капиллярных волн.
• Пунктирные линии: дисперсионное соотношение для глубоководных гравитационных волн.
• Пунктирные линии: соотношение дисперсии, действующее для глубоководных капиллярных волн.

Как правило, на волны также влияет сила тяжести, и они называются гравитационно-капиллярными волнами. Их дисперсионное соотношение для волн на границе раздела двух жидкостей бесконечной глубины гласит:^[1]^[2]

{ Displaystyle омега ^ {2} = | К | влево ({ гидроразрыва { rho - rho '} { rho + rho'}} g + { frac { sigma} { rho + rho '}} k ^ {2} right),}

где ${ displaystyle g}$ ускорение из-за сила тяжести, ${ displaystyle rho}$ и ${ displaystyle rho '}$ являются плотность вещества двух жидкостей ${ Displaystyle ( rho> rho ')}$ . Фактор ${ Displaystyle ( rho - rho ') / ( rho + rho')}$ в первом члене Число Этвуда.

Режим гравитационных волн

Для больших длин волн (малых ${ Displaystyle к = 2 пи / лямбда}$ ), релевантен только первый член, и гравитационные волны.В этом пределе волны имеют групповая скорость половина фазовая скорость: следуя гребню отдельной волны в группе, можно увидеть, как волна появляется в конце группы, растет и, наконец, исчезает в передней части группы.

Капиллярно-волновой режим

Короче (большой ${ displaystyle k}$ ) волны (например, 2 мм для границы раздела вода-воздух), которые являются собственно капиллярными волнами, делают противоположное: отдельная волна появляется в передней части группы, растет по мере продвижения к центру группы и, наконец, исчезает в задней части группы. группа. В этом пределе фазовая скорость составляет две трети групповой скорости.

Минимальная фазовая скорость

Между этими двумя пределами находится точка, в которой дисперсия, вызванная гравитацией, нейтрализует дисперсию из-за капиллярного эффекта. На определенной длине волны групповая скорость равна фазовой скорости, и дисперсии нет. Именно на этой длине волны фазовая скорость гравитационно-капиллярных волн как функция длины волны (или волнового числа) имеет минимум. Волны с длинами волн намного меньше этой критической длины волны ${ displaystyle lambda _ {m}}$ в них преобладает поверхностное натяжение и намного выше гравитация. Значение этой длины волны и соответствующая минимальная фазовая скорость ${ displaystyle c_ {m}}$ находятся:^[1]

{ displaystyle lambda _ {m} = 2 pi { sqrt { frac { sigma} {( rho - rho ') g}}} quad { text {and}} quad c_ {m } = { sqrt { frac {2 { sqrt {( rho - rho ') g sigma}}} { rho + rho'}}}.}.}

Для воздуха –воды интерфейс, ${ displaystyle lambda _ {m}}$ составляет 1,7 см (0,67 дюйма), а ${ displaystyle c_ {m}}$ составляет 0,23 м / с (0,75 фут / с).^[1]

Если уронить небольшой камень или каплю в жидкость, волны распространятся за пределы расширяющегося круга неподвижной жидкости; этот круг едкий что соответствует минимальной групповой скорости.^[3]

Вывод

Так как Ричард Фейнман положи это, "[волны на воде], которые легко увидеть каждому и которые обычно используются в качестве примера волн на начальных курсах [...], являются наихудшим примером [...]; у них есть все сложности, которые могут быть у волн."^[4] Поэтому вывод общего дисперсионного соотношения весьма сложен.^[5]

Есть три вклада в энергию, обусловленную гравитацией, поверхностное натяжение, и чтобы гидродинамика. Первые два являются потенциальными энергиями и отвечают за два члена в скобках, как видно из появления ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle sigma}$ . Для гравитации предполагается, что плотность жидкостей постоянна (то есть несжимаемость), а также ${ displaystyle g}$ (волны недостаточно высоки, чтобы гравитация заметно изменилась). Для поверхностного натяжения отклонения от планарности (измеренные по производным поверхности) должны быть небольшими. Для обычных волн оба приближения достаточно хороши.

Третий вклад включает кинетическая энергия жидкостей. Это самый сложный и требует гидродинамический фреймворк. Снова возникает несжимаемость (которая удовлетворяется, если скорость волн намного меньше скорости звука в среде), а также поток безвихревый - тогда поток потенциал. Обычно это также хорошие приближения для обычных ситуаций.

Полученное уравнение для потенциала (которое Уравнение лапласа ) можно решить с соответствующими граничными условиями. С одной стороны, скорость должна исчезать глубоко под поверхностью (в случае «глубокой воды», который мы рассматриваем, в противном случае получается более сложный результат, см. Волны на поверхности океана.) С другой стороны, его вертикальная составляющая должна соответствовать движению поверхности. Этот вклад в конечном итоге отвечает за дополнительные ${ displaystyle k}$ вне скобок, что вызывает все режимы должны быть дисперсионными, как при малых значениях ${ displaystyle k}$ , и высокие (кроме одного значения, при котором две дисперсии компенсируются.)

Соотношение дисперсии гравитационно-капиллярных волн на границе раздела двух полубесконечных жидких областей

Рассмотрим две области жидкости, разделенные границей раздела с поверхностным натяжением. Среднее положение интерфейса - горизонтальное. Он отделяет верхнюю жидкость от нижней, обе имеют различную постоянную массовую плотность,

{ displaystyle rho}

и

{ displaystyle rho '}

для нижнего и верхнего домена соответственно. Предполагается, что жидкость невязкий и несжимаемый, а поток предполагается равным безвихревый. Тогда потоки равны потенциал, а скорость в нижнем и верхнем слое может быть получена из

{ Displaystyle набла фи}

и

{ displaystyle nabla phi '}

соответственно. Вот

{ Displaystyle фи (х, у, г, т)}

и

{ Displaystyle phi '(х, у, z, т)}

находятся потенциалы скорости.

Участвуют три вклада в энергию: потенциальная энергия ${ displaystyle V_ {g}}$ из-за сила тяжести, потенциальная энергия ${ displaystyle V_ {st}}$ из-за поверхностное натяжение и кинетическая энергия ${ displaystyle T}$ потока. Часть ${ displaystyle V_ {g}}$ из-за силы тяжести является самым простым: интегрировать плотность потенциальной энергии из-за гравитации, ${ displaystyle rho gz}$ (или ${ displaystyle rho 'gz}$ ) от исходной высоты до положения поверхности, ${ displaystyle z = eta (x, y, t)}$ :^[6]

{ Displaystyle V _ { mathrm {g}} = iint dx , dy ; int _ {0} ^ { eta} dz ; ( rho - rho ') gz = { frac {1} {2}} ( rho - rho ') g iint dx , dy ; eta ^ {2},}

предполагая, что средняя позиция границы раздела ${ displaystyle z = 0}$ .

Увеличение площади поверхности вызывает пропорциональное увеличение энергии за счет поверхностного натяжения:^[7]

{ displaystyle V _ { mathrm {st}} = sigma iint dx , dy ; left [{ sqrt {1+ left ({ frac { partial eta} { partial x}} справа) ^ {2} + left ({ frac { partial eta} { partial y}} right) ^ {2}}} - 1 right] приблизительно { frac {1} {2} } sigma iint dx , dy ; left [ left ({ frac { partial eta} { partial x}} right) ^ {2} + left ({ frac { partial eta} { partial y}} right) ^ {2} right],}

где первое равенство - это площадь в этом (Monge s) представление, а второе - для малых значений производных (поверхности не слишком шероховатые).

Последний вклад включает кинетическая энергия жидкости:^[8]

{ Displaystyle T = { frac {1} {2}} iint dx , dy ; left [ int _ {- infty} ^ { eta} dz ; rho , left | mathbf { nabla} Phi right | ^ {2} + int _ { eta} ^ {+ infty} dz ; rho ', left | mathbf { nabla} Phi' right | ^ {2} right].}

Используется несжимаемая жидкость и безвихревый поток (часто это разумные приближения). В результате оба ${ Displaystyle фи (х, у, г, т)}$ и ${ Displaystyle phi '(х, у, z, т)}$ должен удовлетворить Уравнение лапласа:^[9]

{ displaystyle nabla ^ {2} Phi = 0}

и

{ displaystyle nabla ^ {2} Phi '= 0.}

Эти уравнения могут быть решены с соответствующими граничными условиями: ${ displaystyle phi}$ и ${ displaystyle phi '}$ должен исчезнуть достаточно далеко от поверхности (в случае «глубокой воды», который мы и рассматриваем).

С помощью Личность Грина, и предполагая, что отклонения отметки поверхности малы (так что z–Интеграции могут быть аппроксимированы интегрированием до ${ displaystyle z = 0}$ вместо того ${ displaystyle z = eta}$ ) кинетическая энергия может быть записана как:^[8]

{ Displaystyle Т приблизительно { гидроразрыва {1} {2}} iint dx , dy ; left [ rho , Phi , { frac { partial Phi} { partial z}} ; - ; rho ', Phi' , { frac { partial Phi '} { partial z}} right] _ {{ text {at}} z = 0}.}

Чтобы найти дисперсионное соотношение, достаточно рассмотреть синусоидальный волна на границе раздела, распространяющаяся в Икс–Направление:^[7]

{ Displaystyle эта = а , соз , (кх- омега т) = а , соз , тета,}

с амплитудой ${ displaystyle a}$ и волна фаза ${ displaystyle theta = kx- omega t}$ . Кинематическое граничное условие на границе раздела, связывающее потенциалы с движением границы раздела, состоит в том, что компоненты вертикальной скорости должны соответствовать движению поверхности:^[7]

{ displaystyle { frac { partial Phi} { partial z}} = { frac { partial eta} { partial t}}}

и

{ displaystyle { frac { partial Phi '} { partial z}} = { frac { partial eta} { partial t}}}

в

{ displaystyle z = 0}

.

Чтобы решить проблему нахождения потенциалов, можно попробовать разделение переменных, когда оба поля могут быть выражены как:^[7]

{ displaystyle { begin {align} Phi (x, y, z, t) & = + { frac {1} {| k |}} { text {e}} ^ {+ | k | z} , omega a , sin , theta, Phi '(x, y, z, t) & = - { frac {1} {| k |}} { text {e}} ^ {- | k | z} , omega a , sin , theta. end {align}}}

Тогда вклады в энергию волны, интегрированные по горизонтали по одной длине волны ${ displaystyle lambda = 2 pi / k}$ в Икс–Направление, а на единицу ширины в y–Направление, стать:^[7]^[10]

{ displaystyle { begin {align} V _ { text {g}} & = { frac {1} {4}} ( rho - rho ') ga ^ {2} lambda, V _ { текст {st}} & = { frac {1} {4}} sigma k ^ {2} a ^ {2} lambda, T & = { frac {1} {4}} ( rho + rho ') { frac { omega ^ {2}} {| k |}} a ^ {2} lambda. end {align}}}

Теперь дисперсионное соотношение можно получить из Лагранжиан ${ Displaystyle L = Т-В}$ , с участием ${ displaystyle V}$ сумма потенциальных энергий от силы тяжести ${ displaystyle V_ {g}}$ и поверхностное натяжение ${ displaystyle V_ {st}}$ :^[11]

{ displaystyle L = { frac {1} {4}} left [( rho + rho ') { frac { omega ^ {2}} {| k |}} - ( rho - rho ') g- sigma k ^ {2} right] a ^ {2} lambda.}

Для синусоидальных волн и теории линейных волн фазово-усредненный лагранжиан всегда имеет форму ${ Displaystyle L = D ( омега, к) а ^ {2}}$ , так что вариация по единственному свободному параметру ${ displaystyle a}$ , дает дисперсионное соотношение ${ displaystyle D ( omega, k) = 0}$ .^[11] В нашем случае ${ Displaystyle D ( omega, к)}$ это просто выражение в квадратных скобках, поэтому дисперсионное соотношение имеет вид:

{ displaystyle omega ^ {2} = | к | left ({ frac { rho - rho '} { rho + rho'}} , g + { frac { sigma} { rho + rho '}} , k ^ {2} right),}

то же, что и выше.

В результате средняя энергия волны на единицу горизонтальной площади, ${ Displaystyle (Т + В) / лямбда}$ , является:

{ displaystyle { bar {E}} = { frac {1} {2}} , left [( rho - rho ') , g + sigma k ^ {2} right] , а ^ {2}.}

Как обычно для линейных волновых движений, потенциальная и кинетическая энергия равны (равнораспределение держит): ${ displaystyle T = V}$ .^[12]

Смотрите также

Галерея

Рябь на воде, созданная водомеры
Легкая рябь ветерок на поверхности воды озера

Заметки

^ ^а ^б ^c Lamb (1994), §267, стр. 458–460.
^ Дингеманс (1997), раздел 2.1.1, стр. 45.
Филлипс (1977), раздел 3.2, стр. 37.
^ Фалькович, Г. (2011). Механика жидкости, краткий курс для физиков. Издательство Кембриджского университета. Раздел 3.1 и упражнение 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4.
^ Р. П. Фейнман, Р. Б. Лейтон и М. Сэндс (1963). Лекции Фейнмана по физике. Эддисон-Уэсли. Том I, Глава 51-4.
^ См. Например Safran (1994) для более подробного описания.
^ Lamb (1994), §174 и §230.
^ ^а ^б ^c ^d ^е Лэмб (1994), §266.
^ ^а ^б Лэмб (1994), §61.
^ Лэмб (1994), §20
^ Лэмб (1994), §230.
^ ^а ^б Уизем, Дж. Б. (1974). Линейные и нелинейные волны. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-94090-9. См. Раздел 11.7.
^ Лорд Рэлей (Дж. У. Стратт) (1877). «На прогрессивных волнах». Труды Лондонского математического общества. 9: 21–26. Дои:10.1112 / плмс / с1-9.1.21. Перепечатано как Приложение в: Теория звука 1, MacMillan, 2-е исправленное издание, 1894 г.

использованная литература

Лонге-Хиггинс, М. С. (1963). «Генерация капиллярных волн крутыми гравитационными волнами». Журнал гидромеханики. 16 (1): 138–159. Bibcode:1963JFM .... 16..138L. Дои:10.1017 / S0022112063000641. ISSN 1469-7645.
Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9.
Филлипс, О.М. (1977). Динамика верхнего слоя океана (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29801-6.
Дингеманс, М. В. (1997). Распространение водной волны по неровному дну. Продвинутая серия по океанской инженерии. 13. World Scientific, Сингапур. С. 2 Части, 967 стр. ISBN 981-02-0427-2.
Сафран, Самуэль (1994). Статистическая термодинамика поверхностей, границ раздела и мембран. Эддисон-Уэсли.
Туфилларо, Н. Б.; Ramshankar, R .; Голлуб, Дж. П. (1989). «Переход порядок-беспорядок в капиллярной ряби». Письма с физическими проверками. 62 (4): 422–425. Bibcode:1989ПхРвЛ..62..422Т. Дои:10.1103 / PhysRevLett.62.422. PMID 10040229.

внешние ссылки

Запись капиллярных волн в sklogwiki

[Lamb-1] а ^б ^c Lamb (1994), §267, стр. 458–460.

[2] Дингеманс (1997), раздел 2.1.1, стр. 45.
Филлипс (1977), раздел 3.2, стр. 37.

[3] Фалькович, Г. (2011). Механика жидкости, краткий курс для физиков. Издательство Кембриджского университета. Раздел 3.1 и упражнение 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4.

[4] Р. П. Фейнман, Р. Б. Лейтон и М. Сэндс (1963). Лекции Фейнмана по физике. Эддисон-Уэсли. Том I, Глава 51-4.

[5] См. Например Safran (1994) для более подробного описания.

[6] Lamb (1994), §174 и §230.

[LambCap-7] а ^б ^c ^d ^е Лэмб (1994), §266.

[LambKin-8] а ^б Лэмб (1994), §61.

[9] Лэмб (1994), §20

[10] Лэмб (1994), §230.

[Whitham-11] а ^б Уизем, Дж. Б. (1974). Линейные и нелинейные волны. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-94090-9. См. Раздел 11.7.

[12] Лорд Рэлей (Дж. У. Стратт) (1877). «На прогрессивных волнах». Труды Лондонского математического общества. 9: 21–26. Дои:10.1112 / плмс / с1-9.1.21. Перепечатано как Приложение в: Теория звука 1, MacMillan, 2-е исправленное издание, 1894 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]