Набор кругов - Circle bundle

В математика, а связка кругов это пучок волокон где волокно круг ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {S} ^{1}}$.

Связки ориентированных кругов также известны как главный U(1) -бандлы. В физика, пучки кругов являются естественной геометрической обстановкой для электромагнетизм. Расслоение кругов - это частный случай связка сфер.

Как 3-многообразия

Круговые пучки над поверхности являются важным примером 3-х коллектор. Более общий класс трехмерных многообразий - это Расслоения Зейферта, который можно рассматривать как своего рода "особую" круговую связку или как круговую связку над двумерным орбифолд.

Связь с электродинамикой

В Уравнения Максвелла соответствуют электромагнитное поле представлен 2-форма F, с участием ${\displaystyle \pi ^{\!*}F}$ будучи когомологичный до нуля. В частности, всегда существует 1-форма А, то электромагнитный четырехпотенциальный, (эквивалентно аффинная связь ) такие, что

${\displaystyle \pi ^{\!*}F=dA.}$

Учитывая пучок кругов п над M и его проекция

${\displaystyle \pi :P\to M}$

у одного есть гомоморфизм

${\displaystyle \pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )}$

где ${\displaystyle \pi ^{\!*}}$ это откат. Каждому гомоморфизму соответствует Монополь Дирака; целое число группы когомологий соответствуют квантованию электрический заряд. В Эффект Бома-Ааронова можно понимать как голономия связи на соответствующем линейном пучке, описывающем волновую функцию электрона. По сути, эффект Бома-Ааронова не является квантово-механическим эффектом (вопреки распространенному мнению), поскольку квантование не участвует и не требуется при построении пучков волокон или соединений.

Примеры

• В Расслоение Хопфа является примером нетривиального кругового расслоения.
• Единичное нормальное расслоение поверхности - еще один пример расслоения окружностей.
• Единичное нормальное расслоение неориентируемой поверхности - это круговое расслоение, не являющееся главным. ${\displaystyle U(1)}$ связка. Только ориентируемые поверхности имеют касательные пучки главных единиц.
• Другой метод построения круговых пучков - использование комплексного линейного пучка. ${\displaystyle L\to X}$ и взяв связанное с ним расслоение сфер (в данном случае круг). Поскольку это расслоение имеет ориентацию, индуцированную ${\displaystyle L}$ у нас есть что это главное ${\displaystyle U(1)}$-бандл.^[1] Более того, характеристические классы из теории Черна-Вейля ${\displaystyle U(1)}$-бандл согласуются с характерными классами ${\displaystyle L}$.
• Например, рассмотрим аналитику ${\displaystyle X}$ комплексная плоская кривая

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)}$

поскольку ${\displaystyle H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})}$ и характеристические классы отклоняются нетривиально, линейное расслоение, связанное с пучком ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}}$ имеет класс Черна ${\displaystyle c_{1}=a\in H^{2}(X)}$.

Классификация

В классы изоморфизма основных ${\displaystyle U(1)}$-расслоения над многообразием M находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопические классы карт ${\displaystyle M\to BU(1)}$, где ${\displaystyle BU(1)}$ называется классифицирующее пространство для U (1). Обратите внимание, что ${\displaystyle BU(1)=CP^{\infty }}$ является бесконечномерным сложное проективное пространство, и что это пример Пространство Эйленберга – Маклейна ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2).}$ Такие связки классифицируются элементом второго группа интегральных когомологий ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ из M, поскольку

${\displaystyle [M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)}$.

Этот изоморфизм реализуется Класс Эйлера; эквивалентно, это первый Черн класс гладкого комплекса линейный пакет (по сути потому, что круг гомотопически эквивалентен ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$, комплексная плоскость без начала координат; и поэтому комплексное линейное расслоение без нулевого сечения гомотопически эквивалентно круговому расслоению.)

Расслоение кругов является главным ${\displaystyle U(1)}$ связать тогда и только тогда, когда связанная карта ${\displaystyle M\to B\mathbb {Z} _{2}}$ является нулевым гомотопным, что истинно тогда и только тогда, когда расслоение послойно ориентируемо. Таким образом, для более общего случая, когда расслоение окружностей над M могут быть неориентируемыми, классы изоморфизма находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопические классы карт ${\displaystyle M\to BO_{2}}$. Это следует из расширения групп, ${\displaystyle SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$, где ${\displaystyle SO_{2}\equiv U(1)}$.

Комплексы делинь

Основная статья: Когомологии Делиня

Вышеупомянутая классификация применяется только к группам кругов в целом; соответствующая классификация для гладких круговых расслоений или, скажем, круговых расслоений с аффинная связь требует более сложной теории когомологий. Результаты включают, что расслоения гладких кругов классифицируются вторыми когомологиями Делиня ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )}$; круговые расслоения аффинной связности классифицируются по ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))}$ в то время как ${\displaystyle H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )}$ классифицирует линейный пучок герберы.

Смотрите также

• Последовательность Ванга

использованная литература

1. https://mathoverflow.net/q/144092. Отсутствует или пусто | название = (Помогите)

• Чернь, Шиинг-шен (1977), «Круглые связки», Конспект лекций по математике, 597/1977, Springer Берлин / Гейдельберг, стр. 114–131, Дои:10.1007 / BFb0085351, ISBN  978-3-540-08345-0.