Аффинная связь - Affine connection

Аффинная связность на сфере катит аффинную касательную плоскость из одной точки в другую. При этом точка контакта очерчивает кривую на плоскости: разработка.

В Дифференциальная геометрия, аффинная связь геометрический объект на гладкое многообразие который соединяет рядом касательные пространства, так что это позволяет касательные векторные поля быть дифференцированный как если бы они были функциями на многообразии со значениями в фиксированном векторное пространство. Понятие аффинной связи уходит корнями в геометрию XIX века и тензорное исчисление, но не был полностью разработан до начала 1920-х гг. Эли Картан (как часть его общей теории связи ) и Герман Вейль (который использовал это понятие как часть своих основ для общая теория относительности ). Терминология принадлежит Картану и берет свое начало от идентификации касательных пространств в Евклидово пространство $р п$ переводом: идея состоит в том, что выбор аффинной связности делает многообразие бесконечно малым, как евклидово пространство, не только гладко, но и как аффинное пространство.

На любом многообразии положительной размерности бесконечно много аффинных связностей. Если в дальнейшем многообразие наделено Риманова метрика тогда существует естественный выбор аффинной связности, называемый Леви-Чивита связь. Выбор аффинной связности равносилен предписанию способа дифференцирования векторных полей, который удовлетворяет нескольким разумным свойствам (линейность и Правило Лейбница ). Это дает возможное определение аффинной связности как ковариантная производная или (линейный) связь на касательный пучок. Выбор аффинной связности также эквивалентен понятию параллельный транспорт, который представляет собой метод переноса касательных векторов по кривым. Это также определяет параллельный транспорт на комплект кадров. Бесконечно малый параллельный перенос в связке кадров дает другое описание аффинной связи, либо как Картановое соединение для аффинная группа или как основная связь на пачке рам.

Основными инвариантами аффинной связности являются ее кручение и это кривизна. Кручение измеряет, насколько близко Кронштейн лжи векторных полей восстанавливаются по аффинной связности. Аффинные связи также могут использоваться для определения (аффинных) геодезические на многообразии, обобщая прямые линии евклидова пространства, хотя геометрия этих прямых линий может сильно отличаться от обычных Евклидова геометрия; основные отличия заключаются в кривизне соединения.

Мотивация и история

А гладкое многообразие это математический объект, который локально выглядит как плавная деформация евклидова пространства $р п$ : например, гладкая кривая или поверхность локально выглядит как плавная деформация линии или плоскости. Гладкие функции и векторные поля могут быть определены на многообразиях так же, как и на евклидовом пространстве, и скаляр функции на многообразиях можно естественным образом дифференцировать. Однако дифференцировать векторные поля менее просто: это простой вопрос в евклидовом пространстве, потому что касательное пространство базовых векторов в точке $п$ можно естественным образом (переводом) отождествить с касательным пространством в ближайшей точке $q$ . На общем многообразии нет такого естественного отождествления между соседними касательными пространствами, и поэтому касательные векторы в соседних точках нельзя сравнивать четко определенным образом. Для решения этой проблемы было введено понятие аффинной связности. соединение близлежащие касательные пространства. Истоки этой идеи можно проследить до двух основных источников: теория поверхности и тензорное исчисление.

Мотивация из теории поверхности

Считайте гладкую поверхность $S$ в трехмерном евклидовом пространстве. Рядом с любой точкой, $S$ можно аппроксимировать его касательная плоскость в этот момент, что является аффинное подпространство евклидова пространства. Дифференциальные геометры в XIX веке интересовались понятием разработка в котором одна поверхность была свернутый по другому, без скольжение или же скручивание. В частности, касательная плоскость к точке $S$ можно катать на $S$ : это должно быть легко представить, когда $S$ поверхность, подобная 2-сфере, которая является гладкой границей выпуклый область, край. Когда касательная плоскость катится по $S$ точка контакта очерчивает кривую на $S$ . Наоборот, если задана кривая на $S$ , касательную плоскость можно катить по этой кривой. Это позволяет идентифицировать касательные плоскости в разных точках кривой: в частности, касательный вектор в касательном пространстве в одной точке кривой идентифицируется с уникальным касательным вектором в любой другой точке кривой. Эти отождествления всегда даются аффинные преобразования от одной касательной плоскости к другой.

У этого понятия параллельного переноса касательных векторов посредством аффинных преобразований вдоль кривой есть характерная особенность: точка контакта касательной плоскости с поверхностью всегда движется с кривой при параллельном переносе (т. е. когда касательная плоскость катится по поверхности, точка контакта перемещается). Это общее условие характерно для Картановые соединения. В более современных подходах точка контакта рассматривается как источник в касательной плоскости (которая затем является векторным пространством), а перемещение начала координат корректируется смещением, так что параллельный перенос является линейным, а не аффинным.

Однако с точки зрения картановских связностей аффинные подпространства евклидова пространства являются модель Поверхности - это простейшие поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, однородные относительно аффинной группы плоскости - и каждая гладкая поверхность имеет уникальную модельную поверхность, касающуюся к ней в каждой точке. Эти модельные поверхности Геометрии Клейна в смысле Феликс Кляйн с Программа Эрланген. В более общем плане $п$ -мерное аффинное пространство есть Геометрия Клейна для аффинная группа $Aff (п)$ , стабилизатором точки является общая линейная группа $GL (п)$ . Аффинный $п$ -многообразие тогда представляет собой многообразие, бесконечно похожее на $п$ -мерное аффинное пространство.

Мотивация из тензорного исчисления

Исторически сложилось так, что люди использовали ковариантную производную (или связь Леви-Чивиты, задаваемую метрикой) для описания скорости изменения вектора вдоль направления другого вектора. Здесь, на проколотом двумерном евклидовом пространстве, синее векторное поле

Икс

отправляет однотипный

d р

до 0,07 везде. Красное векторное поле

Y

отправляет единую форму

р d θ

к

0.5 р

повсюду. Подтверждено метрикой

d s 2 = d р 2 + р 2 d θ 2

, связь Леви-Чивита

\nabla Y Икс

везде 0, что означает

Икс

не имеет изменений

Y

. Другими словами,

Икс

параллельные перевозки вдоль каждого концентрический круг.

\nabla Икс Y = Y / р

везде, что посылает

р d θ

до 0,5 везде, что подразумевает

Y

имеет «постоянную» скорость изменения в радиальном направлении.

Вторая мотивация для аффинных связей проистекает из понятия ковариантная производная векторных полей. До появления координатно-независимых методов необходимо было работать с векторными полями встраивание их соответствующие Евклидовы векторы в атлас. Эти компоненты можно дифференцировать, но производные не изменяются управляемым образом при изменении координат.^{[нужна цитата ]} Условия исправления введены Элвин Бруно Кристоффель (следующие идеи Бернхард Риманн ) в 1870-х годах, так что (исправленная) производная одного векторного поля вдоль другого преобразовывала ковариантно при преобразованиях координат - эти поправочные члены впоследствии стали называться Символы Кристоффеля.

Эта идея была развита в теории абсолютное дифференциальное исчисление (теперь известный как тензорное исчисление ) к Грегорио Риччи-Курбастро и его ученик Туллио Леви-Чивита между 1880 и началом 20 века.

Однако тензорное исчисление действительно ожило с появлением Альберт Эйнштейн теория общая теория относительности в 1915 году. Через несколько лет после этого Леви-Чивита формализовал уникальную связь, связанную с римановой метрикой, ныне известной как Леви-Чивита связь. Более общие аффинные связи были изучены примерно в 1920 г. Герман Вейль,^[1] кто разработал подробные математические основы общей теории относительности, и Эли Картан,^[2] кто связался с геометрическими идеями, исходящими из теории поверхности.

Подходы

Сложная история привела к развитию самых разных подходов и обобщений концепции аффинной связи.

Наиболее популярным подходом, вероятно, является определение, основанное на ковариантных производных. С одной стороны, идеи Вейля были подхвачены физиками в виде калибровочная теория и калибровочные ковариантные производные. С другой стороны, понятие ковариантной дифференциации было абстрагировано Жан-Луи Кошул, который определил (линейный или кошульский) связи на векторные пучки. На этом языке аффинная связь - это просто ковариантная производная или (линейный) связь на касательный пучок.

Однако этот подход не объясняет ни геометрию аффинных связей, ни то, как они получили свое название.^[а] Термин действительно берет свое начало в идентификации касательных пространств в евклидовом пространстве путем перевода: это свойство означает, что евклидово $п$ -пространство - это аффинное пространство. (Альтернативно, евклидово пространство - это главное однородное пространство или же торсор под группой переводов, которая является подгруппой аффинной группы.) Как упоминалось во введении, есть несколько способов уточнить это: один использует тот факт, что аффинная связность определяет понятие параллельный транспорт векторных полей вдоль кривой. Это также определяет параллельный транспорт на комплект кадров. Бесконечно малый параллельный перенос в связке фреймов дает другое описание аффинной связи, либо как связь Картана для аффинной группы $Aff (п)$ или как руководитель $GL (п)$ соединение на рамной связке.

Формальное определение как дифференциальный оператор

Позволять $M$ быть гладким многообразие и разреши $Γ (T M)$ быть пространством векторные поля на $M$ , то есть пространство гладкие участки из касательный пучок $Т M$ . Затем аффинная связь на $M$ это билинейная карта

{ Displaystyle { begin {align} Gamma ( mathrm {T} M) times Gamma ( mathrm {T} M) & rightarrow Gamma ( mathrm {T} M) (X, Y ) & mapsto nabla _ {X} Y ,, end {align}}}

такая, что для всех гладких функций $ж$ в $C \infty (M, р)$ и все векторные поля $Икс, Y$ на $M$ :

$\nabla fX Y = ж \nabla Икс Y$ , то есть, $\nabla$ является $C \infty (M, р)$ -линейный в первой переменной;
$\nabla Икс (fY) = d ж (Икс) Y + ж \nabla Икс Y$ , то есть, $\nabla$ удовлетворяет Правило Лейбница во второй переменной.

Элементарные свойства

Из свойства 1 выше следует, что значение $\nabla Икс Y$ в какой-то момент $Икс \in M$ зависит только от стоимости $Икс$ в $Икс$ а не от стоимости $Икс$ на $M - {Икс}$ . Из свойства 2 выше также следует, что значение $\nabla Икс Y$ в какой-то момент $Икс \in M$ зависит только от стоимости $Y$ по соседству с $Икс$ .
Если $\nabla 1, \nabla 2$ являются аффинными связями, то значение при $Икс$ из $\nabla 1 Икс Y - \nabla 2 Икс Y$ может быть написано $Γ Икс (Икс Икс, Y Икс)$ куда

{ displaystyle Gamma _ {x}: mathrm {T} _ {x} M times mathrm {T} _ {x} M to mathrm {T} _ {x} M}

является билинейным и плавно зависит от

Икс

(т.е. определяет гладкую гомоморфизм расслоения ). И наоборот, если

\nabla

является аффинной связью и

Γ

такой гладкий гомоморфизм билинейного расслоения (называемый форма подключения на

M

) тогда

\nabla + Γ

является аффинной связью.

Если $M$ открытое подмножество $р п$ , то касательное расслоение $M$ это тривиальная связка $M \times р п$ . В этой ситуации существует каноническая аффинная связь $d$ на $M$ : любое векторное поле $Y$ задается гладкой функцией $V$ из $M$ к $р п$ ; тогда $d Икс Y$ - векторное поле, соответствующее гладкой функции $d V (Икс) = \partial Икс Y$ из $M$ к $р п$ . Любая другая аффинная связь $\nabla$ на $M$ поэтому может быть написано $\nabla = d + Γ$ , куда $Γ$ это форма подключения на $M$ .
В более общем плане локальная тривиализация касательного расслоения является изоморфизм расслоения между ограничением $Т M$ к открытому подмножеству $U$ из $M$ , и $U \times р п$ . Ограничение аффинной связи $\nabla$ к $U$ тогда можно записать в виде $d + Γ$ куда $Γ$ это форма подключения на $U$ .

Параллельный транспорт для аффинных соединений

Параллельный перенос касательного вектора по кривой в сфере.

Сравнение касательных векторов в разных точках многообразия обычно не является четко определенным процессом. Аффинная связь предоставляет один способ исправить это, используя понятие параллельный транспорт, и это действительно может быть использовано для определения аффинной связи.

Позволять $M$ - многообразие с аффинной связностью $\nabla$ . Тогда векторное поле $Икс$ как говорят параллельно если $\nabla Икс = 0$ в том смысле, что для любого векторного поля $Y$ , $\nabla Y Икс = 0$ . Интуитивно говоря, параллельные векторы имеют все их производные равно нулю и поэтому в некотором смысле постоянный. Оценивая параллельное векторное поле в двух точках $Икс$ и $у$ , отождествление касательного вектора в точке $Икс$ и один в $у$ получается. Такие касательные векторы называются параллельные перевозки друг друга.

Ненулевые параллельные векторные поля, вообще говоря, не существуют, потому что уравнение $\nabla Икс = 0$ это уравнение в частных производных который сверхопределенный: the условие интегрируемости для этого уравнения равен нулю кривизна из $\nabla$ (Смотри ниже). Однако, если это уравнение ограничено изгиб из $Икс$ к $у$ это становится обыкновенное дифференциальное уравнение. Тогда существует единственное решение для любого начального значения $Икс$ в $Икс$ .

Точнее, если $γ : я \to M$ а плавная кривая параметризованный интервалом $[а, б]$ и $ξ \in T Икс M$ , куда $Икс = γ (а)$ , затем векторное поле $Икс$ вдоль $γ$ (и, в частности, значение этого векторного поля при $у = γ (б)$ ) называется параллельная транспортировка $ξ$ вдоль $γ$ если

$\nabla γ ' (т) Икс = 0$ , для всех $т \in [а, б]$
$Икс γ (а) = ξ$ .

Формально первое условие означает, что $Икс$ параллельно относительно обратное соединение на обратный пакет $γ * T M$ . Однако в локальная тривиализация это система первого порядка линейные обыкновенные дифференциальные уравнения, который имеет единственное решение для любого начального условия, заданного вторым условием (например, Теорема Пикара – Линделёфа ).

Таким образом, параллельный перенос обеспечивает способ перемещения касательных векторов вдоль кривой с использованием аффинной связи, чтобы они «указывали в одном направлении» в интуитивном смысле, и это обеспечивает линейный изоморфизм между касательными пространствами на двух концах кривой. Полученный таким образом изоморфизм в общем случае будет зависеть от выбора кривой: если это не так, то параллельный перенос вдоль каждой кривой можно использовать для определения параллельных векторных полей на $M$ , что может произойти, только если кривизна $\nabla$ равно нулю.

Линейный изоморфизм определяется своим действием на заказная основа или же Рамка. Следовательно, параллельный транспорт можно также охарактеризовать как способ транспортировки элементов (касательной) комплект кадров $GL (M)$ по кривой. Другими словами, аффинная связность дает поднимать любой кривой $γ$ в $M$ к кривой $γ̃$ в $GL (M)$ .

Формальное определение на связке кадров

Аффинную связь также можно определить как главный $GL (п)$ связь $ω$ на комплект кадров $F M$ или же $GL (M)$ многообразия $M$ . Более подробно, $ω$ - гладкое отображение из касательного расслоения $Т (F M)$ комплекта кадров в пространство $п \times п$ матрицы (что является Алгебра Ли $gl (п)$ из Группа Ли $GL (п)$ обратимого $п \times п$ матрицы), удовлетворяющие двум свойствам:

$ω$ является эквивариантный в отношении действия $GL (п)$ на $Т (F M)$ и $gl (п)$ ;
$ω (Икс ξ) = ξ$ для любого $ξ$ в $gl (п)$ , куда $Икс ξ$ векторное поле на $F M$ соответствующий $ξ$ .

Такая связь $ω$ сразу же определяет ковариантная производная не только на касательном пучке, но и на векторные пучки связанный любому групповое представительство из $GL (п)$ , в том числе связки тензоры и тензорные плотности. И наоборот, аффинная связность на касательном расслоении определяет аффинную связность на расслоении реперов, например, требуя, чтобы $ω$ обращается в нуль на касательных векторах к подъемам кривых в расслоение реперов, заданное параллельным переносом.

В комплекте рамы также есть форма припоя $θ : T (F M) \to р п$ который горизонтальный в том смысле, что он исчезает на вертикальные векторы такие как точечные значения векторных полей $Икс ξ$ : в самом деле $θ$ определяется сначала путем проецирования касательного вектора (на $F M$ в кадре $ж$ ) к $M$ , то, взяв компоненты этого касательного вектора на $M$ относительно рамы $ж$ . Обратите внимание, что $θ$ это также $GL (п)$ -эквивариантный (где $GL (п)$ действует на $р п$ умножением матриц).

Пара $(θ, ω)$ определяет изоморфизм расслоения из $Т (F M)$ с тривиальным пучком $F M \times aff (п)$ , куда $aff (п)$ это Декартово произведение из $р п$ и $gl (п)$ (рассматривается как алгебра Ли аффинной группы, которая на самом деле полупрямой продукт - Смотри ниже).

Аффинные связи как связи Картана

Аффинные связи могут быть определены в общих рамках Картана.^[3] В современном подходе это тесно связано с определением аффинных связей на связке фреймов. Действительно, в одной формулировке связь Картана является абсолютный параллелизм главного расслоения, удовлетворяющего подходящим свойствам. С этой точки зрения $aff (п)$ однозначная форма $(θ, ω): T (F M) \to aff (п)$ на пачке кадров (из аффинное многообразие ) является связностью Картана. Однако оригинальный подход Картана отличался от этого во многих отношениях:

не существовало концепции связок фреймов или основных связок;
связь рассматривалась с точки зрения параллельного переноса между бесконечно близкими точками;^[b]
этот параллельный перенос был скорее аффинным, чем линейным;
транспортируемые объекты были не касательными векторами в современном понимании, а элементами аффинное пространство с отмеченной точкой, которую соединение Картана в конечном итоге определяет с касательным пространством.

Объяснения и историческая интуиция

Поднятые вопросы проще всего объяснить в обратном порядке, исходя из мотивации, обеспечиваемой теорией поверхностей. В этой ситуации, хотя катящиеся по поверхности плоскости являются касательными плоскостями в наивном смысле, понятие касательное пространство действительно бесконечно малый понятие,^[c] тогда как самолеты, как аффинные подпространства из $р 3$ , находятся бесконечный в степени. Однако все эти аффинные плоскости имеют отмеченную точку, точку контакта с поверхностью, и они касаются поверхности в этой точке. Таким образом, возникает путаница, потому что аффинное пространство с отмеченной точкой может быть отождествлено с касательным пространством в этой точке. Однако параллельный перенос, определяемый перекатыванием, не фиксирует это начало: это аффинный а не линейный; линейно-параллельный перенос можно восстановить, применив перенос.

Таким образом, абстрагируясь от этой идеи, аффинное многообразие должно быть $п$ -многообразие $M$ с аффинным пространством $А Икс$ , размерности $п$ , прикрепил для каждого $Икс \in M$ в отмеченной точке $а Икс \in А Икс$ вместе с методом транспортировки элементов этих аффинных пространств по любой кривой $C$ в $M$ . Этот метод требуется для выполнения нескольких свойств:

для любых двух точек $Икс, у$ на $C$ , параллельный транспорт - это аффинное преобразование из $А Икс$ к $А у$ ;
параллельный перенос определяется бесконечно малым числом в том смысле, что он дифференцируем в любой точке на $C$ и зависит только от касательного вектора к $C$ в таком случае;
производная параллельного переноса при $Икс$ определяет линейный изоморфизм из $Т Икс M$ к $Т а Икс А Икс$ .

Эти последние два пункта довольно сложно уточнить,^[5] поэтому аффинные связи чаще определяются бесконечно малыми. Чтобы мотивировать это, достаточно рассмотреть, насколько аффинно системы отсчета преобразовать бесконечно мало относительно параллельного транспорта. (Это происхождение картановского метод перемещения кадров.) Аффинный фрейм в точке состоит из списка $(п, е 1,\dots е п)$ , куда $п \in А Икс$ ^[d] и $е я$ составляют основу $Т п (А Икс)$ . Тогда аффинная связность символически задается первым порядком дифференциальная система

{ displaystyle (*) { begin {case} mathrm {d} {p} & = theta ^ {1} mathbf {e} _ {1} + cdots + theta ^ {n} mathbf { e} _ {n} mathrm {d} mathbf {e} _ {i} & = omega _ {i} ^ {1} mathbf {e} _ {1} + cdots + omega _ {i} ^ {n} mathbf {e} _ {n} end {case}} quad i = 1,2, ldots, n}

определяется набором одноформный $(θ j, ω j я)$ . Геометрически аффинная система отсчета перемещается по кривой $γ$ из $γ (т)$ к $γ (т + δt)$ заданный (приблизительно или бесконечно малым)

{ Displaystyle { begin {выровнен} п ( гамма (т + дельта т)) - р ( гамма (т)) & = влево ( тета ^ {1} влево ( гамма '(т) справа) mathbf {e} _ {1} + cdots + theta ^ {n} left ( gamma '(t) right) mathbf {e} _ {n} right) mathrm { delta } t mathbf {e} _ {i} ( gamma (t + delta t)) - mathbf {e} _ {i} ( gamma (t)) & = left ( omega _ {i } ^ {1} left ( gamma '(t) right) mathbf {e} _ {1} + cdots + omega _ {i} ^ {n} left ( gamma' (t) right) mathbf {e} _ {n} right) delta t ,. end {выравнивается}}}

Кроме того, аффинные пространства $А Икс$ должны касаться $M$ в неформальном смысле, смещение $а Икс$ вдоль $γ$ можно отождествить (приблизительно или бесконечно малым) с касательным вектором $γ'(т)$ к $γ$ в $Икс = γ (т)$ (что является бесконечно малым смещением $Икс$ ). С

{ Displaystyle а_ {Икс} ( гамма (т + дельта т)) - а_ {х} ( гамма (т)) = тета влево ( гамма '(т) вправо) дельта т ,, }

куда $θ$ определяется $θ (Икс) = θ 1 (Икс) е 1 + \dots + θ п (Икс) е п$ , эта идентификация дается $θ$ , поэтому требуется, чтобы $θ$ должен быть линейным изоморфизмом в каждой точке.

Тангенциальное аффинное пространство $А Икс$ таким образом интуитивно отождествляется с бесконечно малая аффинная окрестность из $Икс$ .

Современная точка зрения уточняет всю эту интуицию с помощью основных связок (основная идея - заменить рамку или Переменная фрейм пространством всех фреймов и функций на этом пространстве). Он также черпает вдохновение Феликс Кляйн с Программа Эрланген,^[6] в котором геометрия определяется как однородное пространство. Аффинное пространство в этом смысле является геометрией и снабжено плоский Картановое соединение. Таким образом, общее аффинное многообразие рассматривается как изогнутый деформация плоской модельной геометрии аффинного пространства.

Аффинное пространство как геометрия плоской модели

Определение аффинного пространства

Неофициально аффинное пространство это векторное пространство без фиксированного выбора источник. Он описывает геометрию точки и бесплатные векторы в космосе. Вследствие отсутствия начала координат точки в аффинном пространстве не могут быть сложены вместе, так как это требует выбора начала координат, с помощью которого формируется закон параллелограмма для сложения векторов. Однако вектор $v$ может быть добавлен к точке $п$ помещая начальную точку вектора в $п$ а затем транспортировка $п$ до конечной точки. Описанная таким образом операция $п \to п + v$ это перевод из $п$ вдоль $v$ . С технической точки зрения аффинный $п$ -пространство - это множество $А п$ оснащен свободное переходное действие векторной группы $р п$ на нем через эту операцию перевода точек: $А п$ таким образом главное однородное пространство для векторной группы $р п$ .

В общая линейная группа $GL (п)$ это группа преобразований из $р п$ которые сохраняют линейная структура из $р п$ в том смысле, что $Т (средний + чб) = в (v) + bT (ш)$ . По аналогии аффинная группа $Aff (п)$ группа преобразований $А п$ сохранение аффинная структура. Таким образом $φ \in Aff (п)$ должен сохранять переводы в том смысле, что

{ Displaystyle varphi (п + v) = varphi (p) + T (v)}

куда $Т$ - общее линейное преобразование. Отправка карты $φ \in Aff (п)$ к $Т \in GL (п)$ это групповой гомоморфизм. Его ядро это группа переводов $р п$ . В стабилизатор любой точки $п$ в $А$ таким образом можно отождествить с $GL (п)$ используя эту проекцию: это реализует аффинную группу как полупрямой продукт из $GL (п)$ и $р п$ , а аффинное пространство как однородное пространство $Aff (п) / GL (п)$ .

Аффинные фреймы и плоская аффинная связность

An аффинная рамка за $А$ состоит из точки $п \in А$ и основа $(е 1,\dots е п)$ векторного пространства $Т п А = р п$ . Общая линейная группа $GL (п)$ свободно действует на съемочной площадке $F А$ всех аффинных фреймов путем фиксации $п$ и преобразовывая основу $(е 1,\dots е п)$ обычным способом, а карта $π$ отправка аффинного фрейма $(п; е 1,\dots е п)$ к $п$ это карта частных. Таким образом $F А$ это главный $GL (п)$ -пучок над $А$ . Действие $GL (п)$ естественным образом продолжается до свободного транзитивного действия аффинной группы $Aff (п)$ на $F А$ , так что $F А$ является $Aff (п)$ -торсор, И выбор опорного кадра идентифицирует $F А \to А$ с основным пучком $Aff (п) \to Aff (п) / GL (п)$ .

На $F А$ есть коллекция $п + 1$ функции, определенные

{ displaystyle pi (p; mathbf {e} _ {1}, dots, mathbf {e} _ {n}) = p}

(как и раньше) и

{ displaystyle varepsilon _ {i} (p; mathbf {e} _ {1}, dots, mathbf {e} _ {n}) = mathbf {e} _ {i} ,.}

После выбора базовой точки для $А$ , это все функции со значениями в $р п$ , так что можно взять их внешние производные чтобы получить дифференциальные 1-формы со значениями в $р п$ . Поскольку функции $ε я$ дать основу для $р п$ в каждой точке $F А$ , эти 1-формы должны быть выражены как суммы вида

{ Displaystyle { begin {align} mathrm {d} pi & = theta ^ {1} varepsilon _ {1} + cdots + theta ^ {n} varepsilon _ {n} mathrm {d} varepsilon _ {i} & = omega _ {i} ^ {1} varepsilon _ {1} + cdots + omega _ {i} ^ {n} varepsilon _ {n} end { выровнен}}}

для некоторой коллекции $(θ я, ω k j) 1 \leq я, j, k \leq п$ действительных однозначных форм на $Aff (п)$ . Эта система одноформ на главном расслоении $F А \to А$ определяет аффинную связность на $А$ .

Взяв внешнюю производную во второй раз и используя тот факт, что $d 2 = 0$ так же хорошо как линейная независимость из $ε я$ , получаются следующие соотношения:

{ displaystyle { begin {align} mathrm {d} theta ^ {j} - sum _ {i} omega _ {i} ^ {j} wedge theta ^ {i} & = 0 mathrm {d} omega _ {i} ^ {j} - sum _ {k} omega _ {k} ^ {j} wedge omega _ {i} ^ {k} & = 0 ,. конец {выровнено}}}

Эти Уравнения Маурера – Картана для группы Ли $Aff (п)$ (идентифицировано с $F А$ выбором системы отсчета). Более того:

то Система Пфаффа $θ j = 0$ (для всех $j$ ) является интегрируемый, и это интегральные многообразия являются слоями главного расслоения $Aff (п) \to А$ .
система Пфаффа $ω j я = 0$ (для всех $я, j$ ) также интегрируемо, и его интегральные многообразия определяют параллельный перенос в $F А$ .

Таким образом, формы $(ω j я)$ определить квартиру основная связь на $F А \to А$ .

Для строгого сравнения с мотивацией нужно фактически определить параллельный транспорт в принципе $Aff (п)$ - связать $А$ . Это можно сделать отступление $F А$ по гладкой карте $φ : р п \times А \to А$ определяется переводом. Тогда составной $φ' * F А \to F А \to А$ является основным $Aff (п)$ - связать $А$ , а формы $(θ я, ω k j)$ отступить дать квартиру $Aff (п)$ -подключение по этой связке.

Общие аффинные геометрии: формальные определения

Аффинное пространство, как и любое гладкое Геометрия Клейна, представляет собой коллектор, оборудованный плоским соединением Картана. Более общие аффинные многообразия или аффинные геометрии легко получить, отказавшись от условия плоскостности, выраженного уравнениями Маурера-Картана. Есть несколько способов приблизиться к определению, и мы приведем два. Оба определения облегчаются осознанием того, что 1-формы $(θ я, ω k j)$ в плоской модели подгоняются вместе, чтобы дать 1-форму со значениями в алгебре Ли $aff (п)$ аффинной группы $Aff (п)$ .

В этих определениях $M$ гладкий $п$ -многообразие и $А = Aff (п) / GL (п)$ - аффинное пространство той же размерности.

Определение через абсолютный параллелизм

Позволять $M$ быть многообразием и $п$ директор $GL (п)$ - связать $M$ . Затем аффинная связь это 1-форма $η$ на $п$ со значениями в $aff (п)$ удовлетворяющие следующим свойствам

$η$ эквивариантно относительно действия $GL (п)$ на $п$ и $aff (п)$ ;
$η (Икс ξ) = ξ$ для всех $ξ$ в алгебре Ли $gl (п)$ из всех $п \times п$ матрицы;
$η$ является линейным изоморфизмом каждого касательного пространства к $п$ с $aff (п)$ .

Последнее условие означает, что $η$ является абсолютный параллелизм на $п$ , т.е. идентифицирует касательное расслоение $п$ с тривиальной связкой (в данном случае $п \times aff (п)$ ). Пара $(п, η)$ определяет структуру аффинная геометрия на $M$ , превратив его в аффинное многообразие.

Аффинная алгебра Ли $aff (п)$ распадается как полупрямое произведение $р п$ и $gl (п)$ и так $η$ можно записать как пару $(θ, ω)$ куда $θ$ принимает значения в $р п$ и $ω$ принимает значения в $gl (п)$ . Условия 1 и 2 эквивалентны $ω$ будучи главным $GL (п)$ -подключение и $θ$ горизонтальная эквивариантная 1-форма, индуцирующая гомоморфизм расслоения из $Т M$ к связанный пакет $п \times GL (п) р п$ . Условие 3 равносильно тому, что этот гомоморфизм расслоения является изоморфизмом. (Однако это разложение является следствием довольно специальной структуры аффинной группы.) Поскольку $п$ это комплект кадров из $п \times GL (п) р п$ , следует, что $θ$ обеспечивает изоморфизм расслоений между $п$ и комплект кадров $F M$ из $M$ ; это восстанавливает определение аффинной связи как принципала $GL (п)$ -подключение на $F M$ .

1-формы, возникающие в плоской модели, являются лишь компонентами $θ$ и $ω$ .

Определение как основная аффинная связность

An аффинная связь на $M$ является основным $Aff (п)$ -пучок $Q$ над $M$ вместе с руководителем $GL (п)$ -подвязка $п$ из $Q$ и главный $Aff (п)$ -связь $α$ (1-форма на $Q$ со значениями в $aff (п)$ ), которая удовлетворяет следующим (общим) Условие Картана. В $р п$ компонент отката $α$ к $п$ является горизонтальной эквивариантной 1-формой и, таким образом, определяет гомоморфизм расслоения из $Т M$ к $п \times GL (п) р п$ : требуется, чтобы это был изоморфизм.

Отношение к мотивации

С $Aff (п)$ действует на $А$ , существует, связанный с основным расслоением $Q$ , набор $А = Q \times Aff (п) А$ , который представляет собой расслоение над $M$ чье волокно на $Икс$ в $M$ это аффинное пространство $А Икс$ . А раздел $а$ из $А$ (определение отмеченной точки $а Икс$ в $А Икс$ для каждого $Икс \in M$ ) определяет принципала $GL (п)$ -подвязка $п$ из $Q$ (как связка стабилизаторов этих отмеченных точек) и наоборот. Принципиальная связь $α$ определяет Связь Эресманна на этом пучке, отсюда и понятие параллельного транспорта. Условие Картана гарантирует, что выделенное сечение $а$ всегда движется под параллельным транспортом.

Другие свойства

Кривизна и кручение

Кривизна и кручение - основные инварианты аффинной связности. Поскольку существует множество эквивалентных способов определения понятия аффинной связности, существует множество различных способов определения кривизны и кручения.

С точки зрения связи Картана, кривизна - это нарушение аффинной связи $η$ чтобы удовлетворить уравнению Маурера – Картана

{ displaystyle mathrm {d} eta + { tfrac {1} {2}} [ eta wedge eta] = 0,}

где второй член в левой части - это клин с использованием Кронштейн лжи в $aff (п)$ сократить ценности. Расширяя $η$ в пару $(θ, ω)$ и используя структуру алгебры Ли $aff (п)$ , эту левую часть можно разложить на две формулы

{ displaystyle mathrm {d} theta + omega wedge theta quad { text {and}} quad mathrm {d} omega + omega wedge omega ,,}

где произведения клина оцениваются с помощью матричного умножения. Первое выражение называется кручение соединения, а второй еще называют кривизной.

Эти выражения являются дифференциальными 2-формами на всем пространстве связки реперов. Однако они горизонтальны и эквивариантны и, следовательно, определяют тензорные объекты. Их можно определить непосредственно из индуцированной ковариантной производной $\nabla$ на $Т M$ следующее.

В кручение дается формулой

{ displaystyle T ^ { nabla} (X, Y) = nabla _ {X} Y- nabla _ {Y} X- [X, Y].}

Если кручение обращается в нуль, то связь называется без кручения или же симметричный.

Кривизна определяется формулой

{ displaystyle R_ {X, Y} ^ { nabla} Z = nabla _ {X} nabla _ {Y} Z- nabla _ {Y} nabla _ {X} Z- nabla _ {[X , Y]} Z.}

Обратите внимание, что $[Икс, Y]$ это Скобка Ли векторных полей

{ Displaystyle [X, Y] = left (X ^ {j} partial _ {j} Y ^ {i} -Y ^ {j} partial _ {j} X ^ {i} right) partial _{я}}

в Обозначения Эйнштейна. Это не зависит от выбора системы координат и

{ displaystyle partial _ {i} = left ({ frac { partial} { partial xi ^ {i}}} right) _ {p} ,,}

касательный вектор в точке $п$ из $я$ th координатная кривая. В $\partial я$ являются естественной основой касательного пространства в точке $п$ , а $Икс я$ соответствующие координаты для векторного поля $Икс = Икс я \partial я$ .

Когда и кривизна, и кручение равны нулю, соединение определяет предлиевая алгебра структура на пространстве глобальных сечений касательного расслоения.

Связь Леви-Чивита

Если $(M, грамм)$ это Риманово многообразие тогда существует уникальная аффинная связь $\nabla$ на $M$ со следующими двумя свойствами:

соединение без кручения, т.е. $Т \nabla$ равен нулю, так что $\nabla Икс Y$ - $\nabla Y Икс$ = $[Икс, Y]$ ;
параллельный перенос - это изометрия, т. е. внутренние продукты (определенные с помощью $грамм$ ) между касательными векторами сохраняются.

Это соединение называется Леви-Чивита связь.

Термин «симметричный» часто используется вместо понятия «отсутствие кручения» для первого свойства. Второе условие означает, что соединение является метрическое соединение в том смысле, что риманова метрика $грамм$ параллельно: $\nabla грамм = 0$ . Для связности без кручения условие эквивалентно тождеству $Икс грамм (Y, Z)$ = $грамм (\nabla Икс Y, Z)$ + $грамм (Y,\nabla Икс Z)$ , «совместимость с метрикой». ^[7] В локальных координатах компоненты формы называются Символы Кристоффеля: из-за уникальности связи Леви-Чивита, существует формула для этих компонентов через компоненты $грамм$ .

Геодезические

Поскольку прямые линии являются понятием аффинной геометрии, аффинные связи определяют обобщенное понятие (параметризованных) прямых на любом аффинном многообразии, называемое аффинными геодезическими. Абстрактно параметрическая кривая $γ : я \to M$ является прямой, если ее касательный вектор остается параллельным и равноправным с самим собой при транспортировке по $γ$ . С линейной точки зрения аффинная связность $M$ различает аффинные геодезические следующим образом: гладкая кривая $γ : я \to M$ является аффинная геодезическая если $γ̇$ параллельно транспортируется по $γ$ , то есть

{ displaystyle tau _ {t} ^ {s} { dot { gamma}} (s) = { dot { gamma}} (t)}

куда $τ s т : Т γ s M \to Т γ т M$ - это параллельная транспортная карта, определяющая соединение.

В терминах бесконечно малой связи $\nabla$ , из производной этого уравнения следует

{ Displaystyle набла _ { точка { гамма}} (т)} { точка { гамма}} (т) = 0}

для всех $т \in я$ .

И наоборот, любое решение этого дифференциального уравнения дает кривую, касательный вектор которой проходит параллельно вдоль кривой. Для каждого $Икс \in M$ и каждый $Икс \in T Икс M$ , существует единственная аффинная геодезическая $γ : я \to M$ с $γ (0) = Икс$ и $γ̇ (0) = Икс$ и где $я$ - максимальный открытый интервал в $р$ , содержащий 0, на котором определена геодезическая. Это следует из Теорема Пикара – Линделёфа, и позволяет определить экспоненциальная карта связанный с аффинной связью.

В частности, когда $M$ это (псевдо -)Риманово многообразие и $\nabla$ это Леви-Чивита связь, то аффинные геодезические - это обычные геодезические римановой геометрии и являются кривыми, минимизирующими локальное расстояние.

Определенные здесь геодезические иногда называют аффинно параметризованный, так как данная прямая в $M$ определяет параметрическую кривую $γ$ через строку до выбора аффинной репараметризации $γ (т) \to γ (в + б)$ , куда $а$ и $б$ являются константами. Касательный вектор к аффинной геодезической параллелен и равен себе. Непараметризованная геодезическая или геодезическая, которая просто параллельна самой себе, но не обязательно равноценна, должна только удовлетворять

{ displaystyle nabla _ { dot { gamma}} { dot { gamma}} = k { dot { gamma}}}

для какой-то функции $k$ определены вдоль $γ$ . Непараметризованные геодезические часто изучаются с точки зрения проективные связи.

Разработка

Аффинная связь определяет понятие разработка кривых. Интуитивно понятно, что разработка улавливает идею, что если $Икс т$ кривая в $M$ , то аффинное касательное пространство в точке $Икс 0$ может быть свернутый по кривой. При этом отмеченная точка контакта между касательным пространством и многообразием очерчивает кривую $C т$ в этом аффинном пространстве: развитие $Икс т$ .

Формально пусть $τ 0 т : Т Икс т M \to Т Икс 0 M$ - линейная параллельная транспортная карта, связанная с аффинной связью. Тогда развитие $C т$ кривая в $Т Икс 0 M$ начинается с 0 и параллельна касательной к $Икс т$ за все время $т$ :

{ displaystyle { dot {C}} _ ​​{t} = tau _ {t} ^ {0} { dot {x}} _ {t} ,, quad C_ {0} = 0.}

Особенно, $Икс т$ это геодезический тогда и только тогда, когда его развитие представляет собой аффинно параметризованную прямую в $Т Икс 0 M$ .^[8]

Возвращение к теории поверхности

Если $M$ это поверхность в $р 3$ , легко увидеть, что $M$ имеет естественную аффинную связь. С точки зрения линейной связи ковариантная производная векторного поля определяется дифференцированием векторного поля, рассматриваемого как карта из $M$ к $р 3$ , а затем проецируя результат ортогонально обратно на касательные пространства $M$ . Легко видеть, что эта аффинная связность не имеет кручения. Кроме того, это метрическая связь по отношению к римановой метрике на $M$ вызвано внутренним продуктом на $р 3$ , следовательно, это связь Леви-Чивиты этой метрики.

Пример: единичная сфера в евклидовом пространстве

Позволять $⟨ , ⟩$ быть обычным скалярное произведение на $р 3$ , и разреши $S 2$ - единичная сфера. Касательное пространство к $S 2$ в какой-то момент $Икс$ естественно отождествляется с векторным подпространством $р 3$ состоящий из всех векторов, ортогональных $Икс$ . Отсюда следует, что векторное поле $Y$ на $S 2$ можно рассматривать как карту $Y : S 2 \to р 3$ что удовлетворяет

{ displaystyle langle Y_ {x}, x rangle = 0 ,, quad forall x in mathbf {S} ^ {2}.}

Обозначим как $d Y$ дифференциал (матрица Якоби) такого отображения. Тогда у нас есть:

Лемма. Формула

{ displaystyle ( nabla _ {Z} Y) _ {x} = mathrm {d} Y_ {x} (Z_ {x}) + langle Z_ {x}, Y_ {x} rangle x}

определяет аффинную связь на

S 2

с исчезающим кручением.

Доказательство. Несложно доказать, что

\nabla

удовлетворяет тождеству Лейбница и является

C \infty (S 2)

линейный по первой переменной. Итак, все, что здесь нужно доказать, - это то, что приведенная выше карта действительно определяет касательное векторное поле. То есть нам нужно доказать, что для всех

Икс

в

S 2

{ displaystyle { bigl langle} ( nabla _ {Z} Y) _ {x}, x { bigr rangle} = 0 ,. qquad { text {(Eq.1)}}}

Рассмотрим карту

{ displaystyle { begin {align} f: mathbf {S} ^ {2} & to mathbf {R} x & mapsto langle Y_ {x}, x rangle ,. end {выровнено }}}

Карта ж постоянно, следовательно, его дифференциал равен нулю. Особенно

{ displaystyle mathrm {d} f_ {x} (Z_ {x}) = { bigl langle} ( mathrm {d} Y) _ {x} (Z_ {x}), x ( gamma '( t)) { bigr rangle} + langle Y_ {x}, Z_ {x} rangle = 0 ,.}

Уравнение 1 выше следует. Q.E.D.

Смотрите также

Примечания

^ В результате многие математики используют термин линейное соединение (вместо аффинная связь) для связности на касательном расслоении на том основании, что параллельный транспорт линейно, а не аффинно. Однако это же свойство выполняется для любых (Кошуля или линейного Эресмана) соединение на векторном расслоении. Первоначально термин аффинная связь это сокращение от аффинного связь в смысле Картана, а это означает, что связность определена на касательном расслоении, а не на произвольном векторном расслоении. Понятие линейной связности Картана на самом деле не имеет большого смысла, потому что линейные представления не транзитивны.
^ Трудно сделать интуицию Картана точной, не прибегая к гладкий анализ бесконечно малых, но один из способов - рассматривать его аргументы как Переменная, то есть отображение некоторого невидимого пространства параметров в многообразие, которое затем можно дифференцировать.
^ Классически касательное пространство рассматривалось как бесконечно малое приближение, в то время как в современной дифференциальной геометрии касательные пространства часто определяются в терминах дифференциальных объектов, таких как производные.^[4]
^ Это можно рассматривать как выбор происхождения: на самом деле достаточно рассмотреть только случай $п = а Икс$ ; Картан неявно отождествляет это с $Икс$ в $M$ .