Классифицирующее пространство для U (n) - Classifying space for U(n)

В математика, то классификация пространства для унитарная группа U (п) - пространство BU (п) вместе с универсальной связкой ЕС (п) такое, что любое эрмитово расслоение на паракомпактное пространство Икс это откат ЕС (п) по карте Икс → БУ (п) единственное с точностью до гомотопии.

Это пространство с его универсальным расслоением можно построить как

1. то Грассманиан из п-плоскостей в бесконечномерном комплексе Гильбертово пространство; или,
2. прямой предел с индуцированной топологией Грассманианы из п самолеты.

Обе конструкции подробно описаны здесь.

Конструкция как бесконечный грассманиан

В общая площадь ЕС(п) из универсальный комплект дан кем-то

${\displaystyle EU(n)=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\ :\ (e_{i},e_{j})=\delta _{ij},e_{i}\in H\right\}.}$

Вот, ЧАС обозначает бесконечномерное комплексное гильбертово пространство, е_я векторы в ЧАС, и ${\displaystyle \delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера. Символ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ это внутренний продукт на ЧАС. Таким образом, мы имеем ЕС (п) - пространство ортонормированный п-рамки в ЧАС.

В групповое действие из U (п) на этом пространстве является естественным. В базовое пространство затем

${\displaystyle BU(n)=EU(n)/U(n)}$

и это набор Грассманиан п-мерные подпространства (или п-самолеты) в ЧАС. Это,

${\displaystyle BU(n)=\{V\subset H\ :\ \dim V=n\}}$

так что V является п-мерное векторное пространство.

Случай линейных пучков

Для п = 1, у одного EU (1) = S^∞, который известно как сжимаемое пространство. Базовое пространство тогда BU (1) = CP^∞, бесконечномерная сложное проективное пространство. Таким образом, набор классы изоморфизма из связки кругов через многообразие M находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопические классы карт из M к CP^∞.

Также имеется соотношение, что

${\displaystyle BU(1)=PU(H),}$

то есть BU (1) - бесконечномерная проективная унитарная группа. См. Эту статью для дополнительного обсуждения и свойств.

Для тор Т, которая абстрактно изоморфна U (1) × ... × U (1), но не обязательно должна иметь выбранную идентификацию, пишут BТ.

В топологическая K-теория K₀(BТ) дан кем-то числовые полиномы; подробности ниже.

Конструкция как индуктивный предел

Позволять F_п(C^k) - пространство ортонормированных семейств п векторов в C^k и разреши г_п(C^k) - грассманиан п-мерные подвекторные пространства C^k. Все пространство универсального расслоения можно принять за прямой предел F_п(C^k) так как k → ∞, а базовое пространство является прямым пределом г_п(C^k) так как k → ∞.

Срок действия конструкции

В этом разделе мы определим топологию на EU (п) и докажите, что EU (п) действительно стягивается.

Группа U (п) свободно действует на F_п(C^k), а фактор - грассманиан г_п(C^k). Карта

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(\mathbf {C} ^{k})&\longrightarrow \mathbf {S} ^{2k-1}\\(e_{1},\ldots ,e_{n})&\longmapsto e_{n}\end{aligned}}}$

представляет собой пучок волокон F_п−1(C^k−1). Таким образом, потому что ${\displaystyle \pi _{p}(\mathbf {S} ^{2k-1})}$ тривиально и из-за длинная точная последовательность расслоения, у нас есть

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))}$

всякий раз, когда ${\displaystyle p\leq 2k-2}$. Принимая k достаточно большой, именно для ${\displaystyle k>{\tfrac {1}{2}}p+n-1}$, мы можем повторить процесс и получить

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))=\cdots =\pi _{p}(F_{1}(\mathbf {C} ^{k+1-n}))=\pi _{p}(\mathbf {S} ^{k-n}).}$

Эта последняя группа тривиальна для k > п + п. Позволять

${\displaystyle EU(n)={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }F_{n}(\mathbf {C} ^{k})}$

быть прямой предел из всех F_п(C^k) (с индуцированной топологией). Позволять

${\displaystyle G_{n}(\mathbf {C} ^{\infty })={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }G_{n}(\mathbf {C} ^{k})}$

быть прямой предел из всех г_п(C^k) (с индуцированной топологией).

Лемма: Группа ${\displaystyle \pi _{p}(EU(n))}$ тривиально для всех п ≥ 1.

Доказательство: Пусть γ: S^п → ЕС (п), поскольку S^п является компактный, Существует k такое, что γ (S^п) входит в F_п(C^k). Принимая k достаточно большой, мы видим, что γ гомотопна относительно базовой точки постоянному отображению.${\displaystyle \Box }$

Кроме того, U (п) свободно действует в ЕС (п). Пространства F_п(C^k) и г_п(C^k) находятся CW-комплексы. Можно найти такое разложение этих пространств на CW-комплексы, что разложение F_п(C^k), соотв. г_п(C^k), индуцируется ограничением на F_п(C^k+1), соотв. г_п(C^k+1). Таким образом, ЕС (п) (а также г_п(C^∞)) является CW-комплексом. От Теорема Уайтхеда и приведенная выше лемма EU (п) стягивается.

Когомологии BU (п)

Предложение: В когомология классификационного пространства ЧАС*(BU (п)) это кольцо из многочлены в п переменныеc₁, ..., c_п где c_п имеет степень 2п.

Доказательство: Рассмотрим сначала случай п = 1. В этом случае U (1) - окружность S¹ а универсальный набор S^∞ → CP^∞. Это хорошо известно^[1] что когомологии CP^k изоморфен ${\displaystyle \mathbf {R} \lbrack c_{1}\rbrack /c_{1}^{k+1}}$, где c₁ это Класс Эйлера U (1) -расслоения S^2k+1 → CP^k, и что инъекции CP^k → CP^k+1, для k ∈ N*, согласованы с этими представлениями когомологий проективных пространств. Это доказывает предложение для п = 1.

Есть гомотопические послойные последовательности

${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}\to BU(n-1)\to BU(n)}$

Конкретно, точка общего пространства ${\displaystyle BU(n-1)}$ задается точкой базового пространства ${\displaystyle BU(n)}$ классификация сложного векторного пространства ${\displaystyle V}$вместе с единичным вектором ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle V}$; вместе они классифицируют ${\displaystyle u^{\perp }<V}$ пока расщепление ${\displaystyle V=(\mathbb {C} u)\oplus u^{\perp }}$, упрощенный ${\displaystyle u}$, понимает карту ${\displaystyle BU(n-1)\to BU(n)}$ представляет собой прямую сумму с ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Применяя Последовательность гизина, есть длинная точная последовательность

${\displaystyle H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1)){\overset {\partial }{\longrightarrow }}H^{p+1}(BU(n))\longrightarrow \cdots }$

где ${\displaystyle \eta }$ это фундаментальный класс волокна ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$. По свойствам последовательности Гизина^{[нужна цитата ]}, ${\displaystyle j^{*}}$ - мультипликативный гомоморфизм; по индукции ${\displaystyle H^{*}BU(n-1)}$ генерируется элементами с ${\displaystyle p<-1}$, где ${\displaystyle \partial }$ должно быть равно нулю, а значит, где ${\displaystyle j^{*}}$ должно быть сюръективным. Это следует из того ${\displaystyle j^{*}}$ должен всегда быть сюръективным: универсальная собственность из кольца многочленов, выбор прообраза для каждого генератора вызывает мультипликативное расщепление. Следовательно, по точности ${\displaystyle \smile d_{2n}\eta }$ всегда должен быть инъективный. Поэтому у нас есть короткие точные последовательности расщепляется кольцевым гомоморфизмом

${\displaystyle 0\to H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1))\to 0}$

Таким образом, мы заключаем ${\displaystyle H^{*}(BU(n))=H^{*}(BU(n-1))[c_{2n}]}$ где ${\displaystyle c_{2n}=d_{2n}\eta }$. На этом индукция завершена.

К-теория БУ (п)

Рассмотрим топологическую комплексную K-теорию как теорию когомологий, представленную спектром ${\displaystyle KU}$. В таком случае, ${\displaystyle KU^{*}(BU(n))\cong \mathbb {Z} [t,t^{-1}][[c_{1},...,c_{n}]]}$,^[2] и ${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$ это бесплатно ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ модуль на ${\displaystyle \beta _{0}}$ и ${\displaystyle \beta _{i_{1}}\ldots \beta _{i_{r}}}$ для ${\displaystyle n\geq i_{j}>0}$ и ${\displaystyle r\leq n}$.^[3] В этом описании структура продукта на ${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$ происходит из H-пространственной структуры ${\displaystyle BU}$ дается суммой Уитни векторных расслоений. Этот продукт называется Понтрягин продукт.

В топологическая K-теория известен явно в терминах числовой симметричные многочлены.

K-теория сводится к вычислению K₀, поскольку K-теория 2-периодична Теорема периодичности Ботта, и BU (п) является пределом комплексных многообразий, поэтому имеет CW-структура с ячейками только четных измерений, поэтому нечетная K-теория исчезает.

Таким образом ${\displaystyle K_{*}(X)=\pi _{*}(K)\otimes K_{0}(X)}$, где ${\displaystyle \pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]}$, где т генератор Ботта.

K₀(BU (1)) - кольцо числовые полиномы в ш, рассматривается как подкольцо ЧАС_∗(BU (1); Q) = Q[ш], где ш является элементом, двойственным к тавтологическому расслоению.

Для п-тор, K₀(BТ^п) - числовые полиномы от п переменные. Карта K₀(BТ^п) → K₀(BU (п)) находится на, через a принцип расщепления, так как Т^п это максимальный тор из U (п). Карта - это карта симметризации

${\displaystyle f(w_{1},\dots ,w_{n})\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}$

и изображение можно идентифицировать как симметричные многочлены, удовлетворяющие условию целочисленности, что

${\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}f(k_{1},\dots ,k_{n})\in \mathbf {Z} }$

где

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

это полиномиальный коэффициент и ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ содержит р различные целые числа, повторяющиеся ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r}}$ раз соответственно.

Смотрите также

• Классифицирующее пространство для O (п)
• Топологическая K-теория
• Теорема Атьи-Яниха

Заметки

1. Р. Ботт, Л. В. Ту- Дифференциальные формы в алгебраической топологии, Тексты для выпускников по математике 82, Springer
2. Адамс 1974, стр. 49
3. Адамс 1974, стр. 47

использованная литература

• Дж. Ф. Адамс (1974), Стабильная гомотопия и обобщенные гомологии, Издательство Чикагского университета, ISBN  0-226-00524-0 Содержит расчет ${\displaystyle KU^{*}(BU(n))}$ и ${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$.
• С. Очанин; Л. Шварц (1985), "Une remarque sur les générateurs du cobordisme complex", Математика. Z., 190 (4): 543–557, Дои:10.1007 / BF01214753 Содержит описание ${\displaystyle K_{0}(BG)}$ как ${\displaystyle K_{0}(K)}$-комодуль для любой компактной связной группы Ли.
• Л. Шварц (1983), "K-теория и гомотопия стабильны", Тезис, Université de Paris – VII Явное описание ${\displaystyle K_{0}(BU(n))}$
• Пекарь; Ф. Кларк; Н. Рэй; Л. Шварц (1989), "О конгруэнции Куммера и стабильной гомотопии BU", Пер. Амер. Математика. Soc., Американское математическое общество, 316 (2): 385–432, Дои:10.2307/2001355, JSTOR  2001355