Грассманиан - Grassmannian - Wikipedia

Для использования в других целях см. Грассманиан (значения).

В математика, то Грассманиан Gr(k, V) это пространство, которое параметризует все k-размерный линейные подпространства из п-размерный векторное пространство V. Например, грассманиан Gr(1, V) это пространство линий, проходящих через начало координат в V, так что он такой же, как проективное пространство на одно измерение ниже, чем V.

Когда V вещественное или комплексное векторное пространство, грассманианы компактный гладкие многообразия.^[1] В целом они имеют структуру гладкое алгебраическое многообразие, размерности ${\displaystyle k(n-k).}$

Самая ранняя работа по нетривиальному грассманиану принадлежит Юлиус Плюкер, который изучал множество проективных прямых в проективном 3-пространстве, эквивалентное Gr(2, р⁴) и параметризовал их тем, что теперь называется Координаты Плюккера. Герман Грассманн позже ввел понятие в целом.

Обозначения различаются между авторами, с Gr_k(V) эквивалентно Gr(k, V), и некоторые авторы, использующие Gr_k(п) или же Gr(k, п) для обозначения грассманиана k-мерные подпространства неопределенного п-мерное векторное пространство.

Мотивация

Задавая набор подпространств некоторого векторного пространства a топологический структура, можно говорить о непрерывном выборе подпространства или открытых и закрытых наборах подпространств; придавая им структуру дифференциальный коллектор можно говорить о плавном выборе подпространства.

Естественный пример приходит из касательные пучки гладких многообразий, вложенных в Евклидово пространство. Предположим, у нас есть многообразие M измерения k встроенный в р^п. В каждой точке Икс в M, касательное пространство к M можно рассматривать как подпространство касательного пространства р^п, что просто р^п. Карта, относящаяся к Икс его касательное пространство определяет карту из M к Gr(k, п). (Для этого мы должны перевести касательное пространство в каждом Икс ∈ M так что он проходит через источник, а не Икс, а значит, определяет k-мерное векторное подпространство. Эта идея очень похожа на Карта Гаусса для поверхностей в трехмерном пространстве.)

Эту идею с некоторыми усилиями можно распространить на всех векторные пучки над многообразием M, так что каждое векторное расслоение порождает непрерывное отображение из M к подходящему обобщенному грассманиану - хотя различные теоремы вложения должны быть доказаны, чтобы показать это. Затем мы обнаруживаем, что свойства наших векторных расслоений связаны со свойствами соответствующих карт, рассматриваемых как непрерывные карты. В частности, мы обнаруживаем, что векторные расслоения, индуцирующие гомотопный отображения в грассманиан изоморфны. Здесь определение гомотопный опирается на понятие непрерывности и, следовательно, на топологию.

Низкие габариты

За k = 1, грассманиан Gr(1, п) это пространство линий, проходящих через начало координат в п-пространство, поэтому оно такое же, как проективное пространство из п − 1 размеры.

За k = 2, грассманиан - это пространство всех двумерных плоскостей, содержащих начало координат. В трехмерном евклидовом пространстве плоскость, содержащая начало координат, полностью характеризуется единственной линией, проходящей через начало координат, которая является перпендикуляр на этот самолет (и наоборот); следовательно, пространства Gr(2, 3), Gr(1, 3), и п² (в проективная плоскость ) все могут быть отождествлены друг с другом.

Простейший грассманиан, не являющийся проективным пространством, - это Gr(2, 4).

Геометрическое определение грассманиана как множества

Позволять V быть п-мерное векторное пространство над поле K. Грассманиан Gr(k, V) это набор всех k-мерные линейные подпространства V. Грассманиан также обозначается Gr(k, п) или же Gr_k(п).

Грассманиан как дифференцируемое многообразие

Чтобы наделить грассманиан Gr_k(V) со структурой дифференцируемого многообразия выберите базис для V. Это эквивалентно отождествлению его с V = K^п со стандартным базисом, обозначенным ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$, рассматриваемые как векторы-столбцы. Тогда для любого k-мерное подпространство ш ⊂ V, рассматриваемый как элемент Gr_k(V), мы можем выбрать базис, состоящий из k линейно независимые векторы-столбцы ${\displaystyle (W_{1},\dots ,W_{k})}$. В однородные координаты элемента ш ∈ Gr_k(V) состоят из компонентов п × k прямоугольная матрица W максимального ранга, явектор-столбец ${\displaystyle W_{i},\quad i=1,\dots ,k}$. Поскольку выбор базиса произвольный, две такие прямоугольные матрицы максимального ранга W и ${\displaystyle {\tilde {W}}}$ представляют собой тот же элемент ш ∈ Gr_k(V) если и только если ${\displaystyle {\tilde {W}}=Wg}$ для какого-то элемента грамм ∈ GL (k, K) общей линейной группы обратимых k × k матрицы с записями в K.

Теперь определим координатный атлас. Для любого п × k матрица W, мы можем применить элементарные операции с столбцами получить свой уменьшенная форма колонны эшелона. Если первый k ряды W линейно независимы, результат будет иметь вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\&1\\&&\ddots \\&&&1\\a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,k}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n-k,1}&\cdots &\cdots &a_{n-k,k}\end{bmatrix}}.}$

В (п − k) × k матрица А = (а_ij) определяет ш. В общем, первая k строки не обязательно должны быть независимыми, но для любых W чей ранг ${\displaystyle k}$, существует упорядоченный набор целых чисел ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ такая, что подматрица ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ состоящий из ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{k}}$-й ряды W неособое. Мы можем применить операции со столбцами, чтобы уменьшить эту подматрицу до идентичности, а оставшиеся записи однозначно соответствуют ш. Следовательно, мы имеем следующее определение:

Для каждого упорядоченного набора целых чисел ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$, позволять ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ быть набором ${\displaystyle n\times k}$ матрицы W чей k × k подматрица ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ неособая, где jй ряд ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ это я_jй ряд W. Координатная функция на ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ тогда определяется как карта ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ что посылает W к (п − k) × k прямоугольная матрица, строки которой являются строками матрицы ${\displaystyle WW_{i_{1},\dots ,i_{k}}^{-1}}$ дополняет ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$. Выбор однородной координатной матрицы W представляющий элемент ш ∈ Gr_k(V) не влияет на значения координатной матрицы ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ представляющий ш в координатной окрестности ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$. Кроме того, координатные матрицы ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ могут принимать произвольные значения, и они определяют диффеоморфизм из ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ на пространство K-значен (п − k) × k матрицы.

На перекрытии

${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}\cap U_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$

любых двух таких координатных окрестностей значения координатной матрицы связаны соотношением перехода

${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}W_{i_{1},\dots ,i_{k}}=A^{j_{1},\dots ,j_{k}}W_{j_{1},\dots ,j_{k}},}$

где оба ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ и ${\displaystyle W_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$ обратимы. Следовательно ${\displaystyle (U_{i_{1},\dots ,i_{k}},A^{i_{1},\dots ,i_{k}})}$ дает атлас Gr_k(V).

Грассманиан как однородное пространство

Самый быстрый способ придать грассманиану геометрическую структуру - это выразить ее как однородное пространство. Во-первых, напомним, что общая линейная группа GL (V) действует переходно на р-мерные подпространства V. Следовательно, если ЧАС это стабилизатор любого из подпространств при этом действии имеем

Gr(р, V) = GL (V)/ЧАС.

Если базовое поле р или же C и GL (V) рассматривается как Группа Ли, то эта конструкция превращает грассманиан в гладкое многообразие. Также становится возможным использовать другие группы для создания этой конструкции. Для этого исправьте внутренний продукт на V. Над р, один заменяет GL (V) посредством ортогональная группа O (V), и, ограничиваясь ортонормированными фреймами, можно получить идентичность

Gr(р, п) = O (п) / (O (р) × O (п − р)).

В частности, размерность грассманиана равна р(п − р).

Над C, один заменяет GL (V) посредством унитарная группа U (V). Это показывает, что грассманиан компактный. Эти конструкции также превращают грассманиан в метрическое пространство: Для подпространства W из V, позволять п_W быть проекцией V на W. потом

${\displaystyle d(W,W')=\lVert P_{W}-P_{W'}\rVert ,}$

куда ||⋅|| обозначает норма оператора, является метрикой на Gr(р, V). Точный используемый внутренний продукт не имеет значения, потому что другой внутренний продукт даст эквивалентную норму для V, а значит, и эквивалентную метрику.

Если наземное поле k произвольно и GL (V) рассматривается как алгебраическая группа, то эта конструкция показывает, что грассманиан является неособый алгебраическое многообразие. Из существования Плюккеровское вложение что грассманиан полный как алгебраическое многообразие. Особенно, ЧАС это параболическая подгруппа из GL (V).

Грассманиан как схема

В сфере алгебраическая геометрия, грассманиан можно построить как схема выразив это как представимый функтор.^[2]

Представимый функтор

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ быть квазикогерентный связка по схеме S. Зафиксируйте положительное целое число р. Затем каждому S-схема Т, грассманов функтор ставит в соответствие множество фактормодулей

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}:={\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}O_{T}}$

местно без ранга р на Т. Обозначим это множество через ${\displaystyle \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}}_{T})}$.

Этот функтор может быть представлен разделенным S-схема ${\displaystyle \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})}$. Последний проективный если ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ конечно порожден. Когда S это спектр поля k, то связка ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ задается векторным пространством V и мы восстанавливаем обычное грассманово многообразие двойственного пространства к V, а именно: Gr(р, V^∗).

По построению схема Грассмана совместима с заменой базы: для любого S-схема S ′, имеем канонический изоморфизм

${\displaystyle \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})\times _{S}S'\simeq \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}}_{S'})}$

В частности, для любой точки s из S, канонический морфизм {s} = Spec (k(s)) → S, индуцирует изоморфизм слоя ${\displaystyle \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})_{s}}$ к обычному грассманиану ${\displaystyle \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}k(s))}$ над полем вычетов k(s).

Универсальная семья

Поскольку схема Грассмана представляет собой функтор, она имеет универсальный объект, ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$, который является объектом

${\displaystyle \mathbf {Gr} \left(r,{\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})}\right),}$

и, следовательно, фактор-модуль ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})}}$, локально без ранга р над ${\displaystyle \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})}$. Фактор-гомоморфизм индуцирует замкнутое погружение из проективного расслоения ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})}$:

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})\to \mathbf {P} \left({\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})}\right)=\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}}).}$

Для любого морфизма S-схемы:

${\displaystyle T\to \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}}),}$

это закрытое погружение вызывает закрытое погружение

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}}_{T})\to \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

Наоборот, любое такое замкнутое погружение происходит из сюръективного гомоморфизма О_Т-модули из ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}}$ к локально свободному модулю ранга р.^[3] Следовательно, элементы ${\displaystyle \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})(T)}$ в точности проективные подрасслоения ранга р в

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

Под этим отождествлением, когда Т = S это спектр поля k и ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ задается векторным пространством V, множество рациональных точек ${\displaystyle \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})(k)}$ соответствуют проективным линейным подпространствам размерности р − 1 в п(V), а изображение ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})(k)}$ в

${\displaystyle \mathbf {P} (V)\times _{k}\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})}$

это набор

${\displaystyle \{(x,v)\in \mathbf {P} (V)(k)\times \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})(k)\mid x\in v\}.}$

Вложение Плюккера

Основная статья: Плюккеровское вложение

Вложение Плюккера является естественным вложением грассманиана ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ в проективизацию внешней алгебры Λ^kV:

${\displaystyle \iota :\mathbf {Gr} (k,V)\to \mathbf {P} \left(\Lambda ^{k}V\right).}$

Предположим, что W это k-мерное подпространство п-мерное векторное пространство V. Определять ${\displaystyle \iota (W)}$, выберите основу {ш₁, ..., ш_k} из W, и разреши ${\displaystyle \iota (W)}$ быть произведением клина этих базовых элементов:

${\displaystyle \iota (W)=[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}].}$

Другая основа для W даст другое произведение клина, но эти два произведения будут отличаться только ненулевым скаляром (определителем изменения базисной матрицы). Поскольку правая часть принимает значения в проективном пространстве, ${\displaystyle \iota }$ четко определено. Чтобы увидеть это ${\displaystyle \iota }$ это вложение, обратите внимание, что можно восстановить W из ${\displaystyle \iota }$ как промежуток множества всех векторов ш такой, что ${\displaystyle w\wedge \iota (W)=0}$.

Координаты Плюккера и отношения Плюккера

Плюккеровское вложение грассманиана удовлетворяет очень простым квадратичным соотношениям, называемым Плюккеровские отношения. Они показывают, что грассманиан вкладывается как алгебраическое подмногообразие в п(Λ^kV) и дадим еще один способ построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Плюккера, зафиксируйте основу {е₁, ..., е_п} из V, и разреши W быть k-мерное подпространство V с основанием {ш₁, ..., ш_k}. Позволять (ш_я1, ..., ш_в) быть координатами ш_я по выбранному основанию V, позволять

$${\displaystyle {\mathsf {W}}={\begin{bmatrix}w_{11}&\cdots &w_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\w_{k1}&\cdots &w_{kn}\end{bmatrix}},}$$

и разреши {W₁, ..., W_п} быть столбцами ${\displaystyle {\mathsf {W}}}$. Для любой упорядоченной последовательности ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ из ${\displaystyle k}$ положительные целые числа, пусть ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ быть определяющим фактором ${\displaystyle k\times k}$ матрица со столбцами ${\displaystyle W_{i_{1}},\dots ,W_{i_{k}}}$. Набор ${\displaystyle \{W_{i_{1},\dots ,i_{k}}:1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ называется Координаты Плюккера элемента ${\displaystyle W}$ грассманиана (относительно базиса {е₁, ..., е_п} из V). Это линейные координаты изображения ${\displaystyle \iota (W)}$ из ${\displaystyle W}$ под картой Плюккера относительно основы внешней силы Λ^kV индуцированный базисом {е₁, ..., е_п} из V.

Для любых двух упорядоченных последовательностей ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}\cdots <i_{k-1}\leq n}$ и ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}\cdots <j_{k+1}\leq n}$ из ${\displaystyle k-1}$ и ${\displaystyle k+1}$ положительные целые числа, соответственно, следующие однородные уравнения верны и определяют образ Gr(k, V) при вложении Плюккера:

${\displaystyle \sum _{\ell =1}^{k+1}(-1)^{\ell }W_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{\ell }}W_{j_{1},\dots ,{\widehat {j_{\ell }}},\dots j_{k+1}}=0,}$

куда ${\displaystyle j_{1},\ldots ,{\widehat {j_{\ell }}},\ldots j_{k+1}}$ обозначает последовательность ${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{k+1}}$ со сроком ${\displaystyle j_{\ell }}$ опущено.

Когда тусклый (V) = 4, и k = 2, простейший грассманиан, не являющийся проективным пространством, приведенное выше сводится к одному уравнению. Обозначая координаты п(Λ^kV) к W₁₂, W₁₃, W₁₄, W₂₃, W₂₄, W₃₄, образ Gr(2, V) при отображении Плюккера определяется одним уравнением

W₁₂W₃₄ − W₁₃W₂₄ + W₂₃W₁₄ = 0.

В общем, однако, требуется гораздо больше уравнений, чтобы определить плюккеровское вложение грассманиана в проективное пространство.^[4]

Грассманиан как вещественное аффинное алгебраическое многообразие

Позволять Gr(р, р^п) обозначим грассманиан р-мерные подпространства р^п. Позволять М (п, р) обозначают пространство реальных п × п матрицы. Рассмотрим набор матриц А(р, п) ⊂ M (п, р) определяется Икс ∈ А(р, п) тогда и только тогда, когда выполняются три условия:

• Икс является оператором проекции: Икс² = Икс.
• Икс симметрично: Икс^т = Икс.
• Икс есть след р: tr (Икс) = р.

А(р, п) и Gr(р, р^п) гомеоморфны, с соответствием, установленным отправкой Икс ∈ А(р, п) в пространство столбцов Икс.

Двойственность

Каждый р-мерное подпространство W из V определяет (п − р)-мерное фактор-пространство V/W из V. Это дает естественный короткая точная последовательность:

0 → W → V → V/W → 0.

Принимая двойной в каждое из этих трех пространств и линейные преобразования дают включение (V/W)^∗ в V^∗ с частным W^∗:

0 → (V/W)^∗ → V^∗ → W^∗ → 0.

Использование естественного изоморфизма конечномерного векторного пространства с его двойным двойным показывает, что повторное взятие двойственного восстанавливает исходную короткую точную последовательность. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между р-мерные подпространства V и (п − р)-мерные подпространства V^∗. В терминах грассманиана это канонический изоморфизм

Gr(р, V) ≅ Gr(п − р, V^∗).

Выбирая изоморфизм V с V^∗ следовательно, определяет (неканонический) изоморфизм Gr(р, V) и Gr(п − р, V). Изоморфизм V с V^∗ равносильно выбору внутренний продукт, и относительно выбранного скалярного произведения этот изоморфизм грассманианов посылает р-мерное подпространство в свое (п − р)-размерный ортогональное дополнение.

Клетки Шуберта

Детальное изучение грассманианов использует разложение на подмножества называется Клетки Шуберта, которые впервые были применены в перечислительная геометрия. Клетки Шуберта для Gr(р, п) определяются в терминах вспомогательного флаг: взять подпространства V₁, V₂, ..., V_р, с V_я ⊂ V_{я + 1}. Затем мы рассматриваем соответствующее подмножество Gr(р, п), состоящий из W имеющий пересечение с V_я размером не менее я, за я = 1, ..., р. Манипуляции с клетками Шуберта - это Исчисление Шуберта.

Вот пример техники. Рассмотрим задачу определения эйлеровой характеристики грассманиана р-мерные подпространства р^п. Исправить 1-мерное подпространство р ⊂ р^п и рассмотрим разделение Gr(р, п) в те р-мерные подпространства р^п которые содержат р и те, которые этого не делают. Первый Gr(р − 1, п − 1) и последний р-мерное векторное расслоение над Gr(р, п − 1). Это дает рекурсивные формулы:

${\displaystyle \chi _{r,n}=\chi _{r-1,n-1}+(-1)^{r}\chi _{r,n-1},\qquad \chi _{0,n}=\chi _{n,n}=1.}$

Если решить это рекуррентное соотношение, получится формула: χ_{г, п} = 0 если и только если п даже и р странно. Иначе:

${\displaystyle \chi _{r,n}={\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor \choose \lfloor {\frac {r}{2}}\rfloor }.}$

Кольцо когомологий комплексного грассманиана

Каждая точка комплексного грассманова многообразия Gr(р, п) определяет р-самолет в п-Космос. Расслоение этих плоскостей над грассмановой дает векторный набор E который обобщает тавтологический пучок из проективное пространство. Аналогичным образом (п − р)-мерные ортогональные дополнения к этим плоскостям дают ортогональное векторное расслоение F. Интегральный когомология грассманианов порождается, как звенеть, посредством Классы Черна из E. В частности, все интегральные когомологии имеют четную степень, как и в случае проективного пространства.

Эти генераторы подчиняются ряду отношений, которые определяют кольцо. Определяющие соотношения легко выразить для большего набора образующих, который состоит из классов Черна E и F. Тогда отношения просто констатируют, что прямая сумма пучков E и F тривиально. Функциональность суммарных классов Черна позволяет записать это соотношение в виде

${\displaystyle c(E)c(F)=1.}$

В квантовые когомологии кольцо было рассчитано Эдвард Виттен в Алгебра Верлинде и когомологии грассманиана. Генераторы идентичны образующим классического кольца когомологий, но верхнее соотношение заменено на

${\displaystyle c_{k}(E)c_{n-k}(F)=(-1)^{n-r}}$

отражая существование в соответствующей квантовой теории поля Немедленное включение с 2п фермионный нулевые режимы что нарушает степень когомологий, соответствующих состоянию, на 2п единицы.

Связанная мера

Когда V является п-мерное евклидово пространство, можно определить равномерную меру на Gr(р, п) следующим образом. Позволять θ_п быть единицей Мера Хаара на ортогональная группа O (п) и исправить W в Gr(р, п). Тогда для набора А ⊆ Gr(р, п), определять

${\displaystyle \gamma _{r,n}(A)=\theta _{n}\{g\in \operatorname {O} (n):gW\in A\}.}$

Эта мера инвариантна относительно действий группы O (п), то есть, γ_{г, п}(gA) = γ_{г, п}(А) для всех грамм в O (п). С θ_п(O (п)) = 1, у нас есть γ_{г, п}(Gr(р, п)) = 1. Более того, γ_{г, п} это Радоновая мера относительно топологии метрического пространства и является равномерным в том смысле, что каждый шар одного и того же радиуса (относительно этой метрики) имеет одну и ту же меру.

Ориентированный грассманиан

Это многообразие, состоящее из всех ориентированный р-мерные подпространства р^п. Это двойная обложка Gr(р, п) и обозначается:

${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {Gr} }}(r,n).}$

Как однородное пространство это можно выразить как:

${\displaystyle \operatorname {SO} (n)/(\operatorname {SO} (r)\times \operatorname {SO} (n-r)).}$

Приложения

Многообразия Грассмана нашли применение в компьютерное зрение задачи распознавания лиц и форм на основе видео.^[5] Они также используются в технике визуализации данных, известной как большое путешествие.

Грассманианы позволяют амплитуды рассеяния субатомных частиц, которые должны быть вычислены с помощью положительной грассмановой конструкции, называемой амплитуэдр.^[6]

Решение Уравнения Кадомцева – Петвиашвили. можно представить в виде бесконечномерных многообразий Грассмана, где уравнение КП - это просто Плюккер отношение^{[7] [8]} Положительные многообразия Грассмана могут использоваться для получения аналогичных решений Солитон решение уравнения КП.^[9][10]

Смотрите также

• Исчисление Шуберта
• В качестве примера использования грассманианов в дифференциальная геометрия, видеть Карта Гаусса И в проективная геометрия, видеть Координаты Плюккера.
• Флаговые многообразия являются обобщениями грассманианов и Многообразия Штифеля тесно связаны.
• Учитывая выделенный класс подпространств, можно определить грассманианы этих подпространств, такие как Лагранжев грассманиан.
• Грассманианы обеспечивают классификация пространств в K-теория, в частности классифицирующее пространство для U (п). в гомотопическая теория схем, грассманиан играет аналогичную роль для алгебраическая K-теория.^[11]
• Аффинный грассманиан
• Расслоение Грассмана
• Граф Грассмана

Примечания

1. Милнор и Сташефф (1974) С. 57–59.
2. Гротендик, Александр (1971). Éléments de géométrie algébrique. 1 (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-05113-8., Глава I.9
3. EGA, II.3.6.3.
4. Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Wiley Classics Library (2-е изд.), Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, п. 211, ISBN  0-471-05059-8, МИСТЕР  1288523, Zbl  0836.14001
5. Паван Турага, Ашок Вирарагхаван, Рама Челлаппа: Статистический анализ многообразий Штифеля и Грассмана с приложениями в компьютерном зрении, CVPR 23–28 июня 2008 г., Конференция IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов, 2008 г., ISBN  978-1-4244-2242-5, стр. 1–8 (Абстрактные, полный текст )
6. Аркани-Хамед, Нима; Трнка, Ярослав (2013). «Амплитуэдр». Журнал физики высоких энергий. 2014 (10). arXiv:1312.2007. Bibcode:2014JHEP ... 10..030A. Дои:10.1007 / JHEP10 (2014) 030. S2CID  7717260.
7. Чакраварти, С .; Кодама, Ю. (июль 2009 г.). [doi.org/10.1111/j.1467-9590.2009.00448.x «Солитонные решения уравнения КП и приложение к волнам на мелководье»] Проверять | url = ценить (помощь). Исследования по прикладной математике. С. 83–151. Дои:10.1111 / j.1467-9590.2009.00448.x. Получено 17 декабря 2020.
8. Сато, Микио (октябрь 1981). «Солитонные уравнения как динамические системы на бесконечномерных грассмановых многообразиях (случайные системы и динамические системы)». 数 理 解析 研究所 講究 録. С. 30–46.
9. Кодама, Юдзи; Уильямс, Лорен (декабрь 2014 г.). [DOI 10.1007 / s00222-014-0506-3 "Солитоны КП и полная положительность для грассманиана"] Проверять | url = ценить (помощь). Математические изобретения. С. 637–699. Дои:10.1007 / s00222-014-0506-3. Получено 17 декабря 2020.
10. Хартнетт, Кевин. «Неожиданное путешествие математика по физическому миру». Журнал Quanta. Получено 17 декабря 2020.
11. Морель, Фабьен; Воеводский, Владимир (1999). "А¹-гомотопическая теория схем » (PDF). Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 90 (90): 45–143. Дои:10.1007 / BF02698831. ISSN  1618-1913. МИСТЕР  1813224. S2CID  14420180. Получено 2008-09-05., см. раздел 4.3., стр. 137–140

Рекомендации

• Хэтчер, Аллен (2003). "Векторные пучки и K-теория" (2.0 изд.). раздел 1.2
• Милнор, Джон В.; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы. Анналы математических исследований. 76. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08122-0. см. главы 5–7
• Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия: первый курс. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-97716-3.
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-65595-1.