Тор Клифтона – Поля - Clifton–Pohl torus

В геометрия, то Тор Клифтона – Поля является примером компактный Лоренцево многообразие это не геодезически полный. Хотя каждый компакт Риманово многообразие также геодезически полна (по Теорема Хопфа – Ринова. ) это пространство показывает, что та же импликация не распространяется на псевдоримановы многообразия.^[1] Он назван в честь Йитона Х. Клифтона и Уильям Ф. Поль, которые описали его в 1962 году, но не опубликовали свой результат.^[2]

Определение

Рассмотрим многообразие ${ Displaystyle mathrm {M} = mathbb {R} ^ {2} smallsetminus {0 }}$ с метрикой

{ displaystyle g = { frac {dx , dy} {{ tfrac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2})}}}

Любые гомотетия является изометрия из ${ displaystyle M}$ , в частности включая карту:

{ Displaystyle лямбда (х, у) = 2 cdot (х, у)}

Позволять ${ displaystyle Gamma}$ быть подгруппой группа изометрии создано ${ displaystyle lambda}$ . потом ${ displaystyle Gamma}$ имеет собственное прерывное действие на ${ displaystyle M}$ . Следовательно, фактор ${ Displaystyle Т = М / Гамма,}$ что топологически тор, является поверхностью Лоренца, называемой тором Клифтона – Поля.^[1] Иногда, в дальнейшем, поверхность называется тором Клифтона – Поля, если это конечное покрытие фактора ${ displaystyle M}$ любой гомотетией отношения, отличным от ${ displaystyle pm 1}$ .

Геодезическая незавершенность

Можно проверить, что кривая

{ displaystyle sigma (t): = left ({ frac {1} {1-t}}, 0 right)}

это геодезический из M это не полный (поскольку он не определен в ${ displaystyle t = 1}$ ).^[1] Как следствие, ${ displaystyle M}$ (отсюда и ${ displaystyle T}$ ) геодезически неполна, несмотря на то, что ${ displaystyle T}$ компактный. Аналогично кривая

{ Displaystyle sigma (t): = ( tan (t), 1)}

это нулевая геодезическая это неполно. Фактически, каждая нулевая геодезическая на ${ displaystyle M}$ или ${ displaystyle T}$ неполный.

Геодезическую неполноту тора Клифтона – Поля лучше рассматривать как прямое следствие того факта, что ${ displaystyle (M, g)}$ является расширяемым, то есть может рассматриваться как подмножество большей лоренцевой поверхности. Это прямое следствие простой смены координат. С участием

{ Displaystyle N = left (- pi / 2, pi / 2 right) ^ {2} smallsetminus {0 };}

учитывать

{ displaystyle F: N to M}

{ Displaystyle F (u, v): = ( tan (u), tan (v)).}

Метрика ${ displaystyle F ^ {*} g}$ (т. е. метрика ${ displaystyle g}$ выражается в координатах ${ Displaystyle (и, v)}$ ) читает

{ displaystyle { widehat {g ,}} = { frac {du , dv} {{ tfrac {1} {2}} ( cos (u) ^ {2} sin (v) ^ { 2} + sin (u) ^ {2} cos (v) ^ {2})}}.}

Но эта метрика естественным образом продолжается от ${ displaystyle N}$ к ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2} smallsetminus Lambda}$ , где

{ displaystyle Lambda = left {{ tfrac { pi} {2}} (k, ell) mid (k, ell) in mathbb {Z} ^ {2}, k + ell Equiv 0 { pmod {2}} right }.}

Поверхность ${ displaystyle ( mathbb {R} ^ {2} smallsetminus Lambda, { widehat {g ,}})}$ , известная как расширенная плоскость Клифтона – Поля, является геодезически полной.^[3]

Сопряженные точки

Торы Клифтона – Поля примечательны еще и тем, что это единственные неплоские лоренцевы торы, не имеющие сопряженные точки что известно.^[3] Расширенная плоскость Клифтона – Поля содержит множество пар сопряженных точек, некоторые из которых находятся на границе ${ Displaystyle (- пи / 2, пи / 2) ^ {2}}$ т.е. "на бесконечности" в ${ displaystyle M}$ Напомним также, что по теореме Э. Хопф в римановой ситуации таких торов не существует.^[4]

использованная литература

^ ^а ^б ^c О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия в приложениях к теории относительности, Чистая и прикладная математика, 103, Академическая пресса, п. 193, ISBN 9780080570570.
^ Вольф, Джозеф А. (2011), Пространства постоянной кривизны (6-е изд.), AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, p. 95, ISBN 978-0-8218-5282-8, Г-Н 2742530.
^ ^а ^б Бавард, гл .; Mounoud, P. (2013), "Поверхности lorentziennes без точек сопряженных", Геометрия и топология, 17: 469–492, Дои:10.2140 / gt.2013.17.469
^ Хопф, Э. (1948), "Замкнутые поверхности без сопряженных точек", Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ., 34: 47–51, Bibcode:1948ПНАС ... 34 ... 47Н, Дои:10.1073 / pnas.34.2.47, ЧВК 1062913, PMID 16588785

[one-1] а ^б ^c О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия в приложениях к теории относительности, Чистая и прикладная математика, 103, Академическая пресса, п. 193, ISBN 9780080570570.

[2] Вольф, Джозеф А. (2011), Пространства постоянной кривизны (6-е изд.), AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, p. 95, ISBN 978-0-8218-5282-8, Г-Н 2742530.

[BMCP-3] а ^б Бавард, гл .; Mounoud, P. (2013), "Поверхности lorentziennes без точек сопряженных", Геометрия и топология, 17: 469–492, Дои:10.2140 / gt.2013.17.469

[EHopf-4] Хопф, Э. (1948), "Замкнутые поверхности без сопряженных точек", Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ., 34: 47–51, Bibcode:1948ПНАС ... 34 ... 47Н, Дои:10.1073 / pnas.34.2.47, ЧВК 1062913, PMID 16588785

[1]

[2]

[3]

[4]