Теорема Хопфа – Ринова. - Hopf–Rinow theorem

Теорема Хопфа – Ринова. представляет собой набор утверждений о геодезическая полнота из Римановы многообразия. Он назван в честь Хайнц Хопф и его ученик Вилли Ринов, опубликовавший его в 1931 году.^[1]

утверждение

Позволять (M, г) - связное риманово многообразие. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. В закрыто и ограниченный подмножества из M находятся компактный;
2. M это полный метрическое пространство;
3. M геодезически завершен; то есть для каждого п в M, то экспоненциальная карта exp_п определяется на всей касательное пространство Т_пM.

Кроме того, любое из вышеперечисленных означает, что при любых двух точках п и q в Mсуществует минимизирующая длину геодезический соединяющие эти две точки (геодезические вообще критические точки для длина функциональные и могут быть минимальными, а могут и не быть).

Вариации и обобщения

• Теорема Хопфа – Ринова обобщается на длины метрических пространств следующим образом:

  Если длина-метрическое пространство (M, d) является полный и локально компактный тогда любые две точки в M могут быть связаны минимизация геодезических, и любые ограниченные закрытый набор в M является компактный.

• Теорема не верна в бесконечных измерениях: (Аткин 1975 ) показал, что две точки в бесконечномерном полном гильбертовом многообразии не обязательно соединять геодезической.^[2]
• Теорема также не обобщается на Лоренцевы многообразия: the Тор Клифтона – Поля предоставляет компактный, но неполный пример.^[3]

Заметки

1. Hopf, H .; Ринов, W. (1931). "Ueber den Begriff der vollständigen Differencegeometrischen Fläche". Комментарии Mathematici Helvetici. 3 (1): 209–225. Дои:10.1007 / BF01601813. HDL:10338.dmlcz / 101427.
2. Аткин, К. Дж. (1975), «Теорема Хопфа – Ринова неверна в бесконечных измерениях» (PDF), Бюллетень Лондонского математического общества, 7 (3): 261–266, Дои:10.1112 / blms / 7.3.261, Г-Н  0400283.
3. О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности, Чистая и прикладная математика, 103, Academic Press, стр. 193, г. ISBN  9780080570570.

использованная литература

• Юрген Йост (28 июля 2011 г.). Риманова геометрия и геометрический анализ (6-е изд.). Universitext. Springer Science & Business Media. Дои:10.1007/978-3-642-21298-7. ISBN  978-3-642-21298-7. См. Раздел 1.7.
• Войцеховский М.И. (2001) [1994], "Теорема Хопфа-Ринова", Энциклопедия математики, EMS Press