Полнота (теория порядка) - Completeness (order theory)

в математический зона теория порядка, свойства полноты утверждать существование определенных инфима или же супрема данного частично заказанный набор (посеть). Самый известный пример - это полнота действительных чисел. Специальное использование термина относится к полные частичные заказы или же полные решетки. Однако существует много других интересных представлений о полноте.

Мотивация для рассмотрения свойств полноты проистекает из большой важности супрема (наименьшие верхние границы, присоединяется, " ${ displaystyle vee}$ ") и инфима (точные нижние границы, встречает, " ${ Displaystyle клин}$ ") к теории частичных порядков. Нахождение супремума означает выделение одного выделенного наименьшего элемента из набор оценок сверху. С одной стороны, эти специальные элементы часто воплощают в себе определенные конкретные свойства, которые интересны для данного приложения (например, наименьший общий множитель набора чисел или союз коллекции наборов). С другой стороны, знание того, что определенные типы подмножества гарантированно имеют верхнюю или нижнюю границу, что позволяет нам рассматривать вычисление этих элементов как Всего операций на частично заказанном комплекте. По этой причине, позы с определенными свойствами полноты часто можно описать как алгебраические структуры определенного вида. Кроме того, изучение свойств вновь полученных операций дает дополнительные интересные темы.

Типы свойств полноты

Все свойства полноты описываются по аналогичной схеме: одно описывает некую учебный класс подмножеств частично упорядоченного набора, которые должны иметь верхнюю грань или точную нижнюю грань. Следовательно, каждое свойство полноты имеет свои двойной, полученный инвертированием зависимых от порядка определений в данном утверждении. Некоторые из понятий обычно не дуализируются, в то время как другие могут быть самодвойственными (т.е. эквивалентными своим двойственным утверждениям).

Наименьшие и самые большие элементы

Самый простой пример супремума - пустой, т.е. супремум супремума. пустой набор. По определению, это наименьший элемент среди всех элементов, которые больше каждого члена пустого набора. Но это всего лишь наименьший элемент всего ЧУМа, если он есть, так как пустое подмножество ЧУМ п условно считается ограниченным как сверху, так и снизу, причем каждый элемент п являясь как верхней, так и нижней границей пустого подмножества. Другие общие имена для наименьшего элемента - нижний и нулевой (0). Двойственное понятие, пустая нижняя граница, есть величайший элемент, верх или блок (1).

Посеты с низом иногда называют заостренными, а позы с вершиной - единичными или вершинами. Порядок, в котором есть как наименьший, так и наибольший элемент, ограничен. Однако это не следует путать с понятием ограниченная полнота приведен ниже.

Конечная полнота

Дальнейшие простые условия полноты возникают из рассмотрения всех непустых конечные множества. Порядок, в котором все непустые конечные множества имеют как верхнюю, так и нижнюю грань, называется решетка. Достаточно потребовать, чтобы все верхние и нижние границы два элементы существуют, чтобы получить все непустые конечные; простой индукция Аргумент показывает, что каждая конечная непустая верхняя / нижняя грань может быть разложена на конечное число двоичных верхних / нижних граней. Таким образом, центральные операции решеток - это бинарные супремумы. ${ displaystyle vee}$ и инфима ${ Displaystyle клин}$ . Именно в этом контексте условия встречаются для ${ Displaystyle клин}$ и присоединяйтесь к ${ displaystyle vee}$ наиболее распространены.

Поэтому чум-множество, в котором известно, что существуют только непустые конечные супремы, называется стыковочная полурешетка. Двойственное понятие встречная полурешетка.

Дальнейшие условия полноты

Самая сильная форма полноты - это существование всех супрем и инфим. Посеты с этим свойством являются полные решетки. Однако, используя данный порядок, можно ограничиться дополнительными классами (возможно, бесконечными) подмножествами, которые не дают сразу этой сильной полноты.

Я упал направленные подмножества чугуна имеют супремум, то порядок направленный-полный частичный порядок (DCPO). Это особенно важно в теория предметной области. Редко рассматриваемое двойственное понятие для dcpo - это отфильтрованный полный poset. Dcpos с наименьшим элементом ("заостренные dcpos") - одно из возможных значений фразы полный частичный заказ (cpo).

Если каждое подмножество, имеющее немного верхняя граница также имеет наименьшую верхнюю границу, тогда соответствующий ч.у. называется ограниченный полный. Этот термин широко используется в этом определении, в котором основное внимание уделяется супремам, и нет общего названия для двойного свойства. Однако ограниченная полнота может быть выражена в терминах других условий полноты, которые легко дуализуются (см. Ниже). Хотя понятия с именами «полный» и «ограниченный» уже были определены, путаница вряд ли возникнет, поскольку редко можно говорить об «ограниченном полном poset», имея в виду «ограниченный cpo» (который является просто «cpo с наибольшим элементом "). Точно так же «ограниченная полная решетка» почти однозначна, поскольку нельзя было бы утверждать свойство ограниченности для полных решеток, где оно все равно подразумевается. Также обратите внимание, что пустое множество обычно имеет верхнюю границу (если ЧУМ непусто) и, таким образом, ограниченно-полное ЧУМ имеет наименьший элемент.

Можно также рассмотреть подмножества чугуна, которые полностью заказанный, т.е. цепи. Если все цепочки имеют супремум, порядок называется цепь завершена. Опять же, эта концепция редко бывает нужна в двойной форме.

Отношения между свойствами полноты

Уже было замечено, что двоичные встречи / соединения дают все непустые конечные встречи / соединения. Точно так же многие другие (комбинации) вышеперечисленных условий эквивалентны.

Самый известный пример - существование всех супремумов, что фактически эквивалентно существованию всех инфим, при условии, что существует дно. Действительно, для любого подмножества Икс чугуна, можно рассматривать его множество нижних оценок B, который не является пустым, поскольку содержит как минимум дно. Супремум B тогда равняется точной нижней грани Икс: поскольку каждый элемент Икс является верхней границей B, Как делаB меньше всех элементов Икс, то есть supB в B. Это величайший элемент B и, следовательно, нижняя грань Икс. Двойным образом существование всех инфим подразумевает существование всех супрем.
Ограниченную полноту также можно характеризовать по-разному. С помощью рассуждений, аналогичных приведенным выше, можно найти, что верхняя грань набора с верхними границами является точной гранью набора верхних границ. Следовательно, ограниченная полнота эквивалентна существованию всех непустых инфим.
Посеть - это полная решетка если и только если это cpo и полурешётка соединения. Действительно, для любого подмножества Икс, множество всех конечных супрем (джоинов) Икс направлена, и верхняя грань этого множества (существующего по направленной полноте) равна супремуму Икс. Таким образом, каждое множество имеет верхнюю грань, и согласно вышеизложенному наблюдению мы получаем полную решетку. Другое направление доказательства тривиально.
Если предположить аксиома выбора, poset является цепно полным тогда и только тогда, когда это dcpo.

Полнота в терминах универсальной алгебры

Как объяснялось выше, наличие определенных условий полноты позволяет рассматривать формирование определенных супрем и инфим как совокупные операции частично упорядоченного множества. Оказывается, во многих случаях полноту можно охарактеризовать, только рассматривая соответствующие алгебраические структуры в смысле универсальная алгебра, которые оснащены такими операциями, как ${ displaystyle vee}$ или же ${ Displaystyle клин}$ . Путем навязывания дополнительных условий (в виде подходящих идентичности ) на этих операциях, тогда действительно можно вывести основной частичный порядок исключительно из таких алгебраических структур. Подробную информацию об этой характеристике можно найти в статьях о «решетчатых» структурах, для которых это обычно рассматривается: см. полурешетка, решетка, Алгебра Гейтинга, и Булева алгебра. Обратите внимание, что последние две структуры расширяют применение этих принципов за рамки простых требований полноты, вводя дополнительную операцию отрицание.

Полнота с точки зрения дополнений

Еще один интересный способ охарактеризовать свойства полноты - это понятие (монотонность) Связи Галуа, т.е. присоединения между частичными заказами. Фактически, этот подход предлагает дополнительное понимание как природы многих свойств полноты, так и важности связей Галуа для теории порядка. Общее наблюдение, на котором основана эта переформулировка полноты, состоит в том, что конструкция определенной супремы или инфимы обеспечивает левую или правую сопряженную часть подходящих связностей Галуа.

Рассмотрим частично упорядоченное множество (Икс, ≤). В качестве первого простого примера пусть 1 = {*} будет заданным одноэлементным набором с единственно возможным частичным упорядочением. Есть очевидное отображение j: Икс → 1 с j(Икс) = * для всех Икс в Икс. Икс имеет наименьший элемент тогда и только тогда, когда функция j имеет нижний прилегающий j^*: 1 → Икс. Действительно, из определения связности Галуа следует, что в этом случае j^*(*) ≤ Икс тогда и только тогда, когда * ≤ j(Икс), где правая часть, очевидно, выполняется для любого Икс. Двойственно наличие верхнего сопряженного для j эквивалентно Икс имеющий величайший элемент.

Еще одно простое отображение - это функция q: Икс → Икс × Икс данный q(Икс) = (Икс, Икс). Естественно, предполагаемое отношение порядка для Икс × Икс просто обычный заказ продукта. q имеет нижний прилегающий q^* тогда и только тогда, когда все двоичные файлы объединяются Икс существовать. И наоборот, операция соединения ${ displaystyle vee}$ : Икс × Икс → Икс всегда может предоставить (обязательно уникальный) нижний сопряженный элемент для q. Вдвойне, q допускает верхний сопряженный тогда и только тогда, когда Икс имеет все двоичные соответствия. Таким образом, встреча ${ Displaystyle клин}$ , если он существует, всегда является верхним сопряженным. Если оба ${ displaystyle vee}$ и ${ Displaystyle клин}$ существуют и, кроме того, ${ Displaystyle клин}$ также является нижним сопряженным, то ч.у. Икс это Алгебра Гейтинга - еще один важный особый класс частичных порядков.

Дальнейшие заявления о полноте можно получить, используя подходящие завершение процедуры. Например, хорошо известно, что сбор всех нижние наборы посета Икс, заказан включение подмножества, дает полную решетку D(Икс) (решетка вниз). Кроме того, имеется очевидное вложение е: Икс → D(Икс), который отображает каждый элемент Икс из Икс к его главный идеал {у в Икс | у ≤ Икс}. Небольшое размышление теперь показывает, что е имеет нижний сопряженный тогда и только тогда, когда Икс является полной решеткой. Фактически, этот нижний сопряженный будет отображать любой нижний набор Икс к своему превосходству в Икс. Составив это с функцией, которая отображает любое подмножество Икс к его нижнее закрытие (снова добавление для включения нижних множеств в powerset ), обычное отображение супремума получается из набора степеней 2^Икс к Икс. Как и раньше, возникает другая важная ситуация, когда это отображение супремума также является верхним сопряженным: в этом случае полная решетка Икс является конструктивно полностью распределительный. См. Также статьи о полная дистрибутивность и дистрибутивность (теория порядка).

Соображения в этом разделе предлагают переформулировать (части) теории порядка в терминах теория категорий, где свойства обычно выражаются ссылкой на отношения (морфизмы (точнее: присоединения) между объектами, вместо того, чтобы рассматривать их внутреннюю структуру. Для более подробного рассмотрения этой взаимосвязи см. Статью о категориальная формулировка теории порядка.

Смотрите также

Функция сохранения предела на сохранение существующих suprema / infima.
Общий заказ