Предел-сохраняющая функция (теория порядка) - Limit-preserving function (order theory)

в математический зона теория порядка, часто говорят о функции который сохранять определенные пределы, т.е. определенные супрема или же инфима. Грубо говоря, эти функции отображают верхнюю / нижнюю грань набора в верхнюю / нижнюю грань изображения набора. В зависимости от типа множеств, для которых функция удовлетворяет этому свойству, она может сохранять конечные, направленные, непустые или просто произвольные верхние или нижние границы. Каждое из этих требований естественно и часто появляется во многих областях теории порядка, и между этими концепциями и другими понятиями, такими как монотонность. Если импликация сохранения предела инвертируется так, что существование пределов в области значений функции подразумевает существование пределов в области, то можно получить функции, которые являются ограничивающий.

Цель данной статьи - прояснить определение этих основных понятий, что необходимо, поскольку литература не всегда согласована в этом месте, а также дать общие результаты и пояснения по этим вопросам.

Предпосылки и мотивация

Во многих специализированных областях теории порядка ограничиваются классами частично упорядоченные наборы которые полный относительно некоторых предельных конструкций. Например, в теория решетки, нас интересуют порядки, в которых все конечные непустые множества имеют как точную верхнюю, так и точную нижнюю границу. В теория предметной области, с другой стороны, мы фокусируемся на частично упорядоченных наборах, в которых каждое направленное подмножество имеет супремум. Полные решетки и порядки с наименьшим элементом («пустой супремум») дают дополнительные примеры.

Во всех этих случаях ограничения играют центральную роль для теорий, подкрепленные их интерпретациями в практических приложениях каждой дисциплины. Также интересно указать соответствующие сопоставления между такими порядками. Из алгебраический точки зрения, это означает, что каждый хочет найти адекватные понятия гомоморфизмы для рассматриваемых конструкций. Это достигается за счет рассмотрения тех функций, которые совместимый с конструкциями, характерными для соответствующих заказов. Например, решеточные гомоморфизмы - это те функции, которые сохранять непустые конечные верхние и нижние грани, т.е. образ супремума / нижнего края двух элементов - это просто верхняя / нижняя грань их образов. В теории предметной области часто имеют дело с так называемыми Скотт-непрерывный функции, сохраняющие все направленные супремы.

Предпосылки для приведенных ниже определений и терминологии можно найти в теория категорий, куда пределы (и совместные ограничения) в более общем смысле. Категорическое понятие ограничивающий и ограничивающий функторы полностью согласуется с теорией порядка, поскольку заказы можно рассматривать как небольшие категории, определенные как категории poset с определенной дополнительной структурой.

Формальное определение

Рассмотрим два частично упорядоченных множества п и Q, а функция ж из п к Q. Кроме того, пусть S быть подмножеством п имеющая наименьшую верхнюю границу s. потом ж сохраняет супремум S если набор ж(S) = {ж(Икс) | Икс в S} имеет наименьшую верхнюю границу в Q что равно ж(s), т.е.

ж(Как дела S) = sup ж(S)

Обратите внимание, что это определение состоит из двух требований: верхняя грань множества ж(S) существуют и он равен ж(s). Это соответствует вышеупомянутой аналогии с теорией категорий, но не всегда требуется в литературе. Фактически, в некоторых случаях можно ослабить определение, требуя, чтобы только существующая супрема была равна ж(s). Однако Википедия работает с общим понятием, данным выше, и при необходимости явно указывает другое условие.

Из фундаментального определения, данного выше, можно вывести широкий спектр полезных свойств. Функция ж между позы п и Q Говорят, что он сохраняет конечные, непустые, направленные или произвольные супремумы, если он сохраняет супремы всех конечных, непустых, направленных или произвольных множеств, соответственно. Сохранение непустых конечных супремумов также можно определить тождеством ж(Икс v у) = ж(Икс) v ж(у), удерживая для всех элементов Икс и у, где мы предполагаем, что v - полная функция обоих порядков.

В двойной Кстати, один определяет свойства для сохранения инфимы.

«Противоположное» условие сохранению пределов называется отражением. Рассмотрим функцию ж как указано выше и подмножество S из п, такие, что sup ж(S) существует в Q и равен ж(s) для некоторого элемента s из п. потом ж отражает супремум S если sup S существует и равно s. Как уже было продемонстрировано для сохранения, можно получить много дополнительных свойств, рассматривая определенные классы множеств S и путем дуализации определения до инфимы.

Особые случаи

Некоторые частные случаи или свойства, полученные из приведенной выше схемы, известны под другими названиями или имеют особое значение для некоторых областей теории порядка. Например, функции, сохраняющие пустую верхнюю грань, - это функции, сохраняющие наименьший элемент. Кроме того, из-за мотивации, объясненной ранее, многие функции, сохраняющие предел, появляются как особые гомоморфизмы для определенных порядковых структур. Некоторые другие известные случаи приведены ниже.

Сохранение все пределы

Интересная ситуация возникает, если функция сохраняет все супремы (или инфима). Точнее, это выражается в том, что функция сохраняет все существующий suprema (или infima), и вполне может оказаться, что рассматриваемые множества не являются полными решетками. Например, (монотонный) Связи Галуа есть это свойство. Наоборот, по порядку теоретических Теорема о присоединенном функторе можно гарантировать, что сопоставления, сохраняющие все верхние / нижние границы, являются частью уникального соединения Галуа, если выполняются некоторые дополнительные требования.

Распределительность

А решетка L является распределительный если для всех Икс, у, и z в L, мы нашли

${\displaystyle x\wedge \left(y\vee z\right)=\left(x\wedge y\right)\vee \left(x\wedge z\right)}$

Но это просто говорит о том, что встретить функция ^: L -> L сохраняет двоичную супрему. В теории решеток известно, что это условие равносильно двойственному ему, то есть функции v: L -> L с сохранением двоичной инфимы. Аналогичным образом видно, что закон бесконечной дистрибутивности

${\displaystyle x\wedge \bigvee S=\bigvee \left\{x\wedge s\mid s\in S\right\}}$

из полные алгебры Гейтинга (смотрите также бессмысленная топология ) эквивалентна функции meet ^, сохраняющей произвольную супрему. Это условие, однако, не подразумевает его двойственности.

Скотт-преемственность

Функции, сохраняющие направленные супремы, называются Скотт-непрерывный или иногда просто непрерывный, если это не вызывает путаницы с соответствующим понятием анализ и топология. Подобное использование термина непрерывный о сохранении пределов можно также найти в теории категорий.

Важные свойства и результаты

Приведенное выше определение сохранения предела довольно строгое. В самом деле, каждая функция, которая сохраняет хотя бы верхнюю или нижнюю границу двухэлементных цепочек, то есть наборов из двух сравнимых элементов, обязательно монотонна. Следовательно, все указанные выше специальные свойства сохранения вызывают монотонность.

Основываясь на том факте, что некоторые ограничения могут быть выражены через другие, можно вывести связи между свойствами сохранения. Например, функция ж сохраняет направленную супрему если и только если оно сохраняет супремы всех идеалов. кроме того, отображение ж из чугуна, в котором существует каждая непустая конечная супремум (так называемая суп-полурешетка), сохраняет произвольную супрему тогда и только тогда, когда она сохраняет как направленные, так и конечные (возможно, пустые) супремумы.

Однако неверно, что функция, сохраняющая все супремы, также сохраняла бы все инфиму или наоборот.