Теорема разложения - Decomposition theorem

В математике, особенно алгебраическая геометрия то теорема разложения представляет собой набор результатов о когомологиях алгебраические многообразия.

утверждение

Разложение для гладких собственных отображений

Первый случай теоремы о разложении возникает через жесткая теорема Лефшеца что дает изоморфизмы для гладкого собственного отображения ${\displaystyle f:X\to Y}$ относительного измерения d между двумя проективными разновидностями^[1]

${\displaystyle -\cup \eta ^{i}:R^{d-i}f_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} ).}$

Здесь ${\displaystyle \eta }$ фундаментальный класс сечение гиперплоскости, ${\displaystyle f_{*}}$ это прямое изображение (вперед) и ${\displaystyle R^{n}f_{*}}$ это п-го производный функтор прямого изображения. Этот производный функтор измеряет п-ые когомологии ${\displaystyle f^{-1}(U)}$, за ${\displaystyle U\subset Y}$Фактически, частный случай, когда Y является точкой, составляет изоморфизм

${\displaystyle -\cup \eta ^{i}:H^{d-i}(X,\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}H^{d+i}(X,\mathbb {Q} ).}$

Этот жесткий изоморфизм Лефшеца индуцирует канонические изоморфизмы

${\displaystyle Rf_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}\bigoplus _{i=-d}^{d}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} )[-d-i].}$

Кроме того, пучки ${\displaystyle R^{d+i}f_{*}\mathbb {Q} }$ в этом разложении появляются локальные системы, т.е. локально свободные пучки Q-векторные пространства, к тому же полупростые, т. е. прямая сумма локальных систем без нетривиальных локальных подсистем.

Разложение для правильных карт

Теорема о разложении обобщает этот факт на случай собственного, но не обязательно гладкого отображения ${\displaystyle f:X\to Y}$ между разновидностями. Вкратце, приведенные выше результаты остаются верными, когда понятие локальных систем заменяется на извращенные снопы.

Жесткая теорема Лефшеца, приведенная выше, принимает следующий вид: существует изоморфизм в производная категория пучков на Y:

${\displaystyle {}^{p}H^{-i}(Rf_{*}\mathbb {Q} )\cong {}^{p}H^{+i}(Rf_{*}\mathbb {Q} ),}$

где ${\displaystyle Rf_{*}}$ является полным производным функтором ${\displaystyle f_{*}}$ и ${\displaystyle {}^{p}H^{i}}$ это я-е усечение по извращенный т-структура.

Более того, существует изоморфизм

${\displaystyle Rf_{*}IC_{X}^{\bullet }\cong \bigoplus _{i}{}^{p}H^{i}(Rf_{*}IC_{X}^{\bullet })[-i].}$

где слагаемые являются полупростыми извращенными пучками, что означает, что они являются прямыми суммами прямых пучков когомологий пересечений.

Если Икс не является гладким, то приведенные выше результаты остаются верными, когда ${\displaystyle \mathbb {Q} [\dim X]}$ заменяется когомологии пересечения сложный ${\displaystyle IC}$.

Доказательства

Теорема о разложении была впервые доказана Бейлинсоном, Бернштейном и Делинем.^[2] Их доказательство основано на использовании весов на l-адических пучках в положительной характеристике. Другое доказательство с использованием смешанные модули Ходжа дал Сайто. Более геометрическое доказательство, основанное на понятии полуразрушенные карты был подарен де Катальдо и Мильорини.^[3]

За полуразрушенные карты, теорема разложения также применима к мотивам Чжоу.^[4]

Приложения теоремы о разложении

Когомологии рационального карандаша Лефшеца

Рассмотрим рациональный морфизм ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}}$ из гладкого квазипроективного многообразия, заданного формулой ${\displaystyle [f_{1}(x):f_{2}(x)]}$. Если мы установим исчезающее геометрическое место ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ так как ${\displaystyle Y}$ тогда существует индуцированный морфизм ${\displaystyle {\tilde {X}}=Bl_{Y}(X)\to \mathbb {P} ^{1}}$. Мы можем вычислить когомологии ${\displaystyle X}$ из когомологий пересечения ${\displaystyle Bl_{Y}(X)}$ и вычитая когомологии из раздутия по ${\displaystyle Y}$. Это можно сделать с помощью извращенной спектральной последовательности

${\displaystyle E_{2}^{l,m}=H^{l}(\mathbb {P} ^{1};{}^{\mathfrak {p}}{\mathcal {H}}^{m}(IC_{\tilde {X}}^{\bullet }(\mathbb {Q} ))\Rightarrow IH^{l+m}({\tilde {X}};\mathbb {Q} )\cong H^{l+m}(X;\mathbb {Q} )}$

Рекомендации

1. Делинь, Пьер (1968), "Теорема Лефшеца и критерии вырождения спектральных сюжетов", Publ. Математика. Inst. Hautes Études Sci., 35: 107–126, Дои:10.1007 / BF02698925, Zbl  0159.22501
2. Бейлинсон, Александр А.; Бернштейн, Джозеф; Делинь, Пьер (1982). «Фейсо извращенцы». Astérisque (На французском). Société Mathématique de France, Париж. 100.
3. де Катальдо, Марк Андреа; Мильорини, Лука (2005). «Теория Ходжа алгебраических отображений». Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure). 38 (5): 693–750. arXiv:математика / 0306030. Bibcode:2003математика ...... 6030D. Дои:10.1016 / j.ansens.2005.07.001.
4. де Катальдо, Марк Андреа; Мильорини, Лука (2004), "Мотив Чоу полусложных резолюций", Математика. Res. Lett., 11 (2–3): 151–170, arXiv:математика / 0204067, Дои:10.4310 / MRL.2004.v11.n2.a2, Г-Н  2067464

Обзорные статьи

• де Катальдо, Марк, Извращенные пучки и топология алгебраических многообразий Пять лекций на PCMI 2015 г. (PDF)
• де Катальдо, Марк; Мильджорини, Лука, Теорема о разложении, извращенные пучки и топология алгебраических отображений (PDF)

Педагогические ссылки

• Хотта, Риоши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тошиюки, D-модули, извращенные пучки и теория представлений