Цифровая геометрия - Digital geometry - Wikipedia

Цифровая геометрия имеет дело с дискретный наборы (обычно дискретные точка наборы) считаются оцифрованный модели или же изображений объектов 2D или 3D Евклидово пространство.

Проще говоря, оцифровка заменяет объект дискретным набором его точек. Изображения, которые мы видим на экране телевизора, растр дисплей компьютера, или в газетах на самом деле цифровой изображений.

Его основные области применения: компьютерная графика и анализ изображений.

Основные аспекты обучения:

• Построение цифровых представлений объектов с упором на точность и эффективность (либо посредством синтеза, см., Например, Линейный алгоритм Брезенхема или цифровых дисков, или посредством оцифровки и последующей обработки цифровых изображений).
• Изучение свойств цифровых наборов; см., например, Теорема Пика, цифровая выпуклость, цифровая прямолинейность, или цифровая плоскостность.
• Преобразование оцифрованных представлений объектов, например (A), в упрощенные формы, такие как (i) скелеты, путем повторного удаления простых точек, так что цифровая топология изображения не изменяется, или (ii) медиальная ось, вычисляя локальные максимумы в преобразовании расстояния данного оцифрованного представления объекта, или (B) в измененные формы с использованием математическая морфология.
• Восстановление «реальных» объектов или их свойств (площадь, длина, кривизна, объем, площадь поверхности и т. Д.) Из цифровых изображений.
• Изучение цифровых кривых, цифровых поверхностей и цифровые коллекторы.
• Разработка алгоритмов отслеживания цифровых объектов.
• Функции в цифровом пространстве.
• Набросок кривой, метод рисования кривой по пикселям.

Трассировка кривой на треугольной сетке

Цифровая геометрия сильно перекликается с дискретная геометрия и может рассматриваться как его часть.

Цифровое пространство

Двумерное цифровое пространство обычно означает двумерное сеточное пространство, которое содержит только целые точки в двумерном евклидовом пространстве. 2D-изображение - это функция в 2D-цифровом пространстве (см. обработка изображений ).

В книге Розенфельда и Кака цифровая связь определяется как взаимосвязь между элементами цифрового пространства. Например, 4-связность и 8-связность в 2D. Также см подключение пикселей. Цифровое пространство и его (цифровая) связность определяют цифровая топология.

В цифровом пространстве непрерывная цифровая функция (A. Rosenfeld, 1986) и постепенно менялась функция (L. Chen, 1989) были предложены независимо.

Цифровая непрерывная функция означает функцию, в которой значение (целое число) в цифровой точке совпадает или отличается от своих соседей максимум на 1. Другими словами, если Икс и у две соседние точки в цифровом пространстве, |ж(Икс) − ж(у)| ≤ 1.

Постепенно меняющаяся функция - это функция цифрового пространства. ${\displaystyle \Sigma }$ к ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$ куда ${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}}$ и ${\displaystyle A_{i}}$ настоящие числа. Эта функция обладает следующим свойством: Если Икс и у две соседние точки в ${\displaystyle \Sigma }$, предполагать ${\displaystyle f(x)=A_{i}}$, тогда ${\displaystyle f(y)=A_{i}}$, ${\displaystyle f(x)=A_{i+1}}$, или же ${\displaystyle A_{i-1}}$. Таким образом, мы можем видеть, что постепенно изменяющаяся функция определяется как более общая, чем непрерывная в цифровом виде функция.

Теорема расширения, относящаяся к вышеупомянутым функциям, была упомянута А. Розенфельдом (1986) и завершена Л. Ченом (1989). Эта теорема утверждает: Пусть ${\displaystyle D\subset \Sigma }$ и ${\displaystyle f:D\rightarrow \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$. Необходимое и достаточное условие существования постепенно меняющегося расширения ${\displaystyle F}$ из ${\displaystyle f}$ есть: для каждой пары точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle D}$, предполагать ${\displaystyle f(x)=A_{i}}$ и ${\displaystyle f(y)=A_{j}}$, у нас есть ${\displaystyle |i-j|\leq d(x,y)}$, куда ${\displaystyle d(x,y)}$ это (цифровое) расстояние между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.

Смотрите также

• Вычислительная геометрия
• Цифровая топология
• Дискретная геометрия
• Комбинаторная геометрия
• Томография

Рекомендации

• А. Розенфельд, "Непрерывные" функции на цифровых изображениях, Письма распознавания образов, т.4, п.3, с. 177–184, 1986.
• Л. Чен, Необходимое и достаточное условие и эффективные алгоритмы для постепенно варьируемого заполнения, Chinese Sci. Бык. 35 (10), стр. 870–873, 1990.

дальнейшее чтение

• Розенфельд, Азриэль (1969). Обработка изображений на компьютере. Академическая пресса. ISBN ???.
• Розенфельд, Азриэль (1976). Анализ цифровых изображений. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-07579-8.
• Розенфельд, Азриэль; Как, Авинаш С. (1982). Цифровая обработка изображений. Бостон: Academic Press. ISBN  0-12-597301-2.
• Розенфельд, Азриэль (1979). Языки изображений. Академическая пресса. ISBN  0-12-597340-3.
• Chassery, J .; А. Монтанвер. (1991). Дискретная геометрия и анализ изображений. Гермес. ISBN  2-86601-271-2.
• Конг, Т. Ю. и А. Розенфельд (редакторы) (1996). Топологические алгоритмы обработки цифровых изображений. Эльзевир. ISBN  0-444-89754-2.
• Восс, К. (1993). Дискретные изображения, объекты и функции в Zn. Springer. ISBN  0-387-55943-4.
• Герман, Г. Т. (1998). Геометрия цифровых пространств. Бирхаузер. ISBN  0-8176-3897-0.
• Marchand-Maillet, S .; Ю. М. Шараиха (2000). Двоичная обработка цифровых изображений. Академическая пресса. ISBN  0-12-470505-7.
• Сойл, П. (2003). Морфологический анализ изображений: принципы и приложения. Springer. ISBN  3-540-42988-3.
• Чен, Л. (2004). Дискретные поверхности и многообразия: теория цифрово-дискретной геометрии и топологии. SP Computing. ISBN  0-9755122-1-8.
• Розенфельд, Азриэль; Клетт, Рейнхард (2004). Цифровая геометрия: геометрические методы анализа цифровых изображений (серия Моргана Кауфмана в компьютерной графике). Сан-Диего: Морган Кауфманн. ISBN  1-55860-861-3.
• Чен, Л. (2014). Цифровая и дискретная геометрия: теория и алгоритмы. Springer. ISBN  978-3-319-12099-7.

внешняя ссылка

• Технический комитет IAPR по дискретной геометрии
• Сайт по цифровой геометрии и топологии
• Курс цифровой геометрии и математической морфологии (Ч. Кисельман)
• DGtal: набор инструментов для цифровой геометрии с открытым исходным кодом и библиотека алгоритмов