Аффинное пространство - Affine space

Не путать с аффинити пространство.

В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ верхняя плоскость (синим цветом)${\displaystyle P_{2}}$ не является векторным подпространством, так как ${\displaystyle \mathbf {0} \notin P_{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} \notin P_{2};}$ это аффинное подпространство. Его направление - нижняя (зеленая) плоскость. ${\displaystyle P_{1},}$ которое является векторным подпространством. Несмотря на то что ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ находятся в ${\displaystyle P_{2},}$ их отличие в вектор смещения, который не принадлежит ${\displaystyle P_{2},}$ но принадлежит векторному пространству ${\displaystyle P_{1}.}$

Отрезки на двух-размерный аффинное пространство.

В математика, аффинное пространство это геометрический структура который обобщает некоторые свойства Евклидовы пространства таким образом, что они не зависят от понятий расстояния и меры углов, сохраняя только свойства, связанные с параллелизм и соотношение длин параллельных отрезки линии.

В аффинном пространстве нет выделенной точки, служащей началом координат. Следовательно, ни один вектор не имеет фиксированного начала координат, и никакой вектор не может быть однозначно связан с точкой. В аффинном пространстве вместо векторы смещения, также называемый перевод векторы или просто переводы, между двумя точками пространства.^[1] Таким образом, имеет смысл вычесть две точки пространства, задав вектор сдвига, но не имеет смысла складывать две точки пространства. Точно так же имеет смысл добавить вектор смещения к точке аффинного пространства, в результате чего новая точка будет перемещена из начальной точки этим вектором.

Любой векторное пространство можно рассматривать как аффинное пространство; это означает забвение особой роли, которую играет нулевой вектор. В этом случае элементы векторного пространства можно рассматривать либо как точки аффинного пространства или как векторы смещения или же переводы. Если рассматривать его как точку, нулевой вектор называется источник. Добавление фиксированного вектора к элементам линейное подпространство из векторное пространство производит аффинное подпространство. Обычно говорят, что это аффинное подпространство было получено путем сдвига (от начала координат) линейного подпространства на вектор переноса. В конечных размерах такая аффинное подпространство является набором решений неоднородный линейная система. Векторы смещения для этого аффинного пространства являются решениями соответствующих однородный линейная система, которая является линейным подпространством. Напротив, линейные подпространства всегда содержат начало векторного пространства.

В измерение аффинного пространства определяется как размерность векторного пространства его переводов. Аффинное пространство размерности один - это аффинная линия. Аффинное пространство размерности 2 - это аффинная плоскость. Аффинное подпространство размерности п – 1 в аффинном пространстве или векторном пространстве размерности п является аффинная гиперплоскость.

Неформальное описание

Происхождение с точки зрения Алисы и Боба. Вычисление вектора с точки зрения Алисы выделено красным, а вычисление Боба - синим.

Следующее характеристика может быть проще для понимания, чем обычное формальное определение: аффинное пространство - это то, что осталось от векторное пространство после того, как вы забыли, какая точка является источником (или, говоря словами французского математика Марсель Бергер, "Аффинное пространство - это не что иное, как векторное пространство, происхождение которого мы пытаемся забыть, добавляя переводы к линейным картам "^[2]). Представьте, что Алиса знает, что определенная точка является фактическим началом, но Боб считает, что другая точка - назовите это п- это происхождение. Два вектора, а и б, будут добавлены. Боб рисует стрелку из точки п В точку а и еще одна стрелка из точки п В точку б, и завершает параллелограмм, чтобы найти то, что Боб считает а + б, но Алиса знает, что он действительно вычислил

п + (а − п) + (б − п).

По аналогии, Алиса и Боб может оценить любой линейная комбинация из а и б, или любого конечного набора векторов, и обычно будут получать разные ответы. Однако, если сумма коэффициентов линейной комбинации равна 1, то Алиса и Боб придут к одному и тому же ответу.

Если Алиса поедет в

λа + (1 - λ)б

то Боб может аналогичным образом отправиться в

п + λ (а − п) + (1 - λ) (б − п) = λа + (1 - λ)б.

При этом условии для всех коэффициентов λ + (1 - λ) = 1, Алиса и Боб описывают одну и ту же точку одной и той же линейной комбинацией, несмотря на то, что они используют разные начала.

Хотя только Алиса знает «линейную структуру», Алиса и Боб знают «аффинную структуру», т.е. ценности аффинные комбинации, определяемые как линейные комбинации, в которых сумма коэффициентов равна 1. Множество с аффинной структурой является аффинным пространством.

Определение

An аффинное пространство это набор А вместе с векторное пространство ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$, а переходный и свободный действие из аддитивная группа из ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ на съемочной площадке А.^[3] Элементы аффинного пространства А называются точки. Векторное пространство ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ как говорят связанный в аффинное пространство, а его элементы называются векторов, переводы, а иногда бесплатные векторы.

В явном виде приведенное выше определение означает, что действие является отображением, обычно обозначаемым как добавление,

${\displaystyle {\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a+v,\end{aligned}}}$

который имеет следующие свойства.^[4][5][6]

1. Правильная личность:

   ${\displaystyle \forall a\in A,\;a+0=a}$, куда 0 нулевой вектор в ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

2. Ассоциативность:

   ${\displaystyle \forall v,w\in {\overrightarrow {A}},\forall a\in A,\;(a+v)+w=a+(v+w)}$ (здесь последний + добавление в ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$)

3. Свободное и переходное действие:

   Для каждого ${\displaystyle a\in A}$отображение ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}\to A\colon v\mapsto a+v}$ это биекция.

Первые два свойства просто определяют свойства действия (справа) группы. Третье свойство характеризует свободные и транзитивные действия, при этом характерный характер возникает из транзитивности, а инъективный характер следует из того, что действие является свободным. Есть четвертое свойство, которое следует из пунктов 1, 2 выше:

4. Существование один на один переводы

Для всех ${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$отображение ${\displaystyle A\to A\colon a\mapsto a+v}$ это биекция.

Свойство 3 часто используется в следующей эквивалентной форме.

5. Вычитание:

Для каждого а, б в А, существует единственный ${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$, обозначенный б – а, так что ${\displaystyle b=a+v}$.

Другой способ выразить определение: аффинное пространство - это главное однородное пространство для действия аддитивной группы векторного пространства. Однородные пространства по определению наделены транзитивным действием группы, а для главного однородного пространства такое транзитивное действие по определению является свободным.

Вычитание и аксиомы Вейля

Свойства группового действия позволяют определить вычитание для любой заданной упорядоченной пары. (б, а) очков в А, производя вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$. Этот вектор, обозначенный ${\displaystyle b-a}$ или же ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$, определяется как единственный вектор в ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ такой, что

${\displaystyle a+(b-a)=b.}$

Существование следует из транзитивности действия, а уникальность следует из того, что действие свободно.

Это вычитание имеет два следующих свойства, называемых Weyl аксиомы:^[7]

1. ${\displaystyle \forall a\in A,\;\forall v\in {\overrightarrow {A}}}$, есть уникальная точка ${\displaystyle b\in A}$ такой, что ${\displaystyle b-a=v.}$
2. ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,\;(c-b)+(b-a)=c-a.}$

В Евклидова геометрия, вторую аксиому Вейля принято называть правило параллелограмма.

Аффинные пространства можно эквивалентно определить как набор точек Авместе с векторным пространством ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$, и вычитание, удовлетворяющее аксиомам Вейля. В этом случае добавление вектора к точке определяется из первых аксиом Вейля.

Аффинные подпространства и параллелизм

An аффинное подпространство (в некоторых контекстах также называется линейное разнообразие, а плоский, или через действительные числа, а линейное многообразие) B аффинного пространства А это подмножество А так что, учитывая точку ${\displaystyle a\in B}$, множество векторов ${\displaystyle {\overrightarrow {B}}=\{b-a\mid b\in B\}}$ это линейное подпространство из ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$. Это свойство, не зависящее от выбора а, следует, что B является аффинным пространством, в котором ${\displaystyle {\overrightarrow {B}}}$ как связанное с ним векторное пространство.

Аффинные подпространства А являются подмножествами А формы

${\displaystyle a+V=\{a+w:w\in V\},}$

куда а это точка А, и V линейное подпространство ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$.

Линейное подпространство, связанное с аффинным подпространством, часто называют его направление, а два подпространства, разделяющие одно направление, называются параллельно.

Отсюда следует следующее обобщение Аксиома Playfair: Задано направление V, для любой точки а из А есть одно и только одно аффинное подпространство направления V, который проходит через а, а именно подпространство а + V.

Каждый перевод ${\displaystyle A\to A:a\mapsto a+v}$ отображает любое аффинное подпространство в параллельное подпространство.

Период, термин параллельно также используется для двух аффинных подпространств, так что направление одного включено в направление другого.

Аффинная карта

Учитывая два аффинных пространства А и B чьи ассоциированные векторные пространства ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {B}}}$, аффинная карта или же аффинный гомоморфизм из А к B это карта

${\displaystyle f:A\to B}$

такой, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\b-a&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}}$

является корректно определенным линейным отображением. К ${\displaystyle f}$ быть четко определенным означает, что б – а = d – c подразумевает ж(б) – ж(а) = ж(d) – ж(c).

Это означает, что для точки ${\displaystyle a\in A}$ и вектор ${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$, надо

${\displaystyle f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).}$

Следовательно, поскольку для любого данного б в А, б = а + v для уникального v, ж полностью определяется своим значением в одной точке и связанной линейной картой ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$.

Векторные пространства как аффинные пространства

Каждое векторное пространство V можно рассматривать как аффинное пространство над собой. Это означает, что каждый элемент V может рассматриваться либо как точка, либо как вектор. Это аффинное пространство иногда обозначают (V, V) для подчеркивания двойной роли элементов V. Если рассматривать как точку, нулевой вектор обычно обозначается о (или же О, когда точки используются заглавными буквами) и называется источник.

Если А другое аффинное пространство над тем же векторным пространством (то есть ${\displaystyle V={\overrightarrow {A}}}$) выбор любой точки а в А определяет единственный аффинный изоморфизм, который является тождеством V и карты а к о. Другими словами, выбор происхождения а в А позволяет нам идентифицировать А и (V, V) вплоть до а канонический изоморфизм. Аналог этого свойства состоит в том, что аффинное пространство А можно отождествить с векторным пространством V в котором «забыто место происхождения».

Связь с евклидовыми пространствами

Определение евклидовых пространств

Евклидовы пространства (включая одномерную линию, двумерную плоскость и трехмерное пространство, обычно изучаемые в элементарной геометрии, а также многомерные аналоги) являются аффинными пространствами.

Действительно, в большинстве современных определений евклидово пространство определяется как аффинное пространство, такое, что соответствующее векторное пространство является действительным внутреннее пространство продукта конечной размерности, то есть векторное пространство над вещественными числами с положительно определенная квадратичная форма q(Икс). Внутреннее произведение двух векторов Икс и у стоимость симметричная билинейная форма

${\displaystyle x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).}$

Обычный Евклидово расстояние между двумя точками А и B является

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {q(B-A)}}.}$

В более старом определении евклидовых пространств через синтетическая геометрия, векторы определяются как классы эквивалентности из заказанные пары пунктов под равноправие (пары (А, B) и (C, D) находятся равноценный если точки А, B, D, C (в этом порядке) образуют параллелограмм ). Несложно проверить, что векторы образуют векторное пространство, квадрат Евклидово расстояние является квадратичной формой на пространстве векторов, и два определения евклидовых пространств эквивалентны.

Аффинные свойства

В Евклидова геометрия, общая фраза "аффинное свойство"относится к свойству, которое может быть доказано в аффинных пространствах, то есть может быть доказано без использования квадратичной формы и связанного с ней внутреннего произведения. Другими словами, аффинное свойство - это свойство, которое не включает длины и углы. Типичный примеры параллелизм, а определение касательная. Не примером является определение нормальный.

Эквивалентно, аффинное свойство - это свойство, инвариантное относительно аффинные преобразования евклидова пространства.

Аффинные комбинации и барицентр

Позволять а₁, ..., а_п быть собранием п точки в аффинном пространстве, и ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ быть п элементы наземное поле.

Предположим, что ${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0}$. Для любых двух точек о и о ' надо

${\displaystyle \lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.}$

Таким образом, эта сумма не зависит от выбора начала координат, и результирующий вектор можно обозначить

${\displaystyle \lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.}$

Когда ${\displaystyle n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1}$, извлекается определение вычитания точек.

Теперь предположим, что вместо этого поле элементы удовлетворяют ${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1}$. Для выбора происхождения о, обозначим через ${\displaystyle g}$ единственная точка такая, что

${\displaystyle \lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.}$

Можно показать, что ${\displaystyle g}$ не зависит от выбора о. Следовательно, если

${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,}$

можно написать

${\displaystyle g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.}$

Смысл ${\displaystyle g}$ называется барицентр из ${\displaystyle a_{i}}$ для весов ${\displaystyle \lambda _{i}}$. Говорят также, что ${\displaystyle g}$ является аффинная комбинация из ${\displaystyle a_{i}}$ с коэффициентами ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

Примеры

• Когда дети находят ответы на такие суммы, как 4 + 3 или же 4 − 2 считая вправо или влево на числовая строка, они рассматривают числовую прямую как одномерное аффинное пространство.
• Любой смежный подпространства V векторного пространства является аффинным пространством над этим подпространством.
• Если Т это матрица и б лежит в его пространство столбца, множество решений уравнения ТИкс = б является аффинным пространством над подпространством решений ТИкс = 0.
• Решения неоднородного линейного дифференциального уравнения образуют аффинное пространство над решениями соответствующего однородного линейного уравнения.
• Обобщая все вышесказанное, если Т : V → W является линейным отображением и у лежит в его образе, множество решений Икс ∈ V к уравнению ТИкс = у является смежным классом ядра Т, а потому является аффинным пространством над KerТ .
• Пространство (линейных) дополнительных подпространств векторного подпространства V в векторном пространстве W аффинное пространство над Hom (W/V, V). То есть, если 0 → V → W → Икс → 0 это короткая точная последовательность векторных пространств, то пространство всех расщепления точной последовательности естественным образом переносит структуру аффинного пространства над Hom (Икс, V).

Аффинный промежуток и основания

Для любого подмножества Икс аффинного пространства А, существует наименьшее аффинное подпространство, которое его содержит, называемое аффинный промежуток из Икс. Это пересечение всех аффинных подпространств, содержащих Икс, а его направление - это пересечение направлений аффинных подпространств, содержащих Икс.

Аффинный промежуток Икс - множество всех (конечных) аффинных комбинаций точек Икс, а его направление - линейный пролет из Икс − у за Икс и у в Икс. Если выбрать конкретную точку Икс₀, направление аффинной оболочки Икс также является линейной оболочкой Икс – Икс₀ за Икс в Икс.

Говорят также, что аффинный промежуток Икс является генерируется к Икс и это Икс это генераторная установка его аффинной длины.

Множество Икс точек аффинного пространства называется аффинно независимый или просто независимый, если аффинная оболочка любого строгое подмножество из Икс является строгим подмножеством аффинной оболочки Икс. An аффинный базис или же барицентрическая рамка (видеть § Барицентрические координаты, ниже) аффинного пространства - это порождающее множество, которое также является независимым (то есть минимальное порождающее множество).

Напомним измерение аффинного пространства - это размерность связанного с ним векторного пространства. Базы аффинного пространства конечной размерности п независимые подмножества п + 1 элементов, или, что то же самое, порождающих подмножеств п + 1 элементы. Эквивалентно, {Икс₀, ..., Икс_п} является аффинным базисом аффинного пространства тогда и только тогда, когда {Икс₁ − Икс₀, ..., Икс_п − Икс₀} это линейный базис связанного векторного пространства.

Координаты

Есть два сильно связанных вида системы координат который может быть определен на аффинных пространствах.

Барицентрические координаты

Позволять А быть аффинным пространством размерности п через поле k, и ${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$ быть аффинным базисом А. Из свойств аффинного базиса следует, что для каждого Икс в А есть уникальный (п + 1)-кортеж ${\displaystyle (\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})}$ элементов k такой, что

${\displaystyle \lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1}$

и

${\displaystyle x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.}$

В ${\displaystyle \lambda _{i}}$ называются барицентрические координаты из Икс по аффинному базису ${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$. Если Икс_я рассматриваются как тела, которые имеют вес (или массу) ${\displaystyle \lambda _{i}}$, смысл Икс таким образом барицентр из Икс_я, и это объясняет происхождение термина барицентрические координаты.

Барицентрические координаты определяют аффинный изоморфизм аффинного пространства А и аффинное подпространство k^{п + 1} определяется уравнением ${\displaystyle \lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1}$.

Для аффинных пространств бесконечной размерности применяется то же определение, но с использованием только конечных сумм. Это означает, что для каждой точки только конечное число координат отличны от нуля.

Аффинные координаты

An аффинная рамка аффинного пространства состоит из точки, называемой источник, а линейный базис связанного векторного пространства. Точнее, для аффинного пространства А с ассоциированным векторным пространством ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$, Происхождение о принадлежит А, а линейный базис - базис (v₁, ..., v_п) из ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ (для простоты обозначений мы рассматриваем только случай конечной размерности, общий случай аналогичен).

Для каждой точки п из А, существует уникальная последовательность ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ элементов основного поля таких, что

${\displaystyle p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},}$

или эквивалентно

${\displaystyle {\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.}$

В ${\displaystyle \lambda _{i}}$ называются аффинные координаты из п над аффинной рамкой (о, v₁, ..., v_п).

Пример: В Евклидова геометрия, Декартовы координаты являются аффинными координатами относительно ортонормированный каркас, то есть аффинный фрейм (о, v₁, ..., v_п) такой, что (v₁, ..., v_п) является ортонормированный базис.

Связь барицентрических и аффинных координат

Барицентрические координаты и аффинные координаты сильно связаны и могут рассматриваться как эквивалентные.

Фактически, учитывая барицентрическую систему отсчета

${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n}),}$

немедленно выводится аффинный фрейм

${\displaystyle (x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),}$

и если

${\displaystyle \left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)}$

являются барицентрическими координатами точки над барицентрической системой отсчета, то аффинные координаты той же точки над аффинной системой отсчета равны

${\displaystyle \left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).}$

Наоборот, если

${\displaystyle \left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)}$

является аффинным фреймом, то

${\displaystyle \left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)}$

- барицентрический каркас. Если

${\displaystyle \left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)}$

являются аффинными координатами точки над аффинной системой отсчета, то ее барицентрические координаты над барицентрической системой отсчета равны

${\displaystyle \left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).}$

Следовательно, барицентрические и аффинные координаты почти эквивалентны. В большинстве приложений предпочтительны аффинные координаты, поскольку они содержат меньше независимых координат. Однако в ситуациях, когда важные моменты изучаемой проблемы не зависят от аффинности, барицентрические координаты могут привести к более простым вычислениям, как в следующем примере.

Пример треугольника

Вершины неплоского треугольник образуют аффинную основу Евклидова плоскость. Барицентрические координаты позволяют легко характеризовать элементы треугольника без учета углов или расстояния:

Вершины - это точки барицентрических координат (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Линии, поддерживающие ребра, - это точки с нулевой координатой. Сами ребра - это точки, которые имеют нулевую координату и две неотрицательные координаты. Внутри треугольника находятся точки, все координаты которых положительны. В медианы - точки с двумя равными координатами, а центроид точка координат (1/3, 1/3, 1/3).

Смена координат

Случай аффинных координат

Случай барицентрических координат

Свойства аффинных гомоморфизмов

Матричное представление

Изображение и волокна

Позволять

${\displaystyle f\colon E\to F}$

- аффинный гомоморфизм, причем

${\displaystyle {\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}}$

как связанную линейную карту.

В изображение из ж аффинное подпространство ж(E) из F, у которого есть ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}\left({\overrightarrow {E}}\right)}$ как связанное векторное пространство. Поскольку аффинное пространство не имеет нулевой элемент, аффинный гомоморфизм не имеет ядро. Однако для любой точки Икс из ж(E), то обратное изображение ж^–1(Икс) из Икс является аффинным подпространством в E, направления ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}^{-1}\left({\overrightarrow {F}}\right)}$. Это аффинное подпространство называется волокно из Икс.

Проекция

Смотрите также: Проекция (математика)

Важным примером является проекция, параллельная некоторому направлению, на аффинное подпространство. Важность этого примера заключается в том, что Евклидовы пространства являются аффинными пространствами, и что такого рода проекции фундаментальны в Евклидова геометрия.

Точнее, учитывая аффинное пространство E с ассоциированным векторным пространством ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$, позволять F - аффинное подпространство направления ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$, и D быть дополнительное подпространство из ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ в ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ (это означает, что каждый вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ может быть разложен уникальным образом как сумма элементов ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ и элемент D). За каждую точку Икс из E, это проекция к F параллельно D это единственная точка п(Икс) в F такой, что

${\displaystyle p(x)-x\in D.}$

Это аффинный гомоморфизм, связанное с ним линейное отображение ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ определяется

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y),}$

за Икс и у в E.

Изображение этой проекции F, а его слои - подпространства направления D.

Факторное пространство

Хотя ядра для аффинных пространств не определены, факторпространства определены. Это следует из того факта, что «принадлежность к одному слою аффинного гомоморфизма» является отношением эквивалентности.

Позволять E быть аффинным пространством, и D быть линейное подпространство связанного векторного пространства ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$. В частное E/D из E к D это частное из E посредством отношение эквивалентности

${\displaystyle x-y\in D.}$

Это фактор - аффинное пространство, в котором ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}/D}$ как связанное векторное пространство.

Для всякого аффинного гомоморфизма ${\displaystyle E\to F}$, образ изоморфен частному E ядром соответствующего линейного отображения. Это первая теорема об изоморфизме для аффинных пространств.

Аффинное преобразование

Основные статьи: Аффинное преобразование и Аффинная группа

Аксиомы

Аффинное пространство обычно изучается как аналитическая геометрия с использованием координат или, что эквивалентно, векторных пространств. Его также можно изучить как синтетическая геометрия записывая аксиомы, хотя этот подход встречается гораздо реже. Существует несколько различных систем аксиом для аффинного пространства.

Кокстер (1969), п. 192) axiomatizes (аксиоматизирует) аффинная геометрия (над реалами) как упорядоченная геометрия вместе с аффинной формой Теорема дезарга и аксиома, утверждающая, что на плоскости есть не более одной прямой, проходящей через данную точку, не пересекающуюся с данной линией.

Аффинные плоскости удовлетворяют следующим аксиомам (Кэмерон 1991, глава 2) :( в котором две прямые называются параллельными, если они равны или не пересекаются):

• Любые две различные точки лежат на единственной прямой.
• Для данной точки и линии существует уникальная линия, которая содержит точку и параллельна прямой.
• Существуют три неколлинеарные точки.

А также аффинные плоскости над полями (или делительные кольца ), также много недезарговские планы удовлетворяющие этим аксиомам. (Кэмерон 1991, глава 3) дает аксиомы для многомерных аффинных пространств.

Отношение к проективным пространствам

Аффинное пространство - это подпространство проективного пространства, которое, в свою очередь, является фактором векторного пространства по отношению эквивалентности (а не по линейному подпространству)

Аффинные пространства - это подпространства проективные пространства: аффинная плоскость может быть получена из любого проективная плоскость удалив прямую и все точки на ней, и, наоборот, любую аффинную плоскость можно использовать для построения проективной плоскости как закрытие добавив линия на бесконечности чьи точки соответствуют классам эквивалентности параллельные линии.

Далее, преобразования проективного пространства, сохраняющие аффинное пространство (эквивалентно оставляющие гиперплоскость в бесконечности инвариантен как множество ) дают преобразования аффинного пространства. Наоборот, любое аффинное линейное преобразование однозначно продолжается до проективного линейного преобразования, поэтому аффинная группа это подгруппа из проективная группа. Например, Преобразования Мебиуса (преобразования комплексной проективной прямой, или Сфера Римана ) являются аффинными (преобразованиями комплексной плоскости) тогда и только тогда, когда они фиксируют точка в бесконечности.

Аффинная алгебраическая геометрия

В алгебраическая геометрия, аффинное разнообразие (или, в более общем смысле, аффинное алгебраическое множество ) определяется как подмножество аффинного пространства, которое является множеством общих нулей множества так называемых полиномиальные функции над аффинным пространством. Для определения полиномиальная функция над аффинным пространством, нужно выбрать аффинная рамка. Тогда полиномиальная функция - это такая функция, что изображение любой точки является значением некоторой многомерной полиномиальная функция координат точки. Поскольку изменение аффинных координат может быть выражено как линейные функции (точнее, аффинные функции) координат, это определение не зависит от конкретного выбора координат.

Выбор системы аффинных координат для аффинного пространства ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ измерения п через поле k индуцирует аффинный изоморфизм между ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ и аффинный координатное пространство k^п. Это объясняет, почему для упрощения многие учебники пишут ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}}$, и введем аффинные алгебраические многообразия как общие нули полиномиальных функций над k^п.^[8]

Поскольку все аффинное пространство - это множество общих нулей нулевой многочлен, аффинные пространства суть аффинные алгебраические многообразия.

Кольцо полиномиальных функций

По определению выше выбор аффинного каркаса аффинного пространства ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ позволяет идентифицировать полиномиальные функции на ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ с многочленами от п переменные, япеременная th, представляющая функцию, которая отображает точку в ее я-я координата. Отсюда следует, что множество полиномиальных функций над ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ это k-алгебра, обозначенный ${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$, который изоморфен кольцо многочленов ${\displaystyle k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$.

При изменении координат изоморфизм между ${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$ и ${\displaystyle k[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ соответственно изменяется, и это индуцирует автоморфизм ${\displaystyle k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$, который отображает каждую неопределенность в полином первой степени. Отсюда следует, что общая степень определяет фильтрация из ${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$, который не зависит от выбора координат. Общая степень определяет также выпускной, но это зависит от выбора координат, поскольку изменение аффинных координат может отображать неопределенные на не-однородные многочлены.

Топология Зарисского

Смотрите также: Топология Зарисского

Аффинные пространства над топологические поля, например, действительные или комплексные числа, имеют натуральный топология. Топология Зарисского, определенная для аффинных пространств над любым полем, в любом случае позволяет использовать топологические методы. Топология Зарисского - это единственная топология аффинного пространства, закрытые наборы находятся аффинные алгебраические множества (то есть множества общих нулей функций многочленов над аффинным множеством). Поскольку над топологическим полем полиномиальные функции непрерывны, каждое замкнутое множество Зарисского замкнуто для обычной топологии, если таковая имеется. Другими словами, над топологическим полем топология Зарисского грубее чем естественная топология.

Существует естественная инъективная функция из аффинного пространства в множество главные идеалы (это спектр ) своего кольца полиномиальных функций. Когда выбраны аффинные координаты, эта функция отображает точку с координатами ${\displaystyle \left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$ к максимальный идеал ${\displaystyle \left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle }$. Эта функция гомеоморфизм (для топологии Зарисского аффинного пространства и спектра кольца полиномиальных функций) аффинного пространства на образ функции.

Случай с алгебраически замкнутое основное поле особенно важен в алгебраической геометрии, потому что в этом случае указанный выше гомеоморфизм является отображением между аффинным пространством и множеством всех максимальных идеалов кольца функций (это Nullstellensatz Гильберта ).

Это исходная идея теория схем из Гротендик, который состоит при изучении алгебраических многообразий в рассмотрении в качестве «точек» не только точек аффинного пространства, но и всех первичных идеалов спектра. Это позволяет склеивать алгебраические многообразия аналогично тому, как коллекторы, диаграммы склеены для сборки коллектора.

Когомологии

Как и все аффинные разновидности, локальные данные в аффинном пространстве всегда можно объединить глобально: когомология аффинного пространства тривиально. Точнее, ${\displaystyle H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0}$ для всех когерентных пучков F, и целые числа ${\displaystyle i>0}$. Этим свойством пользуются и все другие аффинные разновидности. Но также все этальные когомологии группы на аффинном пространстве тривиальны. В частности, каждый линейный пакет тривиально. В более общем плане Теорема Квиллена – Суслина подразумевает, что каждый алгебраический векторный набор над аффинным пространством тривиально.

Смотрите также

• Аффинная оболочка - Наименьшее аффинное подпространство, содержащее подмножество
• Сложное аффинное пространство - Аффинное пространство над комплексными числами
• Экзотическое аффинное пространство - Реальное аффинное пространство четной размерности, не изоморфное сложному аффинному пространству
• Космос (математика) - Математический набор с добавленной структурой

Примечания

1. Слово перевод обычно предпочитают вектор смещения, что может сбивать с толку, так как смещения включить также вращения.
2. Бергер 1987, п. 32
3. Бергер, Марсель (1984), "Аффинные пространства", Задачи по геометрии, п. 11, ISBN  9780387909714
4. Бергер 1987, п. 33
5. Снаппер, Эрнст; Тройер, Роберт Дж. (1989), Метрическая аффинная геометрия, п. 6
6. Tarrida, Agusti R. (2011), "Аффинные пространства", Аффинные карты, евклидовы движения и квадрики, стр. 1–2, ISBN  9780857297105
7. Номидзу и Сасаки 1994, п. 7
8. Хартсхорн 1977, Гл. I, § 1.

Рекомендации

• Бергер, Марсель (1984), "Аффинные пространства", Задачи по геометрии, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90971-4
• Бергер, Марсель (1987), Геометрия I, Берлин: Springer, ISBN  3-540-11658-3
• Кэмерон, Питер Дж. (1991), Проективные и полярные пространства, QMW Maths Notes, 13, Лондон: Школа математических наук колледжа Королевы Марии и Вестфилда, МИСТЕР  1153019
• Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-50458-0, МИСТЕР  0123930
• Долгачев, И.; Широков, А.П. (2001) [1994], «Аффинное пространство», Энциклопедия математики, EMS Press
• Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90244-9. Zbl  0367.14001.
• Nomizu, K .; Сасаки, С. (1994), Аффинная дифференциальная геометрия (Новая редакция), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-44177-3
• Снаппер, Эрнст; Тройер, Роберт Дж. (1989), Метрическая аффинная геометрия (Дуврское издание, впервые опубликовано в 1989 г.), Dover Publications, ISBN  0-486-66108-3
• Tarrida, Agusti R. (2011), "Аффинные пространства", Аффинные карты, евклидовы движения и квадрики, Спрингер, ISBN  978-0-85729-709-9