Элементарная алгебра - Elementary algebra

${displaystyle {overset {}{underset {}{x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}}$

В квадратичная формула, которое является решением квадратное уровненеие ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ куда ${displaystyle aeq 0}$. Здесь символы а, б, в представляют произвольные числа, и Икс - переменная, представляющая решение уравнения.

Двумерный график (красная кривая) алгебраического уравнения ${displaystyle y=x^{2}-x-2}$

Элементарная алгебра охватывает некоторые из основных концепций алгебра, одно из основных направлений математика. Обычно его учат Средняя школа студентов и основывается на их понимании арифметика. В то время как арифметика имеет дело с указанными числами,^[1] алгебра вводит величины без фиксированных значений, известные как переменные.^[2] Такое использование переменных влечет за собой использование алгебраических обозначений и понимание общих правил операторы введено в арифметику. В отличие от абстрактная алгебра, элементарная алгебра не занимается алгебраические структуры вне царства настоящий и сложные числа.

Использование переменных для обозначения количеств позволяет формально и лаконично выразить общие отношения между величинами и, таким образом, позволяет решать более широкий круг проблем. Многие количественные соотношения в науке и математике выражаются как алгебраические уравнения.

Алгебраические обозначения

Основная статья: Математические обозначения

Алгебраическая нотация описывает правила и соглашения для написания математические выражения, а также терминология, используемая для обозначения частей выражений. Например, выражение ${displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$ имеет следующие компоненты:

1. Экспонента (мощность),
2. Коэффициент,
3. срок,
4. оператор,
5. постоянный, х, у : переменные

А коэффициент числовое значение или буква, представляющая числовую константу, которая умножает переменную (оператор опускается). А срок является добавление или слагаемое, группа коэффициентов, переменных, констант и показателей, которые могут быть отделены от других членов операторами плюс и минус.^[3] Буквы обозначают переменные и константы. По соглашению буквы в начале алфавита (например, ${displaystyle a,b,c}$) обычно используются для представления константы, и те, что ближе к концу алфавита (например, ${displaystyle x,y}$ и z) используются для представления переменные.^[4] Обычно они пишутся курсивом.^[5]

Алгебраические операции работать так же, как арифметические операции,^[6] Такие как добавление, вычитание, умножение, разделение и возведение в степень.^[7] и применяются к алгебраическим переменным и термам. Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда нет пробела между двумя переменными или членами, или когда коэффициент используется. Например, ${displaystyle 3 imes x^{2}}$ записывается как ${displaystyle 3x^{2}}$, и ${displaystyle 2 imes x imes y}$ может быть написано ${displaystyle 2xy}$.^[8]

Обычно члены с наибольшей мощностью (показатель степени ), написаны слева, например, ${displaystyle x^{2}}$ написано слева от Икс. Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например, ${displaystyle 1x^{2}}$ написано ${displaystyle x^{2}}$).^[9] Аналогично, когда показатель степени (степень) равен единице (например, ${displaystyle 3x^{1}}$ написано ${displaystyle 3x}$).^[10] Когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например, ${displaystyle x^{0}}$ всегда переписывается на 1).^[11] тем не мение ${displaystyle 0^{0}}$, будучи неопределенным, не должны появляться в выражении, и следует проявлять осторожность при упрощении выражений, в которых переменные могут появляться в показателях степени.

Альтернативная нотация

Другие типы обозначений используются в алгебраических выражениях, когда требуемое форматирование недоступно или не может подразумеваться, например, когда доступны только буквы и символы. В качестве иллюстрации этого, в то время как экспоненты обычно форматируются с использованием надстрочных индексов, например, ${displaystyle x^{2}}$, в простой текст, а в TeX язык разметки, каретка символ "^" представляет возведение в степень, поэтому ${displaystyle x^{2}}$ записывается как «x ^ 2».^[12][13], а также некоторые языки программирования, такие как Lua. В языках программирования, таких как Ада,^[14] Фортран,^[15] Perl,^[16] Python ^[17] и Рубин,^[18] используется двойная звездочка, поэтому ${displaystyle x^{2}}$ записывается как «х ** 2». Многие языки программирования и калькуляторы используют одну звездочку для обозначения символа умножения,^[19] и он должен использоваться явно, например, ${displaystyle 3x}$ пишется «3 * х».

Концепции

Переменные

Пример переменных, показывающих взаимосвязь между диаметром круга и его длиной. Для любого круг, это длина окружности c, разделенное на диаметр d, равна постоянной число Пи, ${displaystyle pi }$ (приблизительно 3,14).

Основная статья: Переменная (математика)

Элементарная алгебра основывается на арифметике и расширяет ее^[20] путем введения букв, называемых переменными, для представления общих (неуказанных) чисел. Это полезно по нескольким причинам.

1. Переменные могут представлять числа, значения которых еще не известны.. Например, если температура текущего дня, C, на 20 градусов выше, чем температура предыдущего дня, P, тогда проблема может быть описана алгебраически как ${displaystyle C=P+20}$.^[21]
2. Переменные позволяют описывать Общее проблемы,^[22] без указания значений задействованных количеств. Например, можно конкретно указать, что 5 минут эквивалентны ${displaystyle 60 imes 5=300}$ секунд. В более общем (алгебраическом) описании может быть указано, что количество секунд, ${displaystyle s=60 imes m}$, где m - количество минут.
3. Переменные позволяют описывать математические отношения между величинами, которые могут варьироваться.^[23] Например, отношение между окружностью, c, и диаметр, d, круга описывается ${displaystyle pi =c/d}$.
4. Переменные позволяют описывать некоторые математические свойства. Например, основным свойством сложения является коммутативность в котором говорится, что порядок сложения чисел не имеет значения. Коммутативность алгебраически формулируется как ${displaystyle (a+b)=(b+a)}$.^[24]

Упрощение выражений

Основные статьи: Выражение (математика) и Компьютерная алгебра § Упрощение

Алгебраические выражения могут быть вычислены и упрощены на основе основных свойств арифметических операций (добавление, вычитание, умножение, разделение и возведение в степень ). Например,

• Добавленные термины упрощаются с помощью коэффициентов. Например, ${displaystyle x+x+x}$ можно упростить как ${displaystyle 3x}$ (где 3 - числовой коэффициент).
• Умноженные члены упрощаются с помощью экспонент. Например, ${displaystyle x imes x imes x}$ представлен как ${displaystyle x^{3}}$
• Как термины складываются вместе,^[25] Например, ${displaystyle 2x^{2}+3ab-x^{2}+ab}$ записывается как ${displaystyle x^{2}+4ab}$, потому что термины, содержащие ${displaystyle x^{2}}$ складываются вместе, и термины, содержащие ${displaystyle ab}$ складываются вместе.
• Скобки можно «умножить», используя распределительная собственность. Например, ${displaystyle x(2x+3)}$ можно записать как ${displaystyle (x imes 2x)+(x imes 3)}$ который можно записать как ${displaystyle 2x^{2}+3x}$
• Выражения можно факторизовать. Например, ${displaystyle 6x^{5}+3x^{2}}$, разделив оба члена на ${displaystyle 3x^{2}}$ можно записать как ${displaystyle 3x^{2}(2x^{3}+1)}$

Уравнения

Анимация, иллюстрирующая Правило Пифагора для прямоугольного треугольника, который показывает алгебраическую связь между гипотенузой треугольника и двумя другими сторонами.

Основная статья: Уравнение

Уравнение утверждает, что два выражения равны, используя символ равенства = ( знак равенства ).^[26] Одно из самых известных уравнений описывает закон Пифагора относительно длины сторон прямой угол треугольник:^[27]

${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Это уравнение утверждает, что ${displaystyle c^{2}}$, представляющий квадрат длины стороны гипотенузы, стороны, противоположной прямому углу, равен сумме (сложению) квадратов двух других сторон, длины которых представлены а и б.

Уравнение - это утверждение, что два выражения имеют одинаковое значение и равны. Некоторые уравнения верны для всех значений задействованных переменных (например, ${displaystyle a+b=b+a}$); такие уравнения называются идентичности. Условные уравнения верны только для некоторых значений задействованных переменных, например ${displaystyle x^{2}-1=8}$ верно только для ${displaystyle x=3}$ и ${displaystyle x=-3}$. Значения переменных, которые делают уравнение истинным, являются решениями уравнения и могут быть найдены через решение уравнения.

Другой тип уравнения - неравенство. Неравенства используются, чтобы показать, что одна сторона уравнения больше или меньше другой. Для этого используются следующие символы: ${displaystyle a>b}$ куда ${displaystyle >}$ представляет собой "больше чем", а ${displaystyle a<b}$ куда ${displaystyle <}$ представляет «меньше чем». Как и стандартные уравнения равенства, числа можно складывать, вычитать, умножать или делить. Единственное исключение - при умножении или делении на отрицательное число символ неравенства нужно переворачивать.

Свойства равенства

По определению равенство - это отношение эквивалентности, что означает, что он обладает свойствами (а) рефлексивный (т.е. ${displaystyle b=b}$), (б) симметричный (т.е. если ${displaystyle a=b}$ тогда ${displaystyle b=a}$) (в) переходный (т.е. если ${displaystyle a=b}$ и ${displaystyle b=c}$ тогда ${displaystyle a=c}$).^[28] Он также удовлетворяет важному свойству: если два символа используются для одинаковых вещей, то один символ может быть заменен другим в любом истинном утверждении о первом, и это утверждение останется истинным. Это подразумевает следующие свойства:

• если ${displaystyle a=b}$ и ${displaystyle c=d}$ тогда ${displaystyle a+c=b+d}$ и ${displaystyle ac=bd}$;
• если ${displaystyle a=b}$ тогда ${displaystyle a+c=b+c}$ и ${displaystyle ac=bc}$;
• в общем, для любой функции ж, если ${displaystyle a=b}$ тогда ${displaystyle f(a)=f(b)}$.

Свойства неравенства

Отношения меньше, чем ${displaystyle <}$ и больше чем ${displaystyle >}$ обладают свойством транзитивности:^[29]

• Если ${displaystyle a<b}$ и ${displaystyle b<c}$ тогда ${displaystyle a<c}$;
• Если ${displaystyle a<b}$ и ${displaystyle c<d}$ тогда ${displaystyle a+c<b+d}$;^[30]
• Если ${displaystyle a<b}$ и ${displaystyle c>0}$ тогда ${displaystyle ac<bc}$;
• Если ${displaystyle a<b}$ и ${displaystyle c<0}$ тогда ${displaystyle bc<ac}$.

Изменяя неравенство, ${displaystyle <}$ и ${displaystyle >}$ можно поменять местами,^[31] Например:

• ${displaystyle a<b}$ эквивалентно ${displaystyle b>a}$

Замена

Основная статья: Подстановка (алгебра)

Смотрите также: Подстановка (логика)

Подстановка заменяет термины в выражении для создания нового выражения. Замена 3 на а в выражении а*5 делает новое выражение 3*5 со смыслом 15. Подстановка условий утверждения делает новое утверждение. Когда исходное утверждение истинно независимо от значений терминов, утверждение, созданное подстановками, также истинно. Следовательно, определения могут быть даны в символических терминах и интерпретироваться через замену: если ${displaystyle a^{2}:=a imes a}$ подразумевается как определение ${displaystyle a^{2},}$ как продукт а с собой, подставив 3 за а сообщает читателю об этом заявлении, что ${displaystyle 3^{2}}$ средства 3 × 3 = 9. Часто неизвестно, верно ли утверждение независимо от значений терминов. И подстановка позволяет вывести ограничения на возможные значения или показать, при каких условиях выполняется утверждение. Например, взяв заявление Икс + 1 = 0, если Икс заменяется на 1, Из этого следует 1 + 1 = 2 = 0, что неверно, что означает, что если Икс + 1 = 0 тогда Икс не может быть 1.

Если Икс и у находятся целые числа, рациональные, или же действительные числа, тогда ху = 0 подразумевает Икс = 0 или же у = 0. Учитывать abc = 0. Затем, подставив а за Икс и до н.э за у, мы учим а = 0 или же до н.э = 0. Затем мы можем снова заменить, позволяя Икс = б и у = c, чтобы показать, что если до н.э = 0 тогда б = 0 или же c = 0. Следовательно, если abc = 0, тогда а = 0 или же (б = 0 или же c = 0), так abc = 0 подразумевает а = 0 или же б = 0 или же c = 0.

Если исходный факт был указан как "ab = 0 подразумевает а = 0 или же б = 0", тогда, говоря" рассмотрите abc = 0, "при замене возник бы конфликт терминов. Тем не менее, приведенная выше логика все еще верна, чтобы показать, что если abc = 0 тогда а = 0 или же б = 0 или же c = 0 если вместо того, чтобы позволить а = а и б = до н.э, один заменяет а за а и б за до н.э (и с до н.э = 0, заменяя б за а и c за б). Это показывает, что замена терминов в утверждении - не всегда то же самое, что приравнивание терминов из утверждения к заменяемым терминам. В этой ситуации ясно, что если подставить выражение а в а член исходного уравнения, а замещенный не относится к а в заявлении "ab = 0 подразумевает а = 0 или же б = 0."

Решение алгебраических уравнений

Смотрите также: Решение уравнения

Типичная задача алгебры.

В следующих разделах приведены примеры некоторых типов алгебраических уравнений, которые могут встретиться.

Линейные уравнения с одной переменной

Основная статья: Линейное уравнение

Линейные уравнения называются так называемыми, потому что при построении они описывают прямую линию. Простейшие уравнения для решения: линейные уравнения которые имеют только одну переменную. Они содержат только постоянные числа и одну переменную без показателя степени. В качестве примера рассмотрим:

Задача на словах: если вы удвоите возраст ребенка и прибавите 4, получится 12. Сколько лет ребенку?

Эквивалентное уравнение: ${displaystyle 2x+4=12}$ куда Икс представлять возраст ребенка

Для решения такого рода уравнения используется метод сложения, вычитания, умножения или деления обеих сторон уравнения на одно и то же число, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. Как только переменная изолирована, другая сторона уравнения - это значение переменной.^[32] Эта проблема и ее решение следующие:

Решение для x

1. Уравнение для решения:	${displaystyle 2x+4=12}$
2. Вычтите 4 с обеих сторон:	${displaystyle 2x+4-4=12-4}$
3. Это упрощает:	${displaystyle 2x=8}$
4. Разделите обе части на 2:	${displaystyle {frac {2x}{2}}={frac {8}{2}}}$
5. Это упрощает решение:	${displaystyle x=4}$

На словах: ребенку 4 года.

Общий вид линейного уравнения с одной переменной может быть записан как: ${displaystyle ax+b=c}$

Следуя той же процедуре (т.е. вычтите б с обеих сторон, а затем разделить на а) общее решение дается формулой ${displaystyle x={frac {c-b}{a}}}$

Линейные уравнения с двумя переменными

Решение двух линейных уравнений с единственным решением в точке их пересечения.

Линейное уравнение с двумя переменными имеет множество (т.е. бесконечное количество) решений.^[33] Например:

Проблема на словах: отец на 22 года старше сына. Сколько им лет?

Эквивалентное уравнение: ${displaystyle y=x+22}$ куда у возраст отца, Икс возраст сына.

Это не может быть решено само по себе. Если бы возраст сына был известен, то больше не было бы двух неизвестных (переменных). Тогда проблема становится линейным уравнением только с одной переменной, которую можно решить, как описано выше.

Чтобы решить линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными), требуются два связанных уравнения. Например, если также было обнаружено, что:

Проблема на словах

Через 10 лет отец будет вдвое старше сына.

Эквивалентное уравнение

${displaystyle {egin{aligned}y+10&=2 imes (x+10)y&=2 imes (x+10)-10&&{ ext{Subtract 10 from both sides}}y&=2x+20-10&&{ ext{Multiple out brackets}}y&=2x+10&&{ ext{Simplify}}end{aligned}}}$

Теперь есть два связанных линейных уравнения, каждое с двумя неизвестными, что позволяет получить линейное уравнение только с одной переменной, вычитая одно из другого (так называемый метод исключения):^[34]

${displaystyle {egin{cases}y=x+22&{ ext{First equation}}y=2x+10&{ ext{Second equation}}end{cases}}}$

${displaystyle {egin{aligned}&&&{ ext{Subtract the first equation from}}(y-y)&=(2x-x)+10-22&&{ ext{the second in order to remove }}y�&=x-12&&{ ext{Simplify}}12&=x&&{ ext{Add 12 to both sides}}x&=12&&{ ext{Rearrange}}end{aligned}}}$

Другими словами, сыну 12 лет, а поскольку отец на 22 года старше, ему должно быть 34. Через 10 лет сыну будет 22 года, а отцу - в два раза старше его, 44 года. Эта проблема проиллюстрирована на рисунке связанный график уравнений.

О других способах решения таких уравнений см. Ниже. Система линейных уравнений.

Квадратные уравнения

Основная статья: Квадратное уровненеие

График квадратного уравнения ${displaystyle y=x^{2}+3x-10}$ показывая свои корни в ${displaystyle x=-5}$ и ${displaystyle x=2}$, и что квадратичная функция может быть переписана как ${displaystyle y=(x+5)(x-2)}$

Квадратное уравнение - это уравнение, которое включает член с показателем степени 2, например, ${displaystyle x^{2}}$,^[35] и нет члена с более высокой степенью. Название происходит от латинского квадрус, что означает квадрат.^[36] В общем случае квадратное уравнение можно выразить в виде ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$,^[37] куда а не равен нулю (если бы он был равен нулю, то уравнение было бы не квадратичным, а линейным). По этой причине квадратное уравнение должно содержать член ${displaystyle ax^{2}}$, который известен как квадратичный член. Следовательно ${displaystyle aeq 0}$, и поэтому мы можем разделить на а и преобразовать уравнение к стандартному виду

${displaystyle x^{2}+px+q=0}$

куда ${displaystyle p={frac {b}{a}}}$ и ${displaystyle q={frac {c}{a}}}$. Решение этой проблемы с помощью процесса, известного как завершение квадрата, приводит к квадратичная формула

${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

куда символ "±" указывает, что оба

${displaystyle x={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}quad { ext{and}}quad x={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

являются решениями квадратного уравнения.

Квадратные уравнения также могут быть решены с помощью факторизация (обратный процесс расширение, но на двоих линейные условия иногда обозначается срыв ). В качестве примера факторинга:

${displaystyle x^{2}+3x-10=0,}$

что то же самое, что

${displaystyle (x+5)(x-2)=0.}$

Это следует из собственность с нулевым продуктом что либо ${displaystyle x=2}$ или же ${displaystyle x=-5}$ являются решениями, так как ровно один из множителей должен быть равен нуль. Все квадратные уравнения будут иметь два решения в комплексное число системе, но не обязательно настоящий номер система. Например,

${displaystyle x^{2}+1=0}$

не имеет решения в виде действительного числа, поскольку ни один квадрат действительного числа не равен -1. Иногда квадратное уравнение имеет корень из множественность 2, например:

${displaystyle (x+1)^{2}=0.}$

Для этого уравнения −1 является корнем из кратности 2. Это означает, что −1 появляется дважды, так как уравнение можно переписать в факторизованной форме как

${displaystyle [x-(-1)][x-(-1)]=0.}$

Сложные числа

Все квадратные уравнения имеют ровно два решения в сложные числа (но они могут быть равны друг другу), категория, которая включает действительные числа, мнимые числа, а также суммы действительных и мнимых чисел. Комплексные числа впервые возникают при обучении квадратным уравнениям и квадратным формулам. Например, квадратное уравнение

${displaystyle x^{2}+x+1=0}$

есть решения

${displaystyle x={frac {-1+{sqrt {-3}}}{2}}quad quad { ext{and}}quad quad x={frac {-1-{sqrt {-3}}}{2}}.}$

С ${displaystyle {sqrt {-3}}}$ не является действительным числом, оба этих решения для Икс - комплексные числа.

Экспоненциальные и логарифмические уравнения

Основная статья: Логарифм

В график логарифма по основанию 2 пересекает Икс ось (горизонтальная ось) в 1 и проходит через точки с координаты (2, 1), (4, 2), и (8, 3). Например, бревно₂(8) = 3, потому что 2³ = 8. График сколь угодно близок к у ось, но не встречается и не пересекает его.

Экспоненциальное уравнение - это уравнение, которое имеет вид ${displaystyle a^{x}=b}$ за ${displaystyle a>0}$,^[38] который имеет решение

${displaystyle X=log _{a}b={frac {ln b}{ln a}}}$

когда ${displaystyle b>0}$. Элементарные алгебраические методы используются, чтобы переписать данное уравнение указанным выше способом, прежде чем прийти к решению. Например, если

${displaystyle 3cdot 2^{x-1}+1=10}$

затем, вычитая 1 из обеих частей уравнения, а затем разделив обе части на 3, получим

${displaystyle 2^{x-1}=3}$

откуда

${displaystyle x-1=log _{2}3}$

или же

${displaystyle x=log _{2}3+1.}$

Логарифмическое уравнение - это уравнение вида ${displaystyle log_{a}(x)=b}$ за ${displaystyle a>0}$, который имеет решение

${displaystyle X=a^{b}.}$

Например, если

${displaystyle 4log _{5}(x-3)-2=6}$

затем, добавив 2 к обеим сторонам уравнения, а затем разделив обе части на 4, мы получим

${displaystyle log _{5}(x-3)=2}$

откуда

${displaystyle x-3=5^{2}=25}$

откуда получаем

${displaystyle x=28.}$

Радикальные уравнения

${displaystyle {overset {}{underset {}{{sqrt[{2}]{x^{3}}}equiv x^{frac {3}{2}}}}}}$

Радикальное уравнение, показывающее два способа представления одного и того же выражения. Тройная полоса означает, что уравнение верно для всех значений Икс

Радикальное уравнение - это уравнение, которое включает знак радикала, который включает квадратные корни, ${displaystyle {sqrt {x}},}$ кубические корни, ${displaystyle {sqrt[{3}]{x}}}$, и пкорни, ${displaystyle {sqrt[{n}]{x}}}$. Напомним, что пкорень th можно переписать в экспоненциальном формате, чтобы ${displaystyle {sqrt[{n}]{x}}}$ эквивалентно ${displaystyle x^{frac {1}{n}}}$. В сочетании с регулярными показателями (степенями), то ${displaystyle {sqrt[{2}]{x^{3}}}}$ (квадратный корень из Икс в кубе), можно переписать как ${displaystyle x^{frac {3}{2}}}$.^[39] Итак, обычная форма радикального уравнения ${displaystyle {sqrt[{n}]{x^{m}}}=a}$ (эквивалентно ${displaystyle x^{frac {m}{n}}=a}$) куда м и п находятся целые числа. Она имеет настоящий решение (я):

п странно	п даже и ${displaystyle ageq 0}$	п и м находятся четное и ${displaystyle a<0}$	п даже, м странно, и ${displaystyle a<0}$
${displaystyle x={sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ эквивалентно ${displaystyle x=left({sqrt[{n}]{a}}ight)^{m}}$	${displaystyle x=pm {sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ эквивалентно ${displaystyle x=pm left({sqrt[{n}]{a}}ight)^{m}}$	${displaystyle x=pm {sqrt[{n}]{a^{m}}}}$	нет реального решения

Например, если:

${displaystyle (x+5)^{2/3}=4}$

тогда

${displaystyle {egin{aligned}x+5&=pm ({sqrt {4}})^{3},x+5&=pm 8,x&=-5pm 8,end{aligned}}}$

и поэтому

${displaystyle x=3quad { ext{or}}quad x=-13}$

Система линейных уравнений

Основная статья: Система линейных уравнений

Существуют разные методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

Метод устранения

Набор решений для уравнений ${displaystyle x-y=-1}$ и ${displaystyle 3x+y=9}$ - единственная точка (2, 3).

Пример решения системы линейных уравнений - использование метода исключения:

${displaystyle {egin{cases}4x+2y&=142x-y&=1.end{cases}}}$

Умножив члены во втором уравнении на 2:

${displaystyle 4x+2y=14}$

${displaystyle 4x-2y=2.}$

Сложив два уравнения вместе, мы получим:

${displaystyle 8x=16}$

что упрощает

${displaystyle x=2.}$

Поскольку тот факт, что ${displaystyle x=2}$ известно, тогда можно вывести, что ${displaystyle y=3}$ любым из двух исходных уравнений (используя 2 вместо Икс ) Полное решение этой проблемы тогда

${displaystyle {egin{cases}x=2y=3.end{cases}}}$

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; у могло быть решено раньше Икс.

Метод замены

Другой способ решения той же системы линейных уравнений - подстановка.

${displaystyle {egin{cases}4x+2y&=142x-y&=1.end{cases}}}$

Эквивалент для у можно вывести с помощью одного из двух уравнений. Используя второе уравнение:

${displaystyle 2x-y=1}$

Вычитание ${displaystyle 2x}$ с каждой стороны уравнения:

${displaystyle {egin{aligned}2x-2x-y&=1-2x-y&=1-2xend{aligned}}}$

и умножив на -1:

${displaystyle y=2x-1.}$

Используя это у значение в первом уравнении исходной системы:

${displaystyle {egin{aligned}4x+2(2x-1)&=144x+4x-2&=148x-2&=14end{aligned}}}$

Добавление 2 с каждой стороны уравнения:

${displaystyle {egin{aligned}8x-2+2&=14+28x&=16end{aligned}}}$

что упрощает

${displaystyle x=2}$

Используя это значение в одном из уравнений, получается то же решение, что и в предыдущем методе.

${displaystyle {egin{cases}x=2y=3.end{cases}}}$

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; и в этом случае у могло быть решено раньше Икс.

Другие типы систем линейных уравнений

Несогласованные системы

Уравнения ${displaystyle 3x+2y=6}$ и ${displaystyle 3x+2y=12}$ параллельны, не могут пересекаться и неразрешимы.

График квадратного уравнения (красный) и линейного уравнения (синий), которые не пересекаются и, следовательно, для которых нет общего решения.

В приведенном выше примере решение существует. Однако есть и системы уравнений, не имеющие решения. Такая система называется непоследовательный. Очевидный пример:

${displaystyle {egin{cases}{egin{aligned}x+y&=1�x+0y&=2,.end{aligned}}end{cases}}}$

При 0 ≠ 2 второе уравнение системы не имеет решения. Таким образом, у системы нет решения, однако не все несовместимые системы распознаются с первого взгляда. В качестве примера рассмотрим систему

${displaystyle {egin{cases}{egin{aligned}4x+2y&=12-2x-y&=-4,.end{aligned}}end{cases}}}$

Умножение на 2 обеих частей второго уравнения и прибавление их к первому дает

${displaystyle 0x+0y=4,,}$

который явно не имеет решения.

Неопределенные системы

Существуют также системы, которые имеют бесконечно много решений, в отличие от системы с единственным решением (то есть уникальной парой значений для Икс и у) Например:

${displaystyle {egin{cases}{egin{aligned}4x+2y&=12-2x-y&=-6end{aligned}}end{cases}}}$

Изоляция у во втором уравнении:

${displaystyle y=-2x+6}$

И используя это значение в первом уравнении системы:

${displaystyle {egin{aligned}4x+2(-2x+6)=124x-4x+12=1212=12end{aligned}}}$

Равенство верно, но оно не дает значения для Икс. В самом деле, в этом легко убедиться (просто подставив некоторые значения Икс) что для любого Икс есть решение, пока ${displaystyle y=-2x+6}$. Для этой системы существует бесконечное множество решений.

Сверх- и недоопределенные системы

Системы с большим количеством переменных, чем количество линейных уравнений, называются недоопределенный. Такая система, если у нее есть какие-то решения, не однозначна, а бесконечна. Пример такой системы:

${displaystyle {egin{cases}{egin{aligned}x+2y&=10y-z&=2.end{aligned}}end{cases}}}$

При попытке решить эту проблему один вынужден выразить некоторые переменные как функции других, если какие-либо решения существуют, но не может выразить все решения численно потому что их бесконечное количество, если они есть.

Система с большим количеством уравнений, чем переменных, называется сверхопределенный. Если переопределенная система имеет какие-либо решения, обязательно некоторые уравнения линейные комбинации из других.

Смотрите также

• История элементарной алгебры
• Бинарная операция
• Гауссово исключение
• Математическое образование
• Числовая строка
• Полиномиальный
• Отмена
• Проблема алгебры средней школы Тарского

Рекомендации

• Леонард Эйлер, Элементы алгебры, 1770. Английский перевод. Tarquin Press, 2007, ISBN  978-1-899618-79-8, а также онлайн-оцифрованные издания^[40] 2006,^[41] 1822.
• Чарльз Смит, Трактат по алгебре, в Библиотека Корнельского университета Исторические математические монографии.
• Редден, Джон. Элементарная алгебра. Знание о плоском мире, 2011

1. ОН. Slaught и Н.Дж. Леннес, Элементарная алгебра, Publ. Аллин и Бэкон, 1915 г., Страница 1 (переиздано Forgotten Books)
2. Льюис Хирш, Артур Гудман, Понимание элементарной алгебры с геометрией: курс для студентов колледжаИздательство: Cengage Learning, 2005 г., ISBN  0534999727, 9780534999728, 654 страницы, страница 2
3. Ричард Н. Ауфманн, Джоан Локвуд, Вводная алгебра: прикладной подход, Обучение издателей, 2010 г., ISBN  1439046042, 9781439046043, стр.78
4. Уильям Л. Хош (редактор), Британское руководство по алгебре и тригонометрии, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010 г., ISBN  1615302190, 9781615302192, стр.71
5. Джеймс Э. Джентл, Численная линейная алгебра для приложений в статистике, Издательство: Springer, 1998 г., ISBN  0387985425, 9780387985428, 221 страница, [Джеймс Э. Джентл, страница 183]
6. Горацио Нельсон Робинсон, Новая элементарная алгебра: содержит основы науки для школ и академий, Ивисон, Финни, Блейкман и компания, 1866 г., стр.7
7. Рон Ларсон, Роберт Хостетлер, Брюс Х. Эдвардс, Алгебра и тригонометрия: графический подходИздательство: Cengage Learning, 2007 г., ISBN  061885195X, 9780618851959, 1114 страниц, стр. 6
8. Син Квай Менг, Чип Вай Лунг, Нг Сон Бенг, «Алгебраическая нотация», в Экспресс-учебник по математике для средней школы 1, Издательство Panpac Education Pte Ltd, ISBN  9812738827, 9789812738820, стр.68
9. Дэвид Алан Херцог, Научитесь визуально алгебре, Издатель John Wiley & Sons, 2008 г., ISBN  0470185597, 9780470185599, 304 страницы, стр.72
10. Джон С. Петерсон, Техническая математика с исчислением, Издательство Cengage Learning, 2003 г., ISBN  0766861899, 9780766861893, 1613 страниц, стр.31
11. Джером Э. Кауфманн, Карен Л. Швиттерс, Алгебра для студентов колледжа, Обучение издателей, 2010 г., ISBN  0538733543, 9780538733540, 803 стр., стр. 222
12. Рамеш Бангиа, Словарь информационных технологий, Издательство Laxmi Publications, Ltd., 2010 г., ISBN  9380298153, 9789380298153, стр. 212
13. Георгий Гретцер, Первые шаги в LaTeX, Издательство Springer, 1999 г., ISBN  0817641327, 9780817641320, стр.17
14. С. Такер Тафт, Роберт А. Дафф, Рэндалл Л. Брукардт, Эрхард Плоедередер, Паскаль Лерой, Справочное руководство по Ada 2005, Том 4348 конспектов лекций по информатике, издательство Springer, 2007 г., ISBN  3540693351, 9783540693352, стр.13
15. К. Ксавье, Fortran 77 и численные методы, Издательство New Age International, 1994, ISBN  812240670X, 9788122406702, стр.20
16. Рэндал Шварц, Брайан Фой, Том Феникс, Изучение Perl, Издательство O'Reilly Media, Inc., 2011 г., ISBN  1449313140, 9781449313142, стр.24
17. Мэтью А. Теллес, Python Power!: Полное руководство, Издательский курс "Технологии PTR", 2008 г., ISBN  1598631586, 9781598631586, стр. 46
18. Кевин С. Бэрд, Ruby на примере: концепции и код, Издательство No Starch Press, 2007 г., ISBN  1593271484, 9781593271480, стр.72
19. Уильям П. Берлингхофф, Фернандо К. Гувеа, Математика сквозь века: нежная история для учителей и других, Издательство МАА, 2004 г., ISBN  0883857367, 9780883857366, стр.75
20. Томас Соннабенд, Математика для учителей: интерактивный подход для классов K-8, Издательство: Cengage Learning, 2009 г., ISBN  0495561665, 9780495561668, 759 страниц, страница xvii
21. Льюис Хирш, Артур Гудман, Понимание элементарной алгебры с геометрией: курс для студентов колледжаИздательство: Cengage Learning, 2005 г., ISBN  0534999727, 9780534999728, 654 страницы, стр.48
22. Лоуренс С. Лефф, Алгебра колледжа: Ключи для изучения Ez-101 Бэррона, Издательство: Образовательная серия Баррона, 2005 г., ISBN  0764129147, 9780764129148, 230 страниц, страница 2
23. Рон Ларсон, Кимберли Нолтинг, Элементарная алгебра, Издательство: Cengage Learning, 2009 г., ISBN  0547102275, 9780547102276, 622 страницы, стр. 210
24. Чарльз П. МакКиг, Элементарная алгебра, Издательство: Cengage Learning, 2011 г., ISBN  0840064217, 9780840064219, 571 стр., стр. 49
25. Андрей Маркс, Сокращенная алгебра I: быстрый и простой способ улучшить свои знания алгебры I и результаты тестов, Издательство Kaplan Publishing, 2007 г., ISBN  1419552880, 9781419552885, 288 страниц, стр. 51
26. Марк Кларк, Синтия Анфинсон, Начальная алгебра: соединение понятий через приложения, Обучение издателей, 2011 г., ISBN  0534419380, 9780534419387, 793 стр., стр.134
27. Алан С. Тусси, Р. Дэвид Густафсон, Элементарная и промежуточная алгебра, Обучение издателей, 2012 г., ISBN  1111567689, 9781111567682, 1163 страницы, стр. 493
28. Дуглас Даунинг, Алгебра - легкий путь, Образовательная серия издателя Баррона, 2003 г., ISBN  0764119729, 9780764119729, 392 страницы, стр.20
29. Рон Ларсон, Роберт Хостетлер, Промежуточная алгебра, Издательство Cengage Learning, 2008 г., ISBN  0618753524, 9780618753529, 857 страниц, стр.96
30. «Как называется следующее свойство неравенства?». Обмен стеком. 29 ноября 2014 г.. Получено 4 мая 2018.
31. Крис Картер, Физика: факты и практика для A Level, Издательство Oxford University Press, 2001 г., ISBN  019914768X, 9780199147687, 144 страницы, стр.50
32. Славин, Стив (1989). Вся математика, которая вам когда-либо понадобится. Джон Уайли и сыновья. п.72. ISBN  0-471-50636-2.
33. Синха, Руководство Пирсона по количественной оценке CAT 2 / eИздательство: Pearson Education India, 2010 г., ISBN  8131723666, 9788131723661, 599 страниц, стр.195
34. Синтия Ю. Янг, Precalculus, Издатель John Wiley & Sons, 2010 г., ISBN  0471756849, 9780471756842, 1175 страниц, стр. 699
35. Мэри Джейн Стерлинг, Алгебра II для чайников, Издательство: John Wiley & Sons, 2006 г., ISBN  0471775819, 9780471775812, 384 страницы, стр. 37
36. Джон Т. Ирвин, Тайна решения: По, Борхес и аналитическая детективная история, Издательство JHU Press, 1996 г., ISBN  0801854660, 9780801854668, 512 страниц, стр. 372
37. Шарма / Хаттар, Руководство Пирсона по объективной математике для вступительных экзаменов в инженерные науки, 3 / E, Издательство Pearson Education India, 2010 г., ISBN  8131723631, 9788131723630, 1248 страниц, стр. 621
38. Авен Чу, Руководство по дополнительной математике LMAN OL. 3, Издательство Pearson Education в Южной Азии, 2007 г., ISBN  9810600011, 9789810600013, стр.105
39. Джон С. Петерсон, Техническая математика с исчислением, Издательство Cengage Learning, 2003 г., ISBN  0766861899, 9780766861893, 1613 страниц, стр. 525
40. Элементы алгебры Эйлера В архиве 2011-04-13 на Wayback Machine
41. Эйлер, Леонард; Хьюлетт, Джон; Хорнер, Фрэнсис; Бернулли, Жан; Лагранж, Жозеф Луи (4 мая 2018 г.). «Элементы алгебры». Лонгман, Орм. Получено 4 мая 2018 - через Google Книги.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Элементарная алгебра в Wikimedia Commons