Мультивектор - Multivector

"p-вектор" перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. К-вектор (значения).

В полилинейная алгебра, а многовекторныйиногда называют Число Клиффорда,^[1] является элементом внешняя алгебра Λ (V) из векторное пространство V. Эта алгебра оцененный, ассоциативный и чередование, и состоит из линейные комбинации из просто k-векторы^[2] (также известен как разложимый k-векторы^[3] или же k-клинки ) формы

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

куда ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$ находятся в V.

А k-вектор такая линейная комбинация, которая однородный степени k (все условия k-кожи для одинаковых k). В зависимости от авторов «мультивектором» может быть либо k-вектор или любой элемент внешней алгебры (любая линейная комбинация k- лезвия с потенциально разными значениями k).^[4]

В дифференциальная геометрия, а k-вектор - это k-вектор во внешней алгебре касательное векторное пространство; то есть это антисимметричный тензор полученный взятием линейных комбинаций клин из k касательные векторы, для некоторого целого числа k ≥ 0. А k-форма это k-вектор во внешней алгебре двойной касательного пространства, которое также является двойственным к внешней алгебре касательного пространства.

За k = 0, 1, 2 и 3, k-векторы часто называются соответственно скаляры, векторов, бивекторы и тривекторы; они соответственно двойственны 0-формы, 1-формы, 2-формы и 3-формы.^[5][6]

Клин продукт

Основная статья: Внешняя алгебра

Операция произведения клина, используемая для построения мультивекторов, является линейной, ассоциативной и чередующейся, что отражает свойства определителя. Это означает для векторов ты, v и ш в векторном пространстве V и для скаляров α, β, изделие клина обладает свойствами:

• Линейный: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;}$
• Ассоциативный: ${\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} ;}$
• Чередование: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =-\mathbf {v} \wedge \mathbf {u} ,\quad \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.}$

Продукт п векторов называется оценкой п мультивектор, или п-вектор. Максимальная оценка многовектора - это размерность векторного пространства V.

Линейность произведения клина позволяет определить мультивектор как линейную комбинацию базисных мультивекторов. Есть (^п
_п) основа п-векторы в п-мерное векторное пространство.^[2]

Площадь и объем

В п-вектор, полученный из произведения клина п отдельные векторы в п-мерное пространство имеет компоненты, определяющие проецируемое (п − 1)-объемы п-параллелоэдр натянутые на векторы. Квадратный корень из суммы квадратов этих компонентов определяет объем п-параллелотоп.^[2][7]

Следующие примеры показывают, что бивектор в двух измерениях измеряет площадь параллелограмма, а величина бивектора в трех измерениях также измеряет площадь параллелограмма. Точно так же трехмерный вектор в трех измерениях измеряет объем параллелепипеда.

Легко проверить, что величина трехвектора в четырех измерениях измеряет объем параллелепипеда, охваченного этими векторами.

Мультивекторы в R²

Свойства мультивекторов можно увидеть, рассматривая двумерное векторное пространство V = р². Пусть базисные векторы равны е₁ и е₂, так ты и v даны

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}$

и многовектор ты ∧ v, также называемый бивектором, вычисляется как

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Вертикальные черты обозначают определитель матрицы, которая представляет собой площадь параллелограмма, натянутого на векторы ты и v. Величина ты ∧ v площадь этого параллелограмма. Обратите внимание, потому что V имеет размерность два базисный бивектор е₁ ∧ е₂ единственный мультивектор в ΛV.

Соотношение между величиной многовектора и площадью или объемом, охватываемым векторами, является важной характеристикой во всех измерениях. Кроме того, линейная функциональная версия многовектора, вычисляющего этот объем, известна как дифференциальная форма.

Мультивекторы в R³

Дополнительные особенности мультивекторов можно увидеть, рассматривая трехмерное векторное пространство. V = р³. В этом случае пусть базисные векторы равны е₁, е₂, и е₃, так ты, v и ш даны

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$

и бивектор ты ∧ v вычисляется как

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Компоненты этого бивектора такие же, как и компоненты перекрестного произведения. Величина этого бивектора - это квадратный корень из суммы квадратов его компонентов.

Это показывает, что величина бивектора ты ∧ v - площадь параллелограмма, натянутого на векторы ты и v поскольку он лежит в трехмерном пространстве V. Компоненты бивектора - это площади проекций параллелограмма на каждой из трех координатных плоскостей.

Обратите внимание, потому что V имеет размерность три, существует один базисный трехвектор в ΛV. Вычислить трехвекторный

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}).}$

Это показывает, что величина трехвекторного ты ∧ v ∧ ш - объем параллелепипеда, натянутого на три вектора ты, v и ш.

В многомерных пространствах составляющие трехмерных векторов являются проекциями объема параллелепипеда на координатные трехмерные пространства, а величина трехмерного вектора - это объем параллелепипеда, находящегося в многомерном пространстве.

Координаты Грассмана

В этом разделе мы рассмотрим мультивекторы на проективное пространство п^п, которые обеспечивают удобный набор координат для линий, плоскостей и гиперплоскостей, обладающих свойствами, аналогичными однородным координатам точек, называемых Координаты Грассмана.^[8]

Точки в реальном проективном пространстве п^п определены как линии, проходящие через начало координат векторного пространства р^п+1. Например, проективная плоскость п² это набор линий, проходящих через начало координат р³. Таким образом, мультивекторы, определенные на р^п+1 можно рассматривать как многовекторные на п^п.

Удобный способ просмотра мультивектора на п^п изучить его в аффинная составляющая из п^п, который является пересечением прямых через начало координат р^п+1 с выбранной гиперплоскостью, например ЧАС: Икс_п+1 = 1. Линии через происхождение р³ пересечь плоскость E: z = 1 определить аффинную версию проективной плоскости, в которой отсутствуют только точки, для которых z = 0, называемые бесконечно удаленными точками.

Мультивекторы на п²

Точки в аффинном компоненте E: z = 1 проективной плоскости имеют координаты Икс = (Икс, у, 1). Линейная комбинация двух точек п = (п₁, п₂, 1) и q = (q₁, q₂, 1) определяет самолет в р³ который пересекает E на линии, соединяющей п и q. Мультивектор п ∧ q определяет параллелограмм в р³ данный

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Обратите внимание, что замена αп + βq за п умножает многовектор на константу. Следовательно, компоненты п ∧ q являются однородными координатами плоскости, проходящей через начало координат р³.

Набор точек Икс = (Икс, у, 1) на линии через п и q пересечение плоскости, определяемой п ∧ q с самолетом E: z = 1. Эти точки удовлетворяют Икс ∧ п ∧ q = 0, то есть,

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\wedge {\big (}(p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}){\big )}=0,}$

что упрощается до уравнения линии

${\displaystyle \lambda :x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})=0.}$

Этому уравнению удовлетворяют точки Икс = αп + βq для реальных значений α и β.

Три компонента п ∧ q которые определяют линию λ называются Координаты Грассмана линии. Поскольку три однородные координаты определяют как точку, так и линию, геометрия точек называется двойственной геометрии прямых на проективной плоскости. Это называется принцип двойственности.

Мультивекторы на п³

Трехмерное проективное пространство, п³ состоит из всех линий, проходящих через начало координат р⁴. Пусть трехмерная гиперплоскость, ЧАС: ш = 1, - аффинная компонента проективного пространства, определяемая точками Икс = (Икс, у, z, 1). Мультивектор п ∧ q ∧ р определяет параллелепипед в р⁴ данный

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} ={\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}.}$

Обратите внимание, что замена αп + βq + γр за п умножает многовектор на константу. Следовательно, компоненты п ∧ q ∧ р являются однородными координатами для трехмерного пространства через начало координат р⁴.

Плоскость в аффинной компоненте ЧАС: ш = 1 это набор точек Икс = (Икс, у, z, 1) в пересечении H с 3-пространством, определяемым п ∧ q ∧ р. Эти точки удовлетворяют Икс ∧ п ∧ q ∧ р = 0, то есть,

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =0,}$

что упрощается до уравнения плоскости

${\displaystyle \lambda :x{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+y{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+z{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Этому уравнению удовлетворяют точки Икс = αп + βq + γр для реальных ценностей α, β и γ.

Четыре компонента п ∧ q ∧ р которые определяют самолет λ называются Координаты Грассмана самолета. Поскольку четыре однородные координаты определяют как точку, так и плоскость в проективном пространстве, геометрия точек двойственна геометрии плоскостей.

Линия как соединение двух точек: В проективном пространстве линия λ через две точки п и q можно рассматривать как пересечение аффинного пространства ЧАС: ш = 1 с самолетом Икс = αп + βq в р⁴. Мультивектор п ∧ q обеспечивает однородные координаты для линии

${\displaystyle \lambda :\mathbf {p} \wedge \mathbf {q} =(p_{1}\mathbf {e} _{1}+p_{2}\mathbf {e} _{2}+p_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge (q_{1}\mathbf {e} _{1}+q_{2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4}),}$

${\displaystyle \qquad ={\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\p_{3}&q_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\p_{1}&q_{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.}$

Они известны как Координаты Плюккера линии, хотя они также являются примером координат Грассмана.

Линия как пересечение двух плоскостей: Линия μ в проективном пространстве также можно определить как множество точек Икс которые образуют пересечение двух плоскостей π и ρ определяется многовекторами третьей степени, поэтому точки Икс являются решениями линейных уравнений

${\displaystyle \mu :\mathbf {x} \wedge \pi =0,\mathbf {x} \wedge \rho =0.}$

Чтобы получить координаты Плюккера линии μ, сопоставить мультивекторы π и ρ к их двойным координатам точек, используя Звездный оператор Ходжа,^[2]

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\star }(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{2}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),\mathbf {e} _{3}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{4}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}),}$

тогда

${\displaystyle {\star }\pi =\pi _{1}\mathbf {e} _{1}+\pi _{2}\mathbf {e} _{2}+\pi _{3}\mathbf {e} _{3}+\pi _{4}\mathbf {e} _{4},\quad {\star }\rho =\rho _{1}\mathbf {e} _{1}+\rho _{2}\mathbf {e} _{2}+\rho _{3}\mathbf {e} _{3}+\rho _{4}\mathbf {e} _{4}.}$

Итак, координаты Плюккера линии μ даны

${\displaystyle \mu :({\star }\pi )\wedge ({\star }\rho )={\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{3}&\rho _{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{1}&\rho _{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{2}&\rho _{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.}$

Поскольку шесть однородных координат прямой могут быть получены из соединения двух точек или пересечения двух плоскостей, линия называется самодуальной в проективном пространстве.

Клиффорд продукт

В. К. Клиффорд комбинированные мультивекторы с внутренний продукт определены на векторном пространстве, чтобы получить общую конструкцию гиперкомплексных чисел, которая включает обычные комплексные числа и кватернионы.^[9][10]

Произведение Клиффорда между двумя векторами ты и v является линейным и ассоциативным, как произведение клина, и обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что многовекторный УФ соединяется с внутренним продуктом ты · v по соотношению Клиффорда,

${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathbf {u} =2\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}$

Отношение Клиффорда сохраняет свойство альтернированности для произведения перпендикулярных векторов. Это можно увидеть для ортогональных единичных векторов е_я, я = 1, ..., п в р^п. Соотношение Клиффорда дает

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0,}$

поэтому базисные векторы чередуются,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i},\quad i\neq j=1,\ldots ,n.}$

В отличие от произведения клина, произведение Клиффорда вектора на самого себя больше не равно нулю. Чтобы увидеть это, вычислите продукт,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=2,}$

что дает

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=1,\quad i=1,\ldots ,n.}$

Набор мультивекторов, построенный с использованием произведения Клиффорда, дает ассоциативную алгебру, известную как Алгебра Клиффорда. Внутренние произведения с разными свойствами можно использовать для построения различных алгебр Клиффорда.^[11][12]

Геометрическая алгебра

Смотрите также: Лезвие (геометрия)

Период, термин k-лезвие использовался в Алгебра Клиффорда в геометрическое исчисление (1984)^[13]

Мультивекторы играют центральную роль в математической формулировке физики, известной как геометрическая алгебра. В соответствии с Дэвид Хестенес,

[Нескалярные] k-векторы иногда называют k-лезвия или просто лезвия чтобы подчеркнуть тот факт, что, в отличие от 0-векторов (скаляров), они обладают «свойствами направленности».^[14]

В 2003 г. срок лезвие в качестве мультивектора использовали К. Доран и А. Ласенби.^[15]

В геометрическая алгебра, многовектор определяется как сумма разнородных k-клинки, например, суммирование скаляр, а вектор, а 2-вектор.^[16] Сумма всего k-сорт компонентов называется k-вектор,^[17] или однородный многовекторность.^[18]

Элемент высшего класса в пространстве называется псевдоскалярный.

Если данный элемент однороден по сорту k, то это k-вектор, но не обязательно k-лезвие. Такой элемент является k-клинок, если его можно выразить как произведение клина k векторов. Геометрическая алгебра, сгенерированная 4-мерным евклидовым векторным пространством, иллюстрирует эту точку на примере: сумма любых двух лопастей, одна из которых берется из плоскости XY, а другая - из плоскости ZW, образует 2-вектор, который не двухлопастный. В геометрической алгебре, порожденной евклидовым векторным пространством размерности 2 или 3, все суммы 2-лезвий могут быть записаны как единственные 2-лезвия.

Примеры

Ориентация определяется упорядоченным набором векторов.

Перевернутая ориентация соответствует отрицанию внешнего вида продукта.

Геометрическая интерпретация оценки п элементы в реальной внешней алгебре для п = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (элемент ориентированной плоскости), 3 (ориентированный объем). Внешний продукт п векторы можно визуализировать как любые п-размерная форма (например, п-параллелоэдр, п-эллипсоид ); с величиной (гиперобъем ), и ориентация определяется тем, что на его (п − 1)-мерная граница и с какой стороны находится интерьер.^[19][20]

• 0-векторы - скаляры;
• 1-векторы - это векторы;
• 2-векторы бивекторы;
• (п - 1) -вектора псевдовекторы;
• п-векторы псевдоскаляры.

При наличии объемная форма (например, с учетом внутренний продукт и ориентация), псевдовекторы и псевдоскаляры могут быть идентифицированы с помощью векторов и скаляров, что является обычным делом в векторное исчисление, но без объемной формы это невозможно сделать без выбора.

в алгебра физического пространства (геометрическая алгебра евклидова трехмерного пространства, используемая как модель (3 + 1) -пространства-времени), сумма скаляра и вектора называется паравектор, и представляет точку в пространстве-времени (вектор - пространство, скаляр - время).

Бивекторы

Основная статья: Бивектор

А бивектор является элементом антисимметричный тензорное произведение из касательное пространство с собой.

В геометрическая алгебра, также бивектор элемент 2 степени (2-вектор), полученный в результате клин двух векторов, так что геометрически ориентированная область, таким же образом вектор ориентированный отрезок прямой. Если а и б два вектора, бивектор а ∧ б имеет

• а норма которая является его площадью, задаваемой

  ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\,\sin(\phi _{a,b})}$

• направление: плоскость, на которой расположена эта область, то есть плоскость, определяемая а и б, пока они линейно независимы;
• ориентация (из двух), определяемая порядком умножения исходных векторов.

Бивекторы подключены к псевдовекторы, и используются для представления поворотов в геометрической алгебре.

Поскольку бивекторы являются элементами векторного пространства Λ²V (куда V конечномерное векторное пространство с тусклый V = п) имеет смысл определить внутренний продукт на этом векторном пространстве следующим образом. Сначала напишите любой элемент F ∈ Λ²V с точки зрения основы (е_я ∧ е_j)_{1 ≤ я < j ≤ п} из Λ²V в качестве

${\displaystyle F=F^{ab}\mathbf {e} _{a}\wedge \mathbf {e} _{b}\quad (1\leq a<b\leq n),}$

где Соглашение о суммировании Эйнштейна используется.

Теперь определите карту G: Λ²V × Λ²V → р настаивая на том, что

${\displaystyle G(F,H):=G_{abcd}F^{ab}H^{cd},}$

куда ${\displaystyle G_{abcd}}$ представляют собой набор чисел.

Приложения

Бивекторы играют много важных ролей в физике, например, в классификация электромагнитных полей.

Смотрите также

• Лезвие (геометрия)
• Paravector

Рекомендации

1. Джон Снигг (2012), Новый подход к дифференциальной геометрии с использованием геометрической алгебры Клиффорда, Birkhäuser, стр.5 §2.12
2. Харлей Фландерс (1989)[1963] Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам, § 2.1 Пространство p-векторов, стр. 5–7, Dover Книги
3. Венделл Флеминг (1977) [1965] Функции нескольких переменных, раздел 7.5 Мультивекторы, стр. 295, ISBN  978-1-4684-9461-7
4. Эли Картан, Теория спиноров, п. 16, рассматривает только однородные векторы, особенно простые, называя их "многовекторами" (вместе) или п-векторы (конкретно).
5. Уильям М. Пеццалья младший (1992). "Вывод алгебры Клиффорда характеристических гиперповерхностей уравнений Максвелла". В Юлиане Лавриновиче (ред.). Деформации математических структур II. Springer. п. 131 ff. ISBN  0-7923-2576-1. Следовательно, в 3D мы связываем альтернативные члены псевдовектор за бивектор, и псевдоскалярный для тривектор
6. Бейлис (1994). Теоретические методы в физических науках: введение в решение проблем с использованием Maple V. Birkhäuser. п. 234, см. Сноску. ISBN  0-8176-3715-X.
7. Шилов Г.Е., Линейная алгебра, (пер. Р. А. Сильверман), Dover Publications, 1977.
8. Ходж У. В., Педоу Д. Методы алгебраической геометрии. 1, Кембриджский унив. Пресса, 1947 г.
9. В. К. Клиффорд, "Предварительный набросок бикватернионов", Proc. Лондонская математика. Soc. Vol. 4 (1873), стр. 381-395
10. В. К. Клиффорд, Математические статьи, (редактор Р. Такер), Лондон: Macmillan, 1882.
11. Дж. М. Маккарти, Введение в теоретическую кинематику, стр. 62–5, MIT Press 1990.
12. О. Боттема и Б. Рот, Теоретическая кинематика, Северная Голландия Publ. Co., 1979 г.
13. Дэвид Хестенес и Гаррет Собчик (1984) Алгебра Клиффорда в геометрическое исчисление, стр. 4, Д. Рейдел ISBN  90-277-1673-0
14. Дэвид Хестенес (1999)[1986] Новые основы классической механики, стр. 34, Д. Рейдел ISBN  90-277-2090-8
15. К. Доран и А. Ласенби (2003) Геометрическая алгебра для физиков, стр. 87, Издательство Кембриджского университета ISBN  9780511807497
16. Маркос А. Родригес (2000). «§1.2 Геометрическая алгебра: набросок». Инварианты для распознавания образов и классификации. World Scientific. п. 3 ff. ISBN  981-02-4278-6.
17. Р. Уэрхэм, Дж. Кэмерон и Дж. Ласенби (2005). «Приложения конформной геометрической алгебры в компьютерном зрении и графике». В Хунбо Ли; Питер Дж. Олвер; Джеральд Соммер (ред.). Компьютерная алгебра и геометрическая алгебра с приложениями. Springer. п. 330. ISBN  3-540-26296-2.
18. Эдуардо Байро-Коррочано (2004). «Геометрическая алгебра Клиффорда: многообещающая основа для компьютерного зрения, робототехники и обучения». В Альберто Санфелиу; Хосе Франсиско Мартинес Тринидад; Хесус Ариэль Карраско Очоа (ред.). Прогресс в распознавании образов, анализе изображений и приложениях. Springer. п. 25. ISBN  3-540-23527-2.
19. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN  0-679-77631-1.
20. J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co. стр. 83. ISBN  0-7167-0344-0.