Экзотический R4 - Exotic R4

В математика, экзотика ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ это дифференцируемое многообразие то есть гомеоморфный но нет диффеоморфный к Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ Первые образцы были найдены в 1982 г. Майкл Фридман и другие, используя контраст между теоремами Фридмана о топологических 4-многообразиях, и Саймон Дональдсон теоремы о гладких 4-многообразиях.^[1][2] Существует континуум недиффеоморфных дифференцируемые структуры из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$ как было показано сначала Клиффорд Таубс.^[3]

До этой конструкции недиффеоморфные гладкие конструкции по сферам - экзотические сферы - уже известно о существовании, хотя вопрос о существовании таких структур для частного случая 4-сфера оставался открытым (и остается открытым по состоянию на 2020 год). Для любого положительного целого числа п кроме 4 нет экзотических гладких структур на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$ другими словами, если п ≠ 4, то любое гладкое многообразие, гомеоморфное ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ диффеоморфен ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$^[4]

Маленькая экзотика р⁴s

Экзотический ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ называется маленький если он может быть плавно встроен как открытое подмножество стандарта ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Маленькая экзотика ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ можно построить, начав с нетривиальной гладкой 5-мерной час-кобордизм (которое существует благодаря доказательству Дональдсона, что час-теорема -кобордизм терпит неудачу в этом измерении) и используя теорему Фридмана о том, что топологические часВ этой размерности верна теорема о -кобордизме.

Большая экзотика р⁴s

Экзотический ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ называется большой если он не может быть плавно встроен как открытое подмножество стандарта ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Примеры большой экзотики ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ могут быть построены с использованием того факта, что компактные 4-многообразия часто могут быть разбиты в виде топологической суммы (по работе Фридмана), но не могут быть разделены в виде гладкой суммы (по работе Дональдсона).

Майкл Хартли Фридман и Лоуренс Р. Тейлор (1986 ) показал, что существует максимальная экзотическая ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$ в который все остальные ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ можно гладко вложить как открытые подмножества.

Связанные экзотические конструкции

Кассон ручки гомеоморфны ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$ по теореме Фридмана (где ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$ - замкнутый единичный круг), но из теоремы Дональдсона следует, что не все они диффеоморфны ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$ Другими словами, некоторые ручки Casson экзотичны. ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$

Неизвестно (по состоянию на 2017 год), существуют ли экзотические 4-сферы; такая экзотическая 4-сфера была бы контрпримером гладкой обобщенная гипотеза Пуанкаре в измерении 4. Некоторые вероятные кандидаты приводятся Глюк скручивает.

Смотрите также

• Акбулут пробка - инструмент для создания экзотики ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$из классов в ${\displaystyle H^{3}(S^{3},\mathbb {R} )}$^[5]
• Атлас (топология)

Примечания

1. Кирби (1989), стр. 95
2. Фридман и Куинн (1990), стр. 122
3. Таубс (1987), теорема 1.1
4. Столлингса (1962), в частности следствия 5.2.
5. Ассельмейер-Малуга, Торстен; Крол, Ежи (28 августа 2014 г.). «Абелевы герберы, обобщенные геометрии и слоения малых экзотических R ^ 4». arXiv: 0904.1276 [gr-qc, физика: hep-th, физика: math-ph].

Рекомендации

• Фридман, Майкл Х.; Куинн, Фрэнк (1990). Топология 4-многообразий. Принстонский математический ряд. 39. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08577-3.
• Фридман, Майкл Х.; Тейлор, Лоуренс Р. (1986). «Универсальное сглаживание четырехмерного пространства». Журнал дифференциальной геометрии. 24 (1): 69–78. ISSN  0022-040X. МИСТЕР  0857376.
• Кирби, Робион С. (1989). Топология 4-многообразий. Конспект лекций по математике. 1374. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-51148-2.
• Скорпан, Александру (2005). Дикий мир 4-многообразий. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3749-8.
• Столлингс, Джон (1962). «Кусочно-линейная структура евклидова пространства». Proc. Cambridge Philos. Soc. 58 (3): 481–488. Дои:10,1017 / с0305004100036756. МИСТЕР0149457
• Гомпф, Роберт Э.; Стипсич, Андраш И. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби. Аспирантура по математике. 20. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0994-6.
• Таубс, Клиффорд Генри (1987). "Калибровочная теория на асимптотически периодических 4-многообразиях". Журнал дифференциальной геометрии. 25 (3): 363–430. МИСТЕР  0882829. PE  1214440981.