Расслоение Грассмана - Grassmann bundle

В алгебраической геометрии Грассманн d-самолет в комплекте векторного расслоения E на алгебраическая схема Икс это схема над Икс:

${\displaystyle p:G_{d}(E)\to X}$

так что волокно ${\displaystyle p^{-1}(x)=G_{d}(E_{x})}$ это Грассманиан из d-мерные векторные подпространства ${\displaystyle E_{x}}$. Например, ${\displaystyle G_{1}(E)=\mathbb {P} (E)}$ это проективный пучок из E. С другой стороны, расслоение Грассмана является частным случаем (частичного) пакет флагов. Конкретно, расслоение Грассмана можно построить как Схема котировки.

Как и обычный грассманиан, на грассмановом расслоении есть естественные векторные расслоения; а именно есть универсальные или тавтологическая подгруппа S и универсальное фактор-расслоение Q что вписывается в

${\displaystyle 0\to S\to p^{*}E\to Q\to 0}$.

В частности, если V находится в волокне п⁻¹(Икс), то слой S над V является V сам; таким образом, S имеет звание р = rk (E) и ${\displaystyle \wedge ^{r}S}$ это детерминантный линейный пучок. Теперь по универсальному свойству проективного расслоения инъекция ${\displaystyle \wedge ^{r}S\to p^{*}(\wedge ^{r}E)}$ соответствует морфизму над Икс:

${\displaystyle G_{d}(E)\to \mathbb {P} (\wedge ^{r}E)}$,

что не что иное, как семья Плюккеровские вложения.

В относительный касательный пучок Т_{граммd(E)/Икс} из грамм_d(E) дан кем-то^[1]

${\displaystyle T_{G_{d}(E)/X}=\operatorname {Hom} (S,Q)=S^{\vee }\otimes Q,}$

что морально дано вторая основная форма. В случае d = 1, он задается следующим образом: если V - конечномерное векторное пространство, то для каждой строки ${\displaystyle l}$ в V проходя через начало координат (точку ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$), существует естественная идентификация (см. Класс Черна # Комплексное проективное пространство Например):

${\displaystyle \operatorname {Hom} (l,V/l)=T_{l}\mathbb {P} (V)}$

и вышеупомянутая версия этой идентификации является семейной. (Общая забота является обобщением этого.)

В случае d = 1, ранняя точная последовательность, тензорная двойственной к S = О(-1) дает:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}\to p^{*}E\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1)\to T_{\mathbb {P} (E)/X}\to 0}$,

что является относительной версией Последовательность Эйлера.

Рекомендации

1. Фултон, Приложение B.5.8 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)

• Эйзенбуд, Дэвид; Джо, Харрис (2016), 3264 и все такое: второй курс алгебраической геометрии, ЧАШКА., ISBN  978-1107602724
• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323