Гамильтонова теория поля - Hamiltonian field theory - Wikipedia

В теоретическая физика, Гамильтонова теория поля теоретико-полевой аналог классического Гамильтонова механика. Это формализм в классическая теория поля рядом Лагранжева теория поля. Он также имеет приложения в квантовая теория поля.

Определение

В Гамильтониан для системы дискретных частиц является функцией их обобщенные координаты и сопряженные импульсы и, возможно, время. Для континуумов и полей гамильтонова механика непригодна, но ее можно расширить, рассматривая большое количество точечных масс и взяв непрерывный предел, то есть бесконечное количество частиц, образующих континуум или поле. Поскольку каждая точечная масса имеет один или несколько степени свободы, формулировка поля имеет бесконечно много степеней свободы.

Одно скалярное поле

Плотность гамильтониана является непрерывным аналогом для полей; это функция полей, сопряженных полей «импульса» и, возможно, самих координат пространства и времени. Для одного скалярное поле φ(Икс, т), плотность гамильтониана определяется из Плотность лагранжиана к^{[nb 1]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ,\pi ,\mathbf {x} ,t)={\dot {\phi }}\pi -{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,.}$

с ∇ в оператор "дель" или "набла", Икс это вектор положения какой-то точки в космосе, и т является время. Плотность лагранжиана является функцией полей в системе, их производных по пространству и времени и, возможно, самих пространственных и временных координат. Это полевой аналог функции Лагранжа для системы дискретных частиц, описываемой обобщенными координатами.

Как и в гамильтоновой механике, где каждая обобщенная координата имеет соответствующий обобщенный импульс, поле φ(Икс, т) имеет поле сопряженного импульса π(Икс, т), определяемая как частная производная плотности лагранжиана по производной поля по времени,

${\displaystyle \pi ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,\quad {\dot {\phi }}\equiv {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\,,}$

в котором чрезмерная точка^{[nb 2]} обозначает частичный производная по времени ∂/∂т, а не общий производная по времени d/dt.

Многие скалярные поля

Для многих областей φ_я(Икс, т) и их конъюгаты π_я(Икс, т) плотность гамильтониана является функцией всех них:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t)=\sum _{i}{\dot {\phi _{i}}}\pi _{i}-{\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots \nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\partial \phi _{1}/\partial t,\partial \phi _{2}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)\,.}$

где каждое сопряженное поле определяется относительно своего поля,

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,.}$

В общем, для любого количества полей интеграл объема плотности гамильтониана дает гамильтониан в трех пространственных измерениях:

${\displaystyle H=\int {\mathcal {H}}\ d^{3}x\,.}$

Плотность гамильтониана - это гамильтониан на единицу пространственного объема. Соответствующие измерение [энергия] [длина]⁻³, в Единицы СИ Джоули на кубический метр, Дж · м⁻³.

Тензорные и спинорные поля

Приведенные выше уравнения и определения можно распространить на векторные поля и вообще тензорные поля и спинорные поля. В физике тензорные поля описывают бозоны и спинорные поля описывают фермионы.

Уравнения движения

В уравнения движения для полей аналогичны уравнениям Гамильтона для дискретных частиц. Для любого количества полей:

Гамильтоновы полевые уравнения

${\displaystyle {\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,}$

где точки снова являются частными производными по времени, вариационная производная в отношении полей

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\nabla \cdot {\frac {\partial }{\partial (\nabla \phi _{i})}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial (\partial \phi _{i}/\partial t)}}\,,}$

с · скалярное произведение, необходимо использовать вместо простого частные производные. В обозначение тензорного индекса (в том числе соглашение о суммировании ) это

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}}$

куда ∂_μ это четыре градиента.

Фазовое пространство

Поля φ_я и конъюгирует π_я образуют бесконечное измерение фазовое пространство, потому что поля имеют бесконечное количество степеней свободы.

Скобка Пуассона

Для двух функций, зависящих от полей φ_я и π_я, их пространственные производные, пространственные и временные координаты,

${\displaystyle A=\int d^{3}x{\mathcal {A}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,}$

${\displaystyle B=\int d^{3}x{\mathcal {B}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,}$

а поля равны нулю на границе объема, по которым берутся интегралы, теоретико-полевые Скобка Пуассона определяется как (не путать с коммутатор из квантовой механики).^[1]

${\displaystyle [A,B]_{\phi ,\pi }=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right)\,,}$

куда ${\displaystyle \delta {\mathcal {F}}/\delta f}$ это вариационная производная

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}\,.}$

При тех же условиях исчезновения полей на поверхности справедлив следующий результат для временной эволюции А (аналогично для B):

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=[A,H]+{\frac {\partial A}{\partial t}}}$

которое можно найти из полной производной по времени от А, интеграция по частям, и используя указанную выше скобку Пуассона.

Явная независимость от времени

Следующие результаты верны, если плотности лагранжиана и гамильтониана явно не зависят от времени (они все еще могут иметь неявную зависимость от времени через поля и их производные),

Кинетическая и потенциальная плотности энергии

Плотность гамильтониана - это полная плотность энергии, сумма плотности кинетической энергии (${\displaystyle {\mathcal {T}}}$) и плотности потенциальной энергии (${\displaystyle {\mathcal {V}}}$),

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {T}}+{\mathcal {V}}\,.}$

Уравнение неразрывности

Взяв частную производную по времени из определения плотности гамильтониана, приведенного выше, и используя Правило цепи за неявное дифференцирование и определение поля сопряженного импульса дает уравнение неразрывности:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0}$

в котором плотность гамильтониана можно интерпретировать как плотность энергии, а

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\nabla \phi )}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

поток энергии или поток энергии в единицу времени на единицу площади поверхности.

Релятивистская теория поля

Ковариантная гамильтонова теория поля это релятивистский формулировка гамильтоновой теории поля.

Гамильтонова теория поля обычно означает симплектическую Гамильтонов формализм когда применяется к классическая теория поля, который принимает форму мгновенного гамильтонова формализма на бесконечномерном фазовое пространство, и где канонические координаты - функции поля в некоторый момент времени.^[2] Этот гамильтонов формализм применяется к квантование полей, например, в квантовом калибровочная теория. В ковариантной гамильтоновой теории поля канонические импульсы п^μ_я соответствует производным полей по всем мировым координатам Икс^μ.^[3] Ковариантные уравнения Гамильтона эквивалентны Уравнения Эйлера-Лагранжа в случае гиперрегулярных Лагранжианы. Ковариантная гамильтонова теория поля развита в Гамильтоне – Де Дондере,^[4] полисимплектический,^[5] мультисимплектический^[6] и k-симплектический^[7] варианты. Фазовое пространство ковариантной гамильтоновой теории поля является конечномерным полисимплектический или же мультисимплектический многообразие.

Гамильтонова неавтономная механика формулируется как ковариантная гамильтонова теория поля на пучки волокон по оси времени, т.е. реальная линия ℝ.

Смотрите также

• Аналитическая механика
• Теория де Дондера – Вейля
• Четыре вектора
• Каноническое квантование
• Гамильтонова механика жидкости
• Ковариантная классическая теория поля
• Полисимплектическое многообразие
• Неавтономная механика

Примечания

1. Это стандартное злоупотребление обозначениями - сокращать все производные и координаты в плотности лагранжиана следующим образом:

   ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })}$

   В μ - это индекс, который принимает значения 0 (для временной координаты) и 1, 2, 3 (для пространственных координат), поэтому будет присутствовать только одна производная или координата. В общем, все пространственные и временные производные появятся в плотности лагранжиана, например, в декартовых координатах плотность лагранжиана имеет полный вид:

   ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}$

   Здесь мы пишем то же самое, но с помощью ∇ сокращаем все пространственные производные как вектор.
2. Это стандартное обозначение в данном контексте, в большей части литературы прямо не упоминается, что это частная производная. В общем случае полные и частные производные функции по времени не совпадают.

Цитаты

1. Грейнер и Райнхардт, 1996 г., Глава 2
2. Готай М. Мультисимплектическая основа классической теории поля и вариационного исчисления. II. Разложение пространства + времени, в "Механике, анализе и геометрии: 200 лет после Лагранжа" (Северная Голландия, 1991).
3. Джакетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г., "Передовая классическая теория поля", World Scientific, 2009, ISBN  978-981-283-895-7.
4. Крупкова О. Гамильтонова теория поля // Геом. Phys. 43 (2002) 93.
5. Джакетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г., Ковариантные гамильтоновы уравнения теории поля, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv:hep-th / 9904062.
6. Эчеверриа-Энрикес А., Мунос-Леканда М., Роман-Рой Н. Геометрия мультисимплектических гамильтоновых теорий поля первого порядка // J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.
7. Рей, А., Роман-Рой, Н. Салдаго, М., Формализм Гюнтера (k-симплектический формализм) в классической теории поля: подход Скиннера-Раска и оператор эволюции, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

Рекомендации

• Бадин, G .; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка гидродинамики и геофизической гидродинамики - механика, симметрии и законы сохранения -. Springer. п. 218. Дои:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN  978-3-319-59694-5.
• Гольдштейн, Герберт (1980). «Глава 12: Непрерывные системы и поля». Классическая механика (2-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. С. 562–565. ISBN  0201029189.
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля, Спрингер, ISBN  3-540-59179-6
• Fetter, A. L .; Валецка, Дж. Д. (1980). Теоретическая механика частиц и сплошных сред. Дувр. С. 258–259. ISBN  978-0-486-43261-8.