Гомотопическая алгебра Ли - Homotopy Lie algebra

В математика, особенно абстрактная алгебра и топология, а гомотопическая алгебра Ли (или же ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебра) является обобщением концепции дифференциальная градуированная алгебра Ли. Чтобы быть более конкретным, Личность Якоби выдерживает только гомотопию. Следовательно, дифференциальную градуированную алгебру Ли можно рассматривать как гомотопическую алгебру Ли, в которой на носу выполняется тождество Якоби. Эти гомотопические алгебры полезны при классификации задач деформации над характеристикой 0 в теория деформации потому что деформационные функторы классифицируются по классам квазиизоморфизма ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебры.^[1] Позже Джонатан Придхэм расширил это понятие на все характеристики.^[2]

Гомотопические алгебры Ли имеют приложения в математике и математическая физика; они связаны, например, с Формализм Баталина – Вилковиского очень похожи на дифференциальные градуированные алгебры Ли.

Определение

Существует несколько различных определений гомотопической алгебры Ли, некоторые из которых особенно подходят для определенных ситуаций больше, чем другие. Наиболее традиционное определение - через симметричные полилинейные карты, но существует и более сжатое геометрическое определение, использующее язык формальная геометрия. Здесь делается общее предположение, что нижележащее поле имеет нулевую характеристику.

Геометрическое определение

А гомотопическая алгебра Ли на градуированное векторное пространство ${\displaystyle V=\bigoplus V_{i}}$ - непрерывный вывод, ${\displaystyle m}$, порядка ${\displaystyle >1}$ который обращается в ноль на формальном многообразии ${\displaystyle {\hat {S}}\Sigma V^{*}}$. Здесь ${\displaystyle {\hat {S}}}$ полная симметрическая алгебра, ${\displaystyle \Sigma }$ является приостановкой градуированного векторного пространства, а ${\displaystyle V^{*}}$ обозначает линейный двойственный. Обычно один описывает ${\displaystyle (V,m)}$ как гомотопическую алгебру Ли и ${\displaystyle {\hat {S}}\Sigma V^{*}}$ с дифференциалом ${\displaystyle m}$ как ее представляющую коммутативную дифференциальную градуированную алгебру.

Используя это определение гомотопической алгебры Ли, можно определить морфизм гомотопических алгебр Ли, ${\displaystyle f\colon (V,m_{V})\to (W,m_{W})}$, как морфизм ${\displaystyle f\colon {\hat {S}}\Sigma V^{*}\to {\hat {S}}\Sigma W^{*}}$ представляющих коммутативных дифференциальных градуированных алгебр, коммутирующих с векторным полем, т. е. ${\displaystyle f\circ m_{V}=m_{W}\circ f}$. Гомотопические алгебры Ли и их морфизмы определяют категория.

Определение через мультилинейные карты

Более традиционное определение гомотопической алгебры Ли - это бесконечный набор симметричных полилинейных отображений, которые иногда называют определением через верхние скобки. Следует отметить, что эти два определения эквивалентны.

А гомотопическая алгебра Ли^[3] на градуированное векторное пространство ${\displaystyle V=\bigoplus V_{i}}$ представляет собой набор симметричных полилинейных отображений ${\displaystyle l_{n}\colon V^{\otimes n}\to V}$ степени ${\displaystyle n-2}$, иногда называемый ${\displaystyle n}$-арная скоба, для каждого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Более того, карты ${\displaystyle l_{n}}$ удовлетворяют обобщенному тождеству Якоби:

${\displaystyle \sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \mathrm {UnShuff} (i,n-i)}\chi (\sigma ,v_{1},\dots ,v_{n})(-1)^{i(j-1)}l_{j}(l_{i}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (i)}),v_{\sigma (i+1)},\dots ,v_{\sigma (n)})=0,}$

для каждого n. Здесь внутренняя сумма превышает ${\displaystyle (i,j)}$-теснения и ${\displaystyle \chi }$ - подпись перестановки. Приведенная выше формула имеет содержательные интерпретации для низких значений ${\displaystyle n}$; например, когда ${\displaystyle n=1}$ это говорит, что ${\displaystyle l_{1}}$ квадратов в ноль (т.е. это дифференциал на ${\displaystyle V}$), когда ${\displaystyle n=2}$ это говорит, что ${\displaystyle l_{1}}$ является производным от ${\displaystyle l_{2}}$, и когда ${\displaystyle n=3}$ это говорит, что ${\displaystyle l_{2}}$ удовлетворяет тождеству Якоби с точностью до точного члена ${\displaystyle l_{3}}$ (т.е. справедливо до гомотопии). Обратите внимание, что когда верхние скобки ${\displaystyle l_{n}}$ за ${\displaystyle n\geq 3}$ исчезают, определение дифференциальная градуированная алгебра Ли на ${\displaystyle V}$ восстанавливается.

Используя подход с помощью полилинейных отображений, морфизм гомотопических алгебр Ли может быть определен набором симметричных полилинейных отображений ${\displaystyle f_{n}\colon V^{\otimes n}\to W}$ которые удовлетворяют определенным условиям.

Определение через операды

Существует также более абстрактное определение гомотопической алгебры, использующее теорию операды: то есть гомотопическая алгебра Ли - это алгебра над операдой в категории цепных комплексов над ${\displaystyle L_{\infty }}$ операда.

(Квази) изоморфизмы и минимальные модели

Морфизм гомотопических алгебр Ли называется (квази) изоморфизмом, если его линейная компонента ${\displaystyle f\colon V\to W}$ является (квази) изоморфизмом, где дифференциалы ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ являются просто линейными компонентами ${\displaystyle m_{V}}$ и ${\displaystyle m_{W}}$.

Важным специальным классом гомотопических алгебр Ли являются так называемые минимальный гомотопические алгебры Ли, для которых характерно обращение в нуль их линейной компоненты ${\displaystyle l_{1}}$. Это означает, что любой квазиизоморфизм минимальных гомотопических алгебр Ли должен быть изоморфизмом. Любая гомотопическая алгебра Ли квазиизоморфна минимальной, которая должна быть единственной с точностью до изоморфизма, и поэтому называется ее минимальная модель.

Примеры

Потому что ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебры имеют настолько сложную структуру, что описание даже простых случаев может быть нетривиальной задачей в большинстве случаев. К счастью, есть простые случаи из дифференциальных градуированных алгебр Ли и случаи из конечномерных примеров.

Дифференциальные градуированные алгебры Ли

Один из доступных классов примеров ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебры возникают в результате вложения дифференциальных градуированных алгебр Ли в категорию ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебры. Это можно описать как ${\displaystyle l_{1}}$ давая вывод, ${\displaystyle l_{2}}$ структура алгебры Ли, и ${\displaystyle l_{k}=0}$ для остальных карт.

Два члена L_∞ алгебры

В градусах 0 и 1

Один примечательный класс примеров: ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебры, которые имеют только два ненулевых основных векторных пространства ${\displaystyle V_{0},V_{1}}$. Затем, проверяя определение для ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебры это означает, что существует линейное отображение

${\displaystyle d\colon V_{1}\to V_{0}}$,

билинейные карты

${\displaystyle l_{2}\colon V_{i}\times V_{j}\to V_{i+j}}$, куда ${\displaystyle 0\leq i+j\leq 1}$,

и трилинейная карта

${\displaystyle l_{3}\colon V_{0}\times V_{0}\times V_{0}\to V_{1}}$

которые удовлетворяют множество идентичностей.^{[4] стр.28} В частности, карта ${\displaystyle l_{2}}$ на ${\displaystyle V_{0}\times V_{0}\to V_{0}}$ следует, что он имеет структуру алгебры Ли с точностью до гомотопии. Это дается дифференциалом ${\displaystyle l_{3}}$ так как дает ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебра структура подразумевает

${\displaystyle dl_{3}(a,b,c)=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]}$,

показывая, что это более высокая скобка Ли. Фактически, некоторые авторы пишут карты ${\displaystyle l_{n}}$ в качестве ${\displaystyle [-,\cdots ,-]_{n}:V_{\bullet }\to V_{\bullet }}$, поэтому предыдущее уравнение можно прочитать как

${\displaystyle d[a,b,c]_{3}=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]}$

показ дифференциала 3-скобки дает неспособность 2-скобки быть структурой алгебры Ли. Это всего лишь алгебра Ли до гомотопии. Если бы мы взяли комплекс ${\displaystyle H_{*}(V_{\bullet },d)}$ тогда ${\displaystyle H_{0}(V_{\bullet },d)}$ имеет структуру алгебры Ли из индуцированного отображения ${\displaystyle [-,-]_{2}}$.

В градусах 0 и n

В этом случае для ${\displaystyle n\geq 2}$, дифференциала нет, поэтому ${\displaystyle V_{0}}$ это алгебра Ли на носу, но есть дополнительные данные векторного пространства ${\displaystyle V_{n}}$ в степени ${\displaystyle n}$ и более высокая сетка

${\displaystyle l_{n+2}:\bigoplus ^{n+2}V_{0}\to V_{n}}$

Оказывается, эта более высокая группа на самом деле является более высоким коцилом в Когомологии алгебры Ли. Точнее, если мы перепишем ${\displaystyle V_{0}}$ как алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и ${\displaystyle V_{n}}$ и представление алгебры Ли ${\displaystyle V}$ (задано структурной картой ${\displaystyle \rho }$), то существует биекция четверок

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},V,\rho ,l_{n+2})}$ куда ${\displaystyle l_{n+2}:{\mathfrak {g}}^{\otimes n+2}\to V}$ является ${\displaystyle (n+2)}$-коцикл

и два срока ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебры с ненулевыми векторными пространствами в степенях ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle n}$^[4]стр.42. Обратите внимание, что эта ситуация очень похожа на соотношение между групповые когомологии и структура n-группы с двумя нетривиальными гомотопическими группами. В случае срока ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебры в градусах ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ аналогичная связь существует между коциклами алгебры Ли и такими высшими скобками. При первом осмотре результаты не очевидны, но становится ясно, если посмотреть на комплекс гомологии.

${\displaystyle H_{*}(V_{1}\xrightarrow {d} V_{0})}$

так что дифференциал становится тривиальным. Это дает эквивалент ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебра, которую затем можно анализировать, как и раньше.

Пример в градусах 0 и 1

Один простой пример алгебры Ли-2 дается ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебра с ${\displaystyle V_{0}=(\mathbb {R} ^{3},\times )}$ куда ${\displaystyle \times }$ является перекрестным произведением векторов и ${\displaystyle V_{1}=\mathbb {R} }$ - тривиальное представление. Затем идет более высокая сетка ${\displaystyle l_{3}}$ заданный скалярным произведением векторов

${\displaystyle l_{3}(a,b,c)=a\cdot (b\times c)}$

Можно проверить дифференциал этого ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебра всегда равна нулю, используя базовую линейную алгебру^[4]стр.45.

Конечномерный пример

Придумывая простые примеры ради изучения природы ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебры - сложная проблема. Например,^[5] учитывая градуированное векторное пространство ${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}}$ куда ${\displaystyle V_{0}}$ имеет базис, заданный вектором ${\displaystyle w}$ и ${\displaystyle V_{1}}$ имеет базис, задаваемый векторами ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$, существует ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебра структура задается следующими правилами

${\displaystyle {\begin{aligned}&l_{1}(v_{1})=l_{1}(v_{2})=w\\&l_{2}(v_{1}\otimes v_{2})=v_{1},l_{2}(v_{1}\otimes w)=w\\&l_{n}(v_{2}\otimes w^{\otimes n-1})=C_{n}w{\text{ for }}n\geq 3\end{aligned}},}$

куда ${\displaystyle C_{n}=(-1)^{n-1}(n-3)C_{n-1},C_{3}=1}$. Обратите внимание, что первые несколько констант:

${\displaystyle {\begin{matrix}C_{3}&C_{4}&C_{5}&C_{6}\\1&-1&-2&12\end{matrix}}}$

С ${\displaystyle l_{1}(w)}$ должен иметь степень ${\displaystyle -1}$, из аксиом следует, что ${\displaystyle l_{1}(w)=0}$. Есть и другие подобные примеры для супер^[6] Алгебры Ли.^[7] Более того, ${\displaystyle L_{\infty }}$ структуры на градуированных векторных пространствах, базовое векторное пространство которых является двумерным, полностью классифицированы.^[3]

Смотрите также

• Гомотопическая ассоциативная алгебра
• Дифференциальная градуированная алгебра
• BV формализм
• Симплициальная алгебра Ли

Рекомендации

1. Лурье, Джейкоб. "Производная алгебраическая геометрия X: формальные проблемы модулей" (PDF). п. 31, теорема 2.0.2.
2. Придхэм, Джонатан Пол (2012). «Производные деформации схем». Коммуникации в анализе и геометрии. 20 (3): 529–563. arXiv:0908.1963. Дои:10.4310 / CAG.2012.v20.n3.a4. МИСТЕР  2974205.
3. Daily, Мэрилин Элизабет (2004-04-14). ${\displaystyle L_{\infty }}$ Структуры на пространствах малой размерности (Кандидат наук). HDL:1840.16/5282.
4. Баэз, Джон С.; Кранс, Алисса С. (24 января 2010 г.). "Многомерная алгебра VI: 2-алгебры Ли". Теория и приложения категорий. 12: 492–528. arXiv:математика / 0307263.
5. Ежедневно, Мэрилин; Лада, Том (2005). "Конечномерный ${\displaystyle L_{\infty }}$ пример алгебры в калибровочной теории ". Гомологии, гомотопии и приложения. 7 (2): 87–93. Дои:10.4310 / HHA.2005.v7.n2.a4.
6. Фиаловски, Алиса; Пенкава, Михаил (2002). «Примеры бесконечности и алгебр Ли и их версальных деформаций». Публикации Банахского центра. 55: 27–42. arXiv:математика / 0102140. Дои:10.4064 / bc55-0-2. МИСТЕР  1911978. S2CID  14082754.
7. Фиаловски, Алиса; Пенкава, Михаил (2005). «Сильно гомотопические алгебры Ли одной четной и двух нечетной размерности». Журнал алгебры. 283 (1): 125–148. arXiv:математика / 0308016. Дои:10.1016 / j.jalgebra.2004.08.023. МИСТЕР  2102075. S2CID  119142148.

Вступление

• Лада, Том; Сташеф, Джим (1993). «Введение в sh алгебры Ли для физиков». Международный журнал теоретической физики. 32 (7): 1087–1104. arXiv:hep-th / 9209099. Bibcode:1993IJTP ... 32.1087L. Дои:10.1007 / BF00671791. S2CID  16456088.

В физике

• Арванитакис, Алекс С. (2019). «L∞-алгебра S-матрицы». arXiv:1903.05643 [hep-th ].
• Хом, Олаф; Цвибах, Бартон (2017). "L∞-алгебры и теория поля". Fortsch.Phys. 65 (3–4): 1700014. arXiv:1701.08824. Bibcode:2017ForPh..6500014H. Дои:10.1002 / prop.201700014. S2CID  90628041. - К классификации пертурбативных калибровочно-инвариантных классических полей.

В теории деформации и струн

• Придхэм, Джонатан П. (2015). «Производные деформации стеков Артина». Коммуникации в анализе и геометрии. 23 (3): 419–477. arXiv:0805.3130. Дои:10.4310 / CAG.2015.v23.n3.a1. МИСТЕР  3310522. S2CID  14505074.
• Придхэм, Джонатан П. (2010). «Объединение производных теорий деформации». Успехи в математике. 224 (3): 772–826. arXiv:0705.0344. Дои:10.1016 / j.aim.2009.12.009. МИСТЕР  2628795. S2CID  14136532.
• Ху, По; Криз, Игорь; Воронов, Александр А. (2006). "О гипотезе Концевича о когомологиях Хохшильда". Compositio Mathematica. 142 (1): 143–168. arXiv:математика / 0309369. Дои:10.1112 / S0010437X05001521. МИСТЕР  2197407. S2CID  15153116.

внешняя ссылка

• «Обучающий семинар по теории деформации». Институт математики Макса Планка. 2018. Обсуждает теорию деформации в контексте ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебры.