Деформация (математика) - Deformation (mathematics)

В математика, теория деформации это изучение бесконечно малые условия связано с изменением решения п проблемы к немного другим решениям п_ε, где ε - небольшое число или вектор малых величин. Таким образом, бесконечно малые условия являются результатом применения подхода дифференциальное исчисление к решению проблемы с ограничения. По аналогии можно подумать о конструкции, которая не является полностью жесткой и слегка деформируется, чтобы приспособиться к силам, приложенным извне; это объясняет название.

Вот некоторые характерные явления: вывод уравнений первого порядка путем рассмотрения величин ε как имеющих пренебрежимо малые квадраты; возможность изолированные решения, в том смысле, что изменение решения может быть невозможно, или не приносит ничего нового; и вопрос о том, действительно ли бесконечно малые ограничения «интегрируются», так что их решение действительно дает небольшие вариации. В некоторой форме эти соображения имеют многовековую историю в математике, но также и в математике. физика и инженерное дело. Например, в геометрия чисел класс результатов, называемый теоремы изоляции было признано, с топологической интерпретацией открытая орбита (из групповое действие ) вокруг данного решения. Теория возмущений также рассматривает деформации в целом операторы.

Деформации комплексных многообразий

Наиболее заметной теорией деформации в математике была теория комплексные многообразия и алгебраические многообразия. Это было положено на прочную основу фундаментальной работой Кунихико Кодайра и Дональд С. Спенсер, после того как методы деформации получили более широкое распространение в Итальянская школа алгебраической геометрии. Интуитивно ожидается, что теория деформации первого порядка должна уравнять Касательное пространство Зарисского с пространство модулей. Однако в общем случае явления оказываются довольно тонкими.

На случай, если Римановы поверхности, можно объяснить, что сложная структура на Сфера Римана изолирован (без модулей). Для рода 1 эллиптическая кривая имеет однопараметрическое семейство сложных структур, как показано на эллиптическая функция теория. Общая теория Кодаиры – Спенсера определяет как ключ к теории деформации когомологии пучков группа

${\displaystyle H^{1}(\Theta )\,}$

где Θ (пучок микробы сечений) голоморфной касательный пучок. Есть препятствие в ЧАС² из той же связки; который всегда равен нулю в случае кривой по общим причинам размера. В случае рода 0 ЧАС¹ тоже исчезает. Для рода 1 размерность Номер Ходжа час^1,0 что, следовательно, равно 1. Известно, что все кривые рода один имеют уравнения вида y² = Икс³ + топор + б. Очевидно, они зависят от двух параметров, a и b, тогда как классы изоморфизма таких кривых имеют только один параметр. Следовательно, должно существовать уравнение, связывающее те a и b, которые описывают изоморфные эллиптические кривые. Оказывается, кривые, для которых б²а⁻³ имеет то же значение, описывают изоморфные кривые. Т.е. изменение a и b - один из способов деформировать структуру кривой y² = Икс³ + топор + б, но не все варианты а, б фактически изменить класс изоморфизма кривой.

В случае рода можно пойти дальше г > 1, используя Двойственность Серра связать ЧАС¹ к

${\displaystyle H^{0}(\Omega ^{[2]})}$

где Ω - голоморфная котангенсный пучок и обозначение Ω^[2] означает тензорный квадрат (не секунда внешняя сила ). Другими словами, деформации регулируются голоморфными квадратичные дифференциалы на римановой поверхности, опять же что-то классически известное. Размерность пространства модулей, называемая Пространство Тейхмюллера в этом случае вычисляется как 3г - 3, по Теорема Римана – Роха.

Эти примеры являются началом теории, применяемой к голоморфным семействам комплексных многообразий любой размерности. Дальнейшие разработки включали: распространение Спенсером техник на другие структуры дифференциальная геометрия; ассимиляция теории Кодаиры – Спенсера в абстрактную алгебраическую геометрию Гротендик, с последующим существенным разъяснением более ранней работы; и теория деформации других структур, таких как алгебры.

Деформации и плоские карты

Самая общая форма деформации - плоская карта ${\displaystyle f:X\to S}$ комплексно-аналитических пространств, схем или ростков функций на пространстве. Гротендик^[1] был первым, кто нашел это далеко идущее обобщение для деформаций и развил теорию в этом контексте. Общая идея заключается в том, что должен существовать универсальная семья ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\to B}$ так что любую деформацию можно найти как уникальный обратный квадрат

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &B\end{matrix}}}$

Во многих случаях это универсальное семейство является либо Схема гильберта или Схема котировки, или частное одного из них. Например, при построении Модули кривых, он строится как фактор гладких кривых в схеме Гильберта. Если квадрат отката не уникален, тогда семейство только версаль.

Деформации ростков аналитических алгебр

Одна из полезных и легко вычислимых областей теории деформации происходит от теории деформации ростков сложных пространств, таких как штейновые коллекторы, комплексные многообразия, или комплексные аналитические многообразия.^[1] Обратите внимание, что эту теорию можно глобализированный к комплексным многообразиям и комплексным аналитическим пространствам, рассматривая пучки ростков голоморфных функций, касательные пространства и т. д. Такие алгебры имеют вид

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{I}}}$

где ${\displaystyle \mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}$ кольцо сходящихся степенных рядов и ${\displaystyle I}$ это идеал. Например, многие авторы изучают ростки функций особенности, таких как алгебра

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(y^{2}-x^{n})}}}$

представляющий особенность плоской кривой. А росток аналитических алгебр тогда является объектом в противоположной категории таких алгебр. Потом деформация ростка аналитических алгебр ${\displaystyle X_{0}}$ задается плоским отображением ростков аналитических алгебр ${\displaystyle f:X\to S}$ где ${\displaystyle S}$ имеет особую точку зрения ${\displaystyle 0}$ так что ${\displaystyle X_{0}}$ вписывается в обратный квадрат

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\*&{\xrightarrow[{0}]{}}&S\end{matrix}}}$

Эти деформации имеют отношение эквивалентности, заданное коммутативными квадратами

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

где горизонтальные стрелки - изоморфизмы. Например, имеется деформация особенности плоской кривой, заданная противоположной диаграммой коммутативной диаграммы аналитических алгебр

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})}}&\leftarrow &{\frac {\mathbb {C} \{x,y,s\}}{(y^{2}-x^{n}+s)}}\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} &\leftarrow &\mathbb {C} \{s\}\end{matrix}}}$

Фактически, Милнор изучал такие деформации, когда особенность деформируется постоянной, следовательно, слой над ненулевым ${\displaystyle s}$ называется Волокно Милнора.

Когомологическая интерпретация деформаций

Должно быть ясно, что может быть много деформаций одного ростка аналитических функций. По этой причине для организации всей этой информации необходимы некоторые бухгалтерские устройства. Эти организационные устройства построены с использованием касательных когомологий.^[1] Это формируется с помощью Резолюция Кошуля – Тейта, и потенциально модифицируя его, добавляя дополнительные генераторы для нерегулярных алгебр ${\displaystyle A}$. В случае аналитических алгебр эти резольвенты называются Тюрина резолюция для математика, впервые изучившего такие объекты, Галина Тюрина. Это градуированно-коммутативная дифференциальная градуированная алгебра ${\displaystyle (R_{\bullet },s)}$ такой, что ${\displaystyle R_{0}\to A}$ является сюръективным отображением аналитических алгебр, и это отображение укладывается в точную последовательность

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {s} R_{-2}\xrightarrow {s} R_{-1}\xrightarrow {s} R_{0}\xrightarrow {p} A\to 0}$

Тогда, взяв дифференциальный градуированный модуль выводов ${\displaystyle ({\text{Der}}(R_{\bullet }),d)}$, его когомологии образуют касательные когомологии ростка аналитических алгебр ${\displaystyle A}$. Эти группы когомологий обозначаются ${\displaystyle T^{k}(A)}$. В ${\displaystyle T^{1}(A)}$ содержит информацию обо всех деформациях ${\displaystyle A}$ и может быть легко вычислена с использованием точной последовательности

${\displaystyle 0\to T^{0}(A)\to {\text{Der}}(R_{0})\xrightarrow {d} {\text{Hom}}_{R_{0}}(I,A)\to T^{1}(A)\to 0}$

Если ${\displaystyle A}$ изоморфна алгебре

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(f_{1},\ldots ,f_{m})}}}$

то его деформации равны

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{m}}{df\cdot A^{n}}}}$

мы ${\displaystyle df}$ матрица Якоби ${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$. Например, деформации гиперповерхности, заданные формулой ${\displaystyle f}$ имеет деформации

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{n}}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}\right)}}}$

За особенность ${\displaystyle y^{2}-x^{3}}$ это модуль

${\displaystyle {\frac {A^{2}}{(y,x^{2})}}}$

следовательно, единственные деформации задаются добавлением констант или линейных факторов, поэтому общая деформация ${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}}$ является ${\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}$ где ${\displaystyle a_{i}}$ параметры деформации.

Функциональное описание

Другой метод формализации теории деформаций - использование функторов на категории ${\displaystyle {\text{Art}}_{k}}$ локальных алгебр Артина над полем. А функтор преддеформации определяется как функтор

${\displaystyle F:{\text{Art}}_{k}\to {\text{Sets}}}$

такой, что ${\displaystyle F(k)}$ это точка. Идея состоит в том, что мы хотим изучить бесконечно малую структуру некоторого пространство модулей вокруг точки, над которой лежит интересующее пространство. Как правило, проще описать функтор для задачи модулей, чем найти реальное пространство. Например, если мы хотим рассмотреть пространство модулей гиперповерхностей степени ${\displaystyle d}$ в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$, то можно было бы рассмотреть функтор

${\displaystyle F:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}}$

где

${\displaystyle F(S)=\left\{{\begin{matrix}X\\\downarrow \\S\end{matrix}}:{\text{ each fiber is a degree }}d{\text{ hypersurface in }}\mathbb {P} ^{n}\right\}}$

Хотя в целом удобнее / требуется работать с функторами группоиды вместо наборов. Это верно для модулей кривых.

Технические замечания о бесконечно малых

Бесконечно малые числа давно используются математиками для нестрогих аргументов в исчислении. Идея состоит в том, что если мы рассматриваем многочлены ${\displaystyle F(x,\varepsilon )}$ с бесконечно малым ${\displaystyle \varepsilon }$, тогда действительно имеют значение только термины первого порядка; то есть мы можем рассматривать

${\displaystyle F(x,\varepsilon )\equiv f(x)+\varepsilon g(x)+O(\varepsilon ^{2})}$

Простое применение этого состоит в том, что мы можем найти производные от мономы используя бесконечно малые:

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})}$

то ${\displaystyle \varepsilon }$ Член содержит производную монома, демонстрируя его использование в исчислении. Мы могли бы также интерпретировать это уравнение как первые два члена разложения Тейлора монома. Бесконечно малые числа можно сделать строгими, используя нильпотентные элементы в локальных артиновых алгебрах. На ринге ${\displaystyle k[y]/(y^{2})}$ мы видим, что аргументы с бесконечно малыми могут работать. Это мотивирует обозначение ${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[y]/(y^{2})}$, который называется Кольцо двойных чисел.

Более того, если мы хотим рассмотреть члены высшего порядка тейлоровской аппроксимации, мы могли бы рассматривать артиновые алгебры ${\displaystyle k[y]/(y^{k})}$. Предположим, что мы хотим записать разложение второго порядка для нашего одночлена, тогда

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +3x\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3}}$

Напомним, что разложение Тейлора (в нуле) можно записать как

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f^{(1)}(x)}{1!}}+{\frac {f^{(2)}(x)}{2!}}+{\frac {f^{(3)}(x)}{3!}}+\cdots }$

следовательно, предыдущие два уравнения показывают, что вторая производная от ${\displaystyle x^{3}}$ является ${\displaystyle 6x}$.

В общем, поскольку мы хотим рассматривать разложения Тейлора произвольного порядка по любому количеству переменных, мы будем рассматривать категорию всех локальных артиновых алгебр над полем.

Мотивация

Чтобы мотивировать определение функтора преддеформации, рассмотрим проективную гиперповерхность над полем

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)\end{matrix}}}$

Если мы хотим рассмотреть бесконечно малую деформацию этого пространства, то мы могли бы записать декартов квадрат

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}][\varepsilon ]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\varepsilon x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])\end{matrix}}}$

где ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=4}$. Тогда пространство в правом углу является одним из примеров бесконечно малой деформации: дополнительная теоретико-схемная структура нильпотентных элементов в ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])}$ (который топологически является точкой) позволяет нам организовать эти бесконечно малые данные. Поскольку мы хотим рассмотреть все возможные расширения, мы позволим нашему функтору предформации быть определенным на объектах как

${\displaystyle F(A)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}\right\}}$

где ${\displaystyle A}$ местный Артин ${\displaystyle k}$-алгебра.

Гладкие функторы преддеформации

Функтор преддеформации называется гладкий; плавный если по любому поводу ${\displaystyle A'\to A}$ такой, что квадрат любого элемента в ядре равен нулю, существует сюръекция

${\displaystyle F(A')\to F(A)}$

Это мотивировано следующим вопросом: учитывая деформацию

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}}$

существует ли расширение этой декартовой диаграммы до декартовой диаграммы?

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}&\to &{\mathfrak {X}}'\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)&\to &\operatorname {Spec} (A')\end{matrix}}}$

название гладкое происходит от критерия подъема гладкого морфизма схем.

Касательное пространство

Напомним, что касательное пространство схемы ${\displaystyle X}$ можно описать как ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$-набор

${\displaystyle TX:=\operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/k}(\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]),X)}$

где источник - кольцо двойные числа. Поскольку мы рассматриваем касательное пространство точки некоторого пространства модулей, мы можем определить касательное пространство нашего (пред) -деформационного функтора как

${\displaystyle T_{F}:=F(k[\varepsilon ])}$

Приложения теории деформации

Размерность модулей кривых

Одно из первых свойств модули алгебраических кривых ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ можно вывести с помощью элементарной теории деформации. Его размерность может быть вычислена как

${\displaystyle \dim({\mathcal {M}}_{g})=\dim H^{1}(C,T_{C})}$

для произвольной гладкой кривой рода ${\displaystyle g}$ потому что пространство деформации - это касательное пространство к пространству модулей. С помощью Двойственность Серра касательное пространство изоморфно

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,T_{C}^{*}\otimes \omega _{C})^{\vee }\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\end{aligned}}}$

Следовательно Теорема Римана – Роха дает

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})-h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})&=2(2g-2)-g+1\\&=3g-3\end{aligned}}}$

Для кривых рода ${\displaystyle g\geq 2}$ то ${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$ потому что

${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=h^{0}(C,(\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})}$

степень

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}((\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})&=4-4g+2g-2\\&=2-2g\end{aligned}}}$

и ${\displaystyle h^{0}(L)=0}$ для линейных пучков отрицательной степени. Следовательно, размерность пространства модулей равна ${\displaystyle 3g-3}$.

Сгибать и ломать

Теория деформации широко применялась в бирациональная геометрия от Шигефуми Мори изучить существование рациональные кривые на разновидности.^[2] Для Сорт Фано положительной размерности Мори показал, что через каждую точку проходит рациональная кривая. Метод доказательства позже стал известен как Изгиб и разрыв Мори. Приблизительная идея - начать с некоторой кривой C через выбранную точку и продолжайте деформировать ее, пока она не разобьется на несколько компоненты. Замена C одним из компонентов имеет эффект уменьшения либо род или степень из C. Таким образом, после нескольких повторений процедуры в конечном итоге мы получим кривую рода 0, т.е. рациональную кривую. Существование и свойства деформаций C требуют аргументов из теории деформации и сведения к положительная характеристика.

Арифметические деформации

Одно из основных приложений теории деформации - арифметика. Его можно использовать, чтобы ответить на следующий вопрос: есть ли у нас разнообразие ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{p}}$, каковы возможные расширения ${\displaystyle {\mathfrak {X}}/\mathbb {Z} _{p}}$? Если наше разнообразие - кривая, то исчезающая ${\displaystyle H^{2}}$ следует, что каждая деформация индуцирует многообразие над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$; то есть, если у нас есть гладкая кривая

${\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})\end{matrix}}}$

и деформация

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))\end{matrix}}}$

то мы всегда можем расширить его до диаграммы вида

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}&\to &{\mathfrak {X}}_{3}&\to \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{3}))&\to \cdots \end{matrix}}}$

Это означает, что мы можем построить формальная схема ${\displaystyle {\mathfrak {X}}=\operatorname {Spet} ({\mathfrak {X}}_{\bullet })}$ давая кривую над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

Деформации абелевых схем

В Теорема Серра – Тейта утверждает, грубо говоря, что деформации абелева схема А контролируется деформациями п-делимая группа ${\displaystyle A[p^{\infty }]}$ состоящий из п-силы торсионных точек.

Деформации Галуа

Еще одно приложение теории деформации - деформации Галуа. Это позволяет нам ответить на вопрос: есть ли у нас представление Галуа

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {F} _{p})}$

как мы можем расширить его до представления

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} _{p}){\text{?}}}$

Связь с теорией струн

Так называемое Гипотеза Делиня возникающие в контексте алгебр (и Когомологии Хохшильда ) вызвали большой интерес к теории деформации применительно к теория струн (грубо говоря, чтобы формализовать идею о том, что теорию струн можно рассматривать как деформацию теории точечных частиц). Сейчас это считается доказанным после некоторых заминок с ранними объявлениями. Максим Концевич среди тех, кто представил общепринятые доказательства этого.

Смотрите также

• Карта Кодаира – Спенсер
• Двойной номер
• Теорема Шлезингера
• Exalcomm
• Котангенс комплекс
• Инвариант Громова – Виттена.
• Модули алгебраических кривых
• Вырождение (алгебраическая геометрия)

Заметки

1. Паламодов (1990). «Деформации сложных пространств». Несколько сложных переменных IV. Энциклопедия математических наук. 10. С. 105–194. Дои:10.1007/978-3-642-61263-3_3. ISBN  978-3-642-64766-6.
2. Дебарре, Оливье (2001). «3. Леммы о загибании и разрыве». Многомерная алгебраическая геометрия. Universitext. Springer.

Источники

• "деформация", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Герстенхабер, Мюррей и Сташефф, Джеймс, ред. (1992). Теория деформаций и квантовые группы с приложениями к математической физике, Американское математическое общество (Электронная книга Google) ISBN  0821851411

Педагогический

• Паламодов В.П., III. Деформации сложных пространств. Комплексные переменные IV (очень приземленное вступление)
• Курс по теории деформации (Артин)
• Изучение теории деформации схем
• Сернези, Эдуардо, Деформации алгебраических схем
• Хартсхорн, Робин, Теория деформации
• Заметки из курса Хартсхорна по теории деформации
• ИИГС - Теория деформации и модули в алгебраической геометрии

Обзорные статьи

• Мазур, Барри (2004), «Возмущения, деформации и вариации (и« промахи »в геометрии, физике и теории чисел») (PDF), Бюллетень Американского математического общества, 41 (3): 307–336, Дои:10.1090 / S0273-0979-04-01024-9, Г-Н  2058289
• Анель, М., Почему деформации когомологичны (PDF)

внешние ссылки

• «Взгляд на теорию деформации» (PDF)., конспект лекций Брайана Оссермана