Формализм Баталина – Вилковиского - Batalin–Vilkovisky formalism

В теоретическая физика, то Баталин – Вилковиский (BV) формализм (назван в честь Игоря Баталина и Григория Вилковиского) был разработан как метод определения призрак структура лагранжиана калибровочные теории, например, гравитация и супергравитация, соответствующие Гамильтонова формулировка имеет ограничения, не связанные с Алгебра Ли (т.е. роль структурных констант алгебры Ли играют более общие структурные функции). Формализм BV, основанный на действие который содержит оба поля и "антиполя", можно рассматривать как обширное обобщение оригинального БРСТ формализм для чистый Янг – Миллс теории к произвольной лагранжевой калибровочной теории. Другие названия формализма Баталина – Вилковиского: полевой антиполевой формализм, Лагранжев БРСТ формализм, или Формализм BV – BRST. Не следует путать с Формализм Баталина – Фрадкина – Вилковиского (БФВ), который является гамильтоновым аналогом.

Алгебры Баталина – Вилковиского

В математике Алгебра Баталина – Вилковиского это оцененный суперкоммутативная алгебра (с единицей 1) с нильпотентным оператором второго порядка ∆ степени −1. Точнее, он удовлетворяет тождествам

• ${\displaystyle |ab|=|a|+|b|}$ (Продукт имеет степень 0)
• ${\displaystyle |\Delta (a)|=|a|-1}$ (Δ имеет степень −1)
• ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ (Товар ассоциативный)
• ${\displaystyle ab=(-1)^{|a||b|}ba}$ (Произведение (супер) коммутативно)
• ${\displaystyle \Delta ^{2}=0}$ (Нильпотентность (порядка 2))
• ${\displaystyle \Delta (abc)-\Delta (ab)c+\Delta (a)bc-(-1)^{|a|}a\Delta (bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta (ac)+(-1)^{|a|}a\Delta (b)c+(-1)^{|a|+|b|}ab\Delta (c)-\Delta (1)abc=0}$(Оператор Δ второго порядка)

Часто также требуется нормализация:

• ${\displaystyle \Delta (1)=0}$ (нормализация)

Антибрекет

Алгебра Баталина – Вилковиского становится Алгебра Герстенхабера если определить Кронштейн Герстенхабера от

${\displaystyle (a,b):=(-1)^{\left|a\right|}\Delta (ab)-(-1)^{\left|a\right|}\Delta (a)b-a\Delta (b)+a\Delta (1)b.}$

Другие названия скобки Герстенхабера: Прикладная скоба, антибрекет, или нечетная скобка Пуассона. Антибрекет удовлетворяет

• ${\displaystyle |(a,b)|=|a|+|b|-1}$ (Антискобка (,) имеет степень −1)
• ${\displaystyle (a,b)=-(-1)^{(|a|+1)(|b|+1)}(b,a)}$ (Асимметрия)
• ${\displaystyle (-1)^{(|a|+1)(|c|+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(|b|+1)(|a|+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(|c|+1)(|b|+1)}(c,(a,b))=0}$ (Тождество Якоби)
• ${\displaystyle (ab,c)=a(b,c)+(-1)^{|a||b|}b(a,c)}$ (Свойство Пуассона; правило Лейбница)

Странный лапласиан

Нормализованный оператор определяется как

${\displaystyle {\Delta }_{\rho }:=\Delta -\Delta (1).}$

Его часто называют нечетный лапласиан, в частности, в контексте нечетной пуассоновской геометрии. Он «отличает» антибрекет

• ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }(a,b)=({\Delta }_{\rho }(a),b)-(-1)^{\left|a\right|}(a,{\Delta }_{\rho }(b))}$ (The ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$ оператор дифференцирует (,))

Площадь ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}=(\Delta (1),\cdot )}$ нормализованных ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$ оператор представляет собой гамильтоново векторное поле с нечетным гамильтонианом Δ (1)

• ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}(ab)={\Delta }_{\rho }^{2}(a)b+a{\Delta }_{\rho }^{2}(b)}$ (Правило Лейбница)

который также известен как модульное векторное поле. Предполагая нормировку Δ (1) = 0, нечетный лапласиан ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$ - это просто оператор Δ, а модульное векторное поле ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}}$ исчезает.

Компактная формулировка в виде вложенных коммутаторов

Если ввести левый оператор умножения ${\displaystyle L_{a}}$ так как

${\displaystyle L_{a}(b):=ab,}$

и суперкоммутатор [,] так как

${\displaystyle [S,T]:=ST-(-1)^{\left|S\right|\left|T\right|}TS}$

для двух произвольных операторов S и Т, то определение антискобки можно компактно записать как

${\displaystyle (a,b):=(-1)^{\left|a\right|}[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1,}$

а условие второго порядка для Δ можно компактно записать как

${\displaystyle [[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1=0}$ (Оператор Δ второго порядка)

где подразумевается, что соответствующий оператор действует на единичный элемент 1. Другими словами, ${\displaystyle [\Delta ,L_{a}]}$ является оператором первого порядка (аффинным), и ${\displaystyle [[\Delta ,L_{a}],L_{b}]}$ является оператором нулевого порядка.

Главное уравнение

В классическое главное уравнение для элемента четной степени S (называется действие ) алгебры Баталина – Вилковиского является уравнение

${\displaystyle (S,S)=0.}$

В квантовое главное уравнение для элемента четной степени W алгебры Баталина – Вилковиского - это уравнение

${\displaystyle \Delta \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}W\right]=0,}$

или эквивалентно,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar {\Delta }_{\rho }(W)+\hbar ^{2}\Delta (1).}$

Предполагая нормализацию Δ (1) = 0, основное квантовое уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar \Delta (W).}$

Обобщенные алгебры BV

В определении обобщенная алгебра BV, можно отказаться от предположения второго порядка для Δ. Затем можно определить бесконечную иерархию высших скобок степени −1

${\displaystyle \Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n}):=\underbrace {[[\ldots [\Delta ,L_{a_{1}}],\ldots ],L_{a_{n}}]} _{n~{\rm {nested~commutators}}}1.}$

Скобки (градуированные) симметричные

${\displaystyle \Phi ^{n}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (n)})=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ (Симметричные скобки)

где ${\displaystyle \pi \in S_{n}}$ это перестановка, а ${\displaystyle (-1)^{\left|a_{\pi }\right|}}$ это Знак Кошуля перестановки

${\displaystyle a_{\pi (1)}\ldots a_{\pi (n)}=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}a_{1}\ldots a_{n}}$.

Скобки составляют гомотопическая алгебра Ли, также известный как ${\displaystyle L_{\infty }}$ алгебра, удовлетворяющая обобщенным тождествам Якоби

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!(n\!-\!k)!}}\sum _{\pi \in S_{n}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n-k+1}\left(\Phi ^{k}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (k)}),a_{\pi (k+1)},\ldots ,a_{\pi (n)}\right)=0.}$ (Обобщенные тождества Якоби)

Первые несколько скобок:

• ${\displaystyle \Phi ^{0}:=\Delta (1)}$ (Нулевая скобка)
• ${\displaystyle \Phi ^{1}(a):=[\Delta ,L_{a}]1=\Delta (a)-\Delta (1)a=:{\Delta }_{\rho }(a)}$ (Одна скобка)
• ${\displaystyle \Phi ^{2}(a,b):=[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1=:(-1)^{\left|a\right|}(a,b)}$ (Две скобки)
• ${\displaystyle \Phi ^{3}(a,b,c):=[[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1}$ (Три-скобка)
• ${\displaystyle \vdots }$

В частности, однострочный ${\displaystyle \Phi ^{1}={\Delta }_{\rho }}$ - нечетный лапласиан, а двухскобка ${\displaystyle \Phi ^{2}}$ это антискобка до знака. Первые несколько обобщенных тождеств Якоби:

• ${\displaystyle \Phi ^{1}(\Phi ^{0})=0}$ (${\displaystyle \Delta (1)}$ является ${\displaystyle \Delta _{\rho }}$-закрыто)
• ${\displaystyle \Phi ^{2}(\Phi ^{0},a)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{1}(a)\right)}$ (${\displaystyle \Delta (1)}$ - гамильтониан модулярного векторного поля ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}}$)
• ${\displaystyle \Phi ^{3}(\Phi ^{0},a,b)+\Phi ^{2}\left(\Phi ^{1}(a),b\right)+(-1)^{|a|}\Phi ^{2}\left(a,\Phi ^{1}(b)\right)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{2}(a,b)\right)=0}$ (The ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$ оператор дифференцирует (,) обобщенное)
• ${\displaystyle \Phi ^{4}(\Phi ^{0},a,b,c)+{\rm {Jac}}(a,b,c)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{3}(a,b,c)\right)+\Phi ^{3}\left(\Phi ^{1}(a),b,c\right)+(-1)^{\left|a\right|}\Phi ^{3}\left(a,\Phi ^{1}(b),c\right)+(-1)^{\left|a\right|+\left|b\right|}\Phi ^{3}\left(a,b,\Phi ^{1}(c)\right)=0}$ (Обобщенное тождество Якоби)
• ${\displaystyle \vdots }$

где Якобиатор для двуброновой ${\displaystyle \Phi ^{2}}$ определяется как

${\displaystyle {\rm {Jac}}(a_{1},a_{2},a_{3}):={\frac {1}{2}}\sum _{\pi \in S_{3}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{2}\left(\Phi ^{2}(a_{\pi (1)},a_{\pi (2)}),a_{\pi (3)}\right).}$

BV п-алгебры

Оператор Δ по определению n-й порядок тогда и только тогда, когда (п + 1) -кронштейн ${\displaystyle \Phi ^{n+1}}$ исчезает. В этом случае говорят о BV n-алгебра. Таким образом BV 2-алгебра по определению является просто алгеброй BV. Якобиатор ${\displaystyle {\rm {Jac}}(a,b,c)=0}$ обращается в нуль внутри алгебры BV, что означает, что здесь антискобка удовлетворяет тождеству Якоби. А BV 1-алгебра удовлетворяющая нормировке Δ (1) = 0, то же самое, что дифференциальная градуированная алгебра (DGA) с дифференциалом Δ. BV 1-алгебра имеет исчезающую антискобку.

Нечетное пуассоновское многообразие с объемной плотностью

Пусть дан (n | n) супермногообразие с нечетным би-вектором Пуассона ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ и объемная плотность Березина ${\displaystyle \rho }$, также известный как П-структура и S-структурасоответственно. Назовем локальные координаты ${\displaystyle x^{i}}$. Пусть производные ${\displaystyle \partial _{i}f}$ и

${\displaystyle f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}:=(-1)^{\left|x^{i}\right|(|f|+1)}\partial _{i}f}$

обозначить осталось и правая производная функции ж wrt. ${\displaystyle x^{i}}$соответственно. Нечетный бивектор Пуассона ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ удовлетворяет более точно

• ${\displaystyle \left|\pi ^{ij}\right|=\left|x^{i}\right|+\left|x^{j}\right|-1}$ (Нечетная пуассонова структура имеет степень –1)
• ${\displaystyle \pi ^{ji}=-(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{j}\right|+1)}\pi ^{ij}}$ (Асимметрия)
• ${\displaystyle (-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{k}\right|+1)}\pi ^{i\ell }\partial _{\ell }\pi ^{jk}+{\rm {cyclic}}(i,j,k)=0}$ (Тождество Якоби)

При изменении координат ${\displaystyle x^{i}\to x^{\prime i}}$ нечетный бивектор Пуассона ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ и объемная плотность Березина ${\displaystyle \rho }$ преобразовать как

• ${\displaystyle \pi ^{\prime k\ell }=x^{\prime k}{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}x^{\prime \ell }}$
• ${\displaystyle \rho ^{\prime }=\rho /{\rm {sdet}}(\partial _{i}x^{\prime j})}$

где сдет обозначает супердетерминант, также известный как березинский. нечетная скобка Пуассона определяется как

${\displaystyle (f,g):=f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}g.}$

А Гамильтоново векторное поле ${\displaystyle X_{f}}$ с гамильтонианом ж можно определить как

${\displaystyle X_{f}[g]:=(f,g).}$

(Супер-)расхождение векторного поля ${\displaystyle X=X^{i}\partial _{i}}$ определяется как

${\displaystyle {\rm {div}}_{\rho }X:={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|(|X|+1)}}{\rho }}\partial _{i}(\rho X^{i})}$

Напомним, что гамильтоновы векторные поля бездивергентны в даже пуассоновской геометрии в силу теоремы Лиувилля. В нечетной пуассоновской геометрии соответствующее утверждение неверно. В нечетный лапласиан ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$ измеряет несостоятельность теоремы Лиувилля. С точностью до знакового множителя он определяется как половина расходимости соответствующего гамильтонова векторного поля,

${\displaystyle {\Delta }_{\rho }(f):={\frac {(-1)^{\left|f\right|}}{2}}{\rm {div}}_{\rho }X_{f}={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|}}{2\rho }}\partial _{i}\rho \pi ^{ij}\partial _{j}f.}$

Нечетная структура Пуассона ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ и объемная плотность Березина ${\displaystyle \rho }$ как говорят совместимый если модульное векторное поле ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}}$ исчезает. В этом случае нечетный лапласиан ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$ - оператор БВ Δ с нормировкой Δ (1) = 0. Соответствующая алгебра BV - это алгебра функций.

Нечетное симплектическое многообразие

Если нечетный бивектор Пуассона ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ обратима, есть нечетное симплектический многообразие. В этом случае существует нечетная теорема Дарбу. То есть существуют локальные Координаты Дарбу, т.е. координаты ${\displaystyle q^{1},\ldots ,q^{n}}$, и импульсы ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$степени

${\displaystyle \left|q^{i}\right|+\left|p_{i}\right|=1,}$

такая, что нечетная скобка Пуассона находится в форме Дарбу

${\displaystyle (q^{i},p_{j})=\delta _{j}^{i}.}$

В теоретическая физика, координаты ${\displaystyle q^{i}}$ и импульсы ${\displaystyle p_{j}}$ называются поля и антиполя, и обычно обозначаются ${\displaystyle \phi ^{i}}$ и ${\displaystyle \phi _{j}^{*}}$соответственно.

${\displaystyle \Delta _{\pi }:=(-1)^{\left|q^{i}\right|}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}}$

действует в векторном пространстве полуплотности, и является глобально корректным оператором в атласе окрестностей Дарбу. Худавердяна ${\displaystyle \Delta _{\pi }}$ оператор зависит только от P-структуры. Это явно нильпотентный ${\displaystyle \Delta _{\pi }^{2}=0}$, и степени −1. Тем не менее, технически это не оператор BV Δ как векторное пространство полуплотностей не имеет умножения. (Произведение двух полуплотностей - это плотность, а не полуплотность.) При фиксированной плотности ${\displaystyle \rho }$, можно построить нильпотентный оператор BV Δ как

${\displaystyle \Delta (f):={\frac {1}{\sqrt {\rho }}}\Delta _{\pi }({\sqrt {\rho }}f),}$

чья соответствующая алгебра BV является алгеброй функций, или, что то же самое, скаляры. Нечетная симплектическая структура ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ и плотность ${\displaystyle \rho }$ совместимы тогда и только тогда, когда Δ (1) - нечетная константа.

Примеры

• В Скобка Схоутена – Нийенхейса для многовекторных полей является примером антискобки.
• Если L - супералгебра Ли, а the - оператор, меняющий местами четную и нечетную части суперпространства, то симметрическая алгебра из Π (L) («внешняя алгебра» L) является алгеброй Баталина – Вилковиского с ∆, заданным обычным дифференциалом, используемым для вычисления алгебры Ли когомология.

Смотрите также

• BRST квантование
• Алгебра Герстенхабера
• Супермногообразие
• Анализ потоков
• Производная алгебраическая геометрия

использованная литература

Педагогический

• Костелло, К. (2011). "Перенормировка и теория эффективного поля ". ISBN  978-0-8218-5288-0 (Объясняет пертурбативную квантовую теорию поля и строгие аспекты, такие как квантование Теория Черна-Саймонса и Теория Янга-Миллса используя BV-формализм)

Справка

• Баталин, И. А., Вилковиский, Г. А. (1981). «Калибровочная алгебра и квантование». Phys. Lett. B. 102 (1): 27–31. Bibcode:1981ФЛБ..102 ... 27Б. Дои:10.1016/0370-2693(81)90205-7.
• Баталин, И. А .; Вилковиский, Г. А. (1983). «Квантование калибровочных теорий с линейно зависимыми генераторами». Физический обзор D. 28 (10): 2567–2582. Bibcode:1983ПхРвД..28.2567Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.28.2567. Erratum-ibid. 30 (1984) 508 Дои:10.1103 / PhysRevD.30.508.
• Гетцлер, Э. (1994). «Алгебры Баталина-Вилковиского и двумерные топологические теории поля». Коммуникации по математической физике. 159 (2): 265–285. arXiv:hep-th / 9212043. Bibcode:1994CMaPh.159..265G. Дои:10.1007 / BF02102639.
• Брандт, Фридеманн; Барнич, Гленн; Henneaux, Marc (2000), "Локальные BRST-когомологии в калибровочных теориях", Отчеты по физике. Обзорный раздел писем по физике, 338 (5): 439–569, arXiv:hep-th / 0002245, Bibcode:2000ФР ... 338..439Б, Дои:10.1016 / S0370-1573 (00) 00049-1, ISSN  0370-1573, Г-Н  1792979
• Вайнберг, Стивен (2005). Квантовая теория полей. II. Нью-Йорк: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  0-521-67054-3.