Внутренняя метрика - Intrinsic metric

в математический исследование метрические пространства можно рассматривать длина дуги дорожек в пространстве. Если две точки находятся на заданном расстоянии друг от друга, естественно ожидать, что одна из них сможет добраться от первой точки до второй по пути, длина дуги которого равна (или очень близка) к этому расстоянию. Расстояние между двумя точками метрического пространства относительно внутренняя метрика определяется как инфимум длин всех путей от первой точки до второй. Метрическое пространство - это длина метрическое пространство если внутренняя метрика согласуется с исходной метрикой пространства.

Если у пространства есть более сильное свойство, что всегда существует путь, который достигает нижней грани длины (a геодезический ), то его можно назвать геодезическое метрическое пространство или же геодезическое пространство. Например, Евклидова плоскость является геодезическим пространством с отрезки линии как его геодезические. Евклидова плоскость с источник удаленное не является геодезическим, но по-прежнему является метрическим пространством длины.

Определения

Позволять ${\displaystyle (M,d)}$ быть метрическое пространство, т.е. ${\displaystyle M}$ представляет собой набор точек (например, все точки на плоскости или все точки на окружности) и ${\displaystyle d(x,y)}$ это функция, которая предоставляет нам расстояние между точками ${\displaystyle x,y\in M}$. Определяем новую метрику ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ на ${\displaystyle M}$, известный как индуцированная внутренняя метрика, следующее:${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$ это инфимум длин всех путей от ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle y}$.

Здесь дорожка из ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle y}$ это непрерывная карта

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow M}$

с ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ и ${\displaystyle \gamma (1)=y}$. В длина такого пути определяется, как описано для выпрямляемые кривые. Мы установили ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$ если нет пути конечной длины из ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle y}$. Если

${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)}$

по всем пунктам ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$мы говорим, что ${\displaystyle (M,d)}$ это длина пространства или метрическое пространство пути и метрика ${\displaystyle d}$ является внутренний.

Мы говорим, что метрика ${\displaystyle d}$ имеет приблизительные средние точки если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и любая пара точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ Существует ${\displaystyle c}$ в ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle d(x,c)}$ и ${\displaystyle d(c,y)}$ оба меньше, чем

${\displaystyle {{d(x,y) \over 2}+{\varepsilon }}}$.

Примеры

• Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с обычной евклидовой метрикой - метрическое пространство путей. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}}$ тоже.
• В единичный круг ${\displaystyle S^{1}}$ с метрикой, унаследованной от евклидовой метрики ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (в хордовая метрика) не является метрическим пространством путей. Индуцированная внутренняя метрика на ${\displaystyle S^{1}}$ измеряет расстояния как углы в радианы, и полученное метрическое пространство длины называется Риманов круг. В двух измерениях хордальная метрика на сфера не является внутренней, а индуцированная внутренняя метрика задается расстояние по дуге.
• Каждый Риманово многообразие можно превратить в метрическое пространство пути, определив расстояние между двумя точками как нижнюю грань длин непрерывно дифференцируемых кривых, соединяющих две точки. (Риманова структура позволяет определить длину таких кривых.) Аналогично, другие многообразия, в которых определена длина, включают Финслеровы многообразия и субримановы многообразия.
• Любой полный и выпуклое метрическое пространство - метрическое пространство длины (Хамси и Кирк 2001, Теорема 2.16), результат Карл Менгер. Обратное, как правило, неверно: существуют невыпуклые метрические пространства длины.

Характеристики

• В общем, у нас есть ${\displaystyle d\leq d_{\text{I}}}$ и топология определяется ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ поэтому всегда тоньше чем или равно определенному ${\displaystyle d}$.
• Космос ${\displaystyle (M,d_{\text{I}})}$ всегда является метрическим пространством пути (с оговоркой, как упоминалось выше, что ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ может быть бесконечным).
• Метрика пространства длины имеет приблизительные середины. И наоборот, каждые полный метрическое пространство с приблизительными серединами - это пространство длины.
• В Теорема Хопфа – Ринова. утверждает, что если длина пробела ${\displaystyle (M,d)}$ полный и локально компактный тогда любые две точки в ${\displaystyle M}$ могут быть связаны минимизация геодезических и все ограничено закрытые наборы в ${\displaystyle M}$ находятся компактный.

Рекомендации

• Герберт Буземанн, Избранные произведения, (Атанас Пападопулос, ред.) Том I, 908 стр., Springer International Publishing, 2018.

• Герберт Буземанн, Избранные произведения, (Атанас Пападопулос, ред.) Том II, 842 стр., Springer International Publishing, 2018.

• Громов Михаил (1999), Метрические структуры для римановых и неримановых пространств, Успехи в математике, 152, Биркхойзер, ISBN  0-8176-3898-9
• Хамси, Мохамед А.; Кирк, Уильям А. (2001), Введение в метрические пространства и теорию неподвижной точки, Wiley-IEEE, ISBN  0-471-41825-0