Нелинейное уравнение Шредингера - Nonlinear Schrödinger equation - Wikipedia

Эта страница посвящена уравнению iψ_т = −½ψ_хх + κ | ψ |²ψ. Для уравнения iψ_т = −½ψ_хх + V (x) ψ + κ | ψ |²ψ, используемый в теории конденсата Бозе – Эйнштейна, см. Уравнение Гросса – Питаевского.

Абсолютная величина из сложный конверт точных аналитических передышка решения нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) ​​в безразмерный форма. (A) Передышка Ахмедиева; (B) Сапсан дышащий; (C) бризер Кузнецова – Ма.^[1]

В теоретическая физика, (одномерный) нелинейное уравнение Шредингера (NLSE) это нелинейный вариация Уравнение Шредингера. Это классическое уравнение поля чьи основные приложения связаны с распространением света в нелинейных оптических волокнах и планарных волноводах.^[2] и чтобы Конденсаты Бозе – Эйнштейна ограничены сильно анизотропными сигарообразными ловушками в режиме среднего поля.^[3] Кроме того, уравнение появляется при исследованиях малоамплитудных гравитационные волны на поверхности глубокой невязкой (нулевой вязкости) воды;^[2] в Волны Ленгмюра в горячей плазме;^[2] распространение плоско дифрагированных волновых пучков в фокусирующих областях ионосферы;^[4] распространение Альфа-спиральные солитоны Давыдова, которые отвечают за перенос энергии по молекулярным цепочкам;^[5] и много других. В более общем смысле, NLSE появляется как одно из универсальных уравнений, описывающих эволюцию медленно меняющихся пакетов квазимонохроматических волн в слабонелинейных средах, которые имеют разброс.^[2] В отличие от линейного Уравнение Шредингера, NLSE никогда не описывает временную эволюцию квантового состояния. 1D NLSE является примером интегрируемая модель.

В квантовая механика, 1D NLSE является частным случаем классической нелинейной Поле Шредингера, что, в свою очередь, является классическим пределом квантового поля Шредингера. И наоборот, когда классическое поле Шредингера канонически квантованный, она становится квантовой теорией поля (которая является линейной, несмотря на то, что называется ″ квантовой нелинейный Уравнение Шредингера ″), которое описывает бозонные точечные частицы с дельта-функциональными взаимодействиями - частицы либо отталкиваются, либо притягиваются, когда находятся в одной точке. Фактически, когда число частиц конечно, эта квантовая теория поля эквивалентна теории Модель Либа – Линигера. Как квантовые, так и классические одномерные нелинейные уравнения Шредингера интегрируемы. Особый интерес представляет предел бесконечной силы отталкивания, в котором модель Либа – Линигера становится Газ Тонкс – Жирардо (также называемый жестким бозе-газом или непроницаемым бозе-газом). В этом пределе бозоны могут, заменой переменных, что является континуальным обобщением Преобразование Джордана – Вигнера, преобразуются в систему одномерных невзаимодействующих бесспиновых^{[nb 1]} фермионы.^[6]

Нелинейное уравнение Шредингера представляет собой упрощенную 1 + 1-мерную форму Уравнение Гинзбурга – Ландау введены в 1950 году в их работе по сверхпроводимости и были подробно описаны Р. Я. Чао, Э. Гармиром и К. Х. Таунсом (1964, уравнение (5)) при исследовании оптических пучков.

Многомерная версия заменяет вторую пространственную производную лапласианом. Более чем в одном измерении уравнение не интегрируется, оно допускает коллапс и волновую турбулентность.^[7]

Уравнение

Нелинейное уравнение Шредингера представляет собой нелинейное уравнение в частных производных, применимый к классический и квантовая механика.

Классическое уравнение

Классическое уравнение поля (в безразмерный форма) это:^[8]

Нелинейное уравнение Шредингера. (Классическая теория поля)

${\displaystyle i\partial _{t}\psi =-{1 \over 2}\partial _{x}^{2}\psi +\kappa |\psi |^{2}\psi }$

для сложный поле ψ(Икс,т).

Это уравнение возникает из Гамильтониан^[8]

${\displaystyle H=\int \mathrm {d} x\left[{1 \over 2}|\partial _{x}\psi |^{2}+{\kappa \over 2}|\psi |^{4}\right]}$

с Скобки Пуассона

${\displaystyle \{\psi (x),\psi (y)\}=\{\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)\}=0\,}$

${\displaystyle \{\psi ^{*}(x),\psi (y)\}=i\delta (x-y).\,}$

В отличие от своего линейного аналога, он никогда не описывает временную эволюцию квантового состояния.

Случай с отрицательным κ называется фокусирующим и допускает яркий солитон решения (локализованные в пространстве и имеющие пространственное затухание в сторону бесконечности), а также передышка решения. Это можно решить именно с помощью обратное преобразование рассеяния, как показано Захаров и Шабат (1972) (видеть ниже ). Другой случай, с положительным κ, - это дефокусирующая NLS, которая имеет темный солитон решения (с постоянной амплитудой на бесконечности и локальным пространственным провалом амплитуды).^[9]

Квантовая механика

Чтобы получить квантованная версия, просто заменим скобки Пуассона коммутаторами

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\psi (x),\psi (y)]&=[\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)]=0\\{}[\psi ^{*}(x),\psi (y)]&=-\delta (x-y)\end{aligned}}}$

и нормальный порядок гамильтониан

${\displaystyle H=\int dx\left[{1 \over 2}\partial _{x}\psi ^{\dagger }\partial _{x}\psi +{\kappa \over 2}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi \right].}$

Квантовая версия была решена Бете анзац к Либ и Линигер. Термодинамика была описана Чен-Нин Ян. Квантовые корреляционные функции также были оценены Корепиным в 1993 г.^[6] Модель имеет высшие законы сохранения - Дэвис и Корепин в 1989 г. выразили их через локальные поля.^[10]

Решение уравнения

Нелинейное уравнение Шредингера интегрируемо в 1d: Захаров и Шабат (1972 ) решил это с помощью обратное преобразование рассеяния. Соответствующая линейная система уравнений известна как Система Захарова – Шабата:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{x}&=J\phi \Lambda +U\phi \\\phi _{t}&=2J\phi \Lambda ^{2}+2U\phi \Lambda +(JU^{2}-JU_{x})\phi ,\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\quad J=i\sigma _{z}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad U=i{\begin{pmatrix}0&q\\r&0\end{pmatrix}}.}$

Нелинейное уравнение Шредингера возникает как условие совместности системы Захарова – Шабата:

${\displaystyle \phi _{xt}=\phi _{tx}\quad \Rightarrow \quad U_{t}=-JU_{xx}+2JU^{2}U\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases}iq_{t}=q_{xx}+2qrq\\ir_{t}=-r_{xx}-2qrr.\end{cases}}\,}$

Установив q = р* или же q = − р* получено нелинейное уравнение Шредингера с притягивающим или отталкивающим взаимодействием.

Альтернативный подход напрямую использует систему Захарова – Шабата и использует следующие Преобразование Дарбу:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\phi \to \phi [1]=\phi \Lambda -\sigma \phi \\&U\to U[1]=U+[J,\sigma ]\\&\sigma =\varphi \Omega \varphi ^{-1}\end{aligned}}}$

что оставляет систему инвариантной.

Здесь, φ - другое обратимое матричное решение (отличное от ϕ) системы Захарова – Шабата со спектральным параметром Ω:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{x}&=J\varphi \Omega +U\varphi \\\varphi _{t}&=2J\varphi \Omega ^{2}+2U\varphi \Omega +(JU^{2}-JU_{x})\varphi .\end{aligned}}}$

Начиная с тривиального решения U = 0 и повторяя, получаем решения с п солитоны.

Уравнение NLS - это уравнение в частных производных, подобное уравнению Уравнение Гросса – Питаевского. Обычно он не имеет аналитического решения и тех же численных методов, которые используются для решения уравнения Гросса – Питаевского, таких как расщепленный шаг. Крэнк – Николсон^[11] и Фурье спектральный^[12] методы, используются для ее решения. Существуют разные программы на Fortran и C для его решение^[13][14].

Галилеевская инвариантность

Нелинейное уравнение Шредингера имеет вид Галилеев инвариант в следующем смысле:

Учитывая решение ψ(х, т) новое решение можно получить, заменив Икс с Икс + vt всюду в ψ (х, т) и добавлением фазового фактора ${\displaystyle e^{-iv(x+vt/2)}\,}$:

${\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi _{[v]}(x,t)=\psi (x+vt,t)\;e^{-iv(x+vt/2)}.}$

Нелинейное уравнение Шредингера в волоконной оптике

В оптика, нелинейное уравнение Шредингера входит в Система Манакова, модель распространения волн в волоконной оптике. Функция ψ представляет собой волну, а нелинейное уравнение Шредингера описывает распространение волны через нелинейную среду. Производная второго порядка представляет собой дисперсию, в то время как κ член представляет собой нелинейность. Уравнение моделирует многие эффекты нелинейности в волокне, включая, помимо прочего, фазовая самомодуляция, четырехволновое смешение, генерация второй гармоники, вынужденное комбинационное рассеяние, оптические солитоны,ультракороткие импульсы, так далее.

Нелинейное уравнение Шредингера в волнах на воде

А гиперболический секанс (sech) солитон огибающей для поверхностных волн на глубокой воде.
Синяя линия: волны на воде.
Красная линия: солитон огибающей.

За волны на воде, нелинейное уравнение Шредингера описывает эволюцию конверт из модулированный волновые группы. В статье 1968 г. Захаров Владимир Евгеньевич описывает Гамильтониан структура водных волн. В той же работе Захаров показывает, что для медленно модулированных групп волн волна амплитуда приближенно удовлетворяет нелинейному уравнению Шредингера.^[15] Значение параметра нелинейности к зависит от относительной глубины воды. Для большой глубины воды по сравнению с длина волны волн на воде, к отрицательный и конверт солитоны может возникнуть.

Для мелководья с длиной волны, превышающей глубину более чем в 4,6 раза, параметр нелинейности к положительный и группы волн с конверт солитонов не существует. На мелководье возвышение солитоны или волны перевода существуют, но они не регулируются нелинейным уравнением Шредингера.

Считается, что нелинейное уравнение Шредингера важно для объяснения образования волны-убийцы.^[16]

В сложный поле ψ, как оно появляется в нелинейном уравнении Шредингера, связано с амплитудой и фазой волн на воде. Рассмотрим медленно модулированный несущая волна с водной поверхностью высота η формы:

${\displaystyle \eta =a(x_{0},t_{0})\;\cos \left[k_{0}\,x_{0}-\omega _{0}\,t_{0}-\theta (x_{0},t_{0})\right],}$

куда а(Икс₀, т₀) и θ(Икс₀, т₀) - медленно модулированная амплитуда и фаза. Дальше ω₀ и k₀ являются (постоянными) угловая частота и волновое число несущих волн, которые должны удовлетворять разброс связь ω₀ = Ω (k₀). потом

${\displaystyle \psi =a\;\exp \left(i\theta \right).}$

Так что это модуль |ψ| амплитуда волны а, и это аргумент аргумент (ψ) - фаза θ.

Связь между физическими координатами (Икс₀, т₀) и (х, т) координаты, используемые в приведенное выше нелинейное уравнение Шредингера, дан кем-то:

${\displaystyle x=k_{0}\left[x_{0}-\Omega '(k_{0})\;t_{0}\right],\quad t=k_{0}^{2}\left[-\Omega ''(k_{0})\right]\;t_{0}}$

Таким образом (х, т) - преобразованная система координат, движущаяся с групповая скорость Ω '(k₀) несущих волн, Дисперсионное соотношение кривизна Ω "(k₀) - представляющий дисперсия групповой скорости - всегда отрицательно для волн на воде под действием силы тяжести, для любой глубины воды.

Для волн на водной поверхности на глубокой воде коэффициенты важности для нелинейного уравнения Шредингера равны:

${\displaystyle \kappa =-2k_{0}^{2},\quad \Omega (k_{0})={\sqrt {gk_{0}}}=\omega _{0}\,\!}$   так   ${\displaystyle \Omega '(k_{0})={\frac {1}{2}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}}},\quad \Omega ''(k_{0})=-{\frac {1}{4}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!}$

куда грамм это ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

В оригинале (Икс₀,т₀) координирует нелинейное уравнение Шредингера для волн на воде:^[17]

${\displaystyle i\,\partial _{t_{0}}A+i\,\Omega '(k_{0})\,\partial _{x_{0}}A+{\tfrac {1}{2}}\Omega ''(k_{0})\,\partial _{x_{0}x_{0}}A-\nu \,|A|^{2}\,A=0,}$

с ${\displaystyle A=\psi ^{*}}$ (т.е. комплексно сопряженный из ${\displaystyle \psi }$) и ${\displaystyle \nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).}$ Так ${\displaystyle \nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}}$ для глубоководных волн.

Эквивалентный аналог

НУШ (1) калибровочно эквивалентно следующей изотропной Уравнение Ландау-Лифшица (LLE) или Ферромагнетик Гейзенберга уравнение

${\displaystyle {\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.\qquad }$

Обратите внимание, что это уравнение допускает несколько интегрируемых и неинтегрируемых обобщений в 2 + 1 измерениях, таких как Уравнение Ишимори и так далее.

Отношение к вихрям

Хасимото (1972) показал, что работа да Риос  (1906 ) на вихревых волокнах тесно связано с нелинейным уравнением Шредингера. Впоследствии Салман (2013) использовал это соответствие, чтобы показать, что бризерные решения могут возникать и для вихревой нити.

Смотрите также

• Система АКНС
• Уравнение Экхауза
• Четвертичное взаимодействие для связанной модели в квантовая теория поля
• Солитон (оптика)
• Логарифмическое уравнение Шредингера

Примечания

1. Возможным источником путаницы здесь является спин-статистическая теорема, который требует, чтобы фермионы имели полуцелый спин; однако это теорема релятивистских 3 + 1-мерных квантовых теорий поля и, следовательно, неприменима в этом одномерном, нерелятивистском случае.

Рекомендации

Примечания

1. Рисунок 1 из: Онорато, М .; Промент, Д .; Клаусс, Г.; Кляйн, М. (2013), "Волны-убийцы: от нелинейных решений для дыхания Шредингера к испытаниям на поддержание моря", PLOS One, 8 (2): e54629, Bibcode:2013PLoSO ... 854629O, Дои:10.1371 / journal.pone.0054629, ЧВК  3566097, PMID  23405086
2. Маломед, Борис (2005), «Нелинейные уравнения Шредингера», в Скотт, Олвин (ред.), Энциклопедия нелинейной науки, New York: Routledge, pp. 639–643.
3. Питаевский, Л .; Стрингари, С. (2003), Конденсация Бозе-Эйнштейна, Оксфорд, Великобритания: Кларендон
4. Гуревич, А. В. (1978), Нелинейные явления в ионосфере., Берлин: Springer
5. Балакришнан Р. (1985). «Распространение солитонов в неоднородных средах». Физический обзор A. 32 (2): 1144–1149. Bibcode:1985ПхРвА..32.1144Б. Дои:10.1103 / PhysRevA.32.1144. PMID  9896172.
6. Корепин, В.Е .; Боголюбов, Н. М .; Изергин, А.Г. (1993). Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. Дои:10.2277/0521586461. ISBN  978-0-521-58646-7.
7. Г. Фалькович (2011). Механика жидкости (краткий курс для физиков). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-00575-4.
8. В.Э. Захаров; С.В. Манакова (1974). «О полной интегрируемости нелинейного уравнения Шредингера». Журнал теоретической и математической физики. 19 (3): 551–559. Bibcode:1974ТМП .... 19..551Z. Дои:10.1007 / BF01035568. Первоначально в: Теоретическая и математическая физика 19(3): 332–343. Июнь 1974 г.
9. Абловиц, M.J. (2011), Нелинейные дисперсионные волны. Асимптотический анализ и солитоны., Cambridge University Press, стр. 152–156, ISBN  978-1-107-01254-7
10. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-05-16. Получено 2011-09-04.
11. П. Муруганандам и С. К. Адхикари (2009). «Программы на Фортране для нестационарного уравнения Гросса – Питаевского в полностью анизотропной ловушке». Comput. Phys. Сообщество. 180 (3): 1888–1912. arXiv:0904.3131. Bibcode:2009КоФК.180.1888М. Дои:10.1016 / j.cpc.2009.04.015.
12. П. Муруганандам и С. К. Адхикари (2003). «Динамика бозе-эйнштейновской конденсации в трех измерениях псевдоспектральным и конечно-разностным методами». J. Phys. B. 36 (12): 2501–2514. arXiv:cond-mat / 0210177. Bibcode:2003JPhB ... 36.2501M. Дои:10.1088/0953-4075/36/12/310.
13. Д. Вудрагович; и другие. (2012). "C-программы для нестационарного уравнения Гросса – Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Сообщество. 183 (9): 2021–2025. arXiv:1206.1361. Bibcode:2012CoPhC.183.2021V. Дои:10.1016 / j.cpc.2012.03.022.
14. Л. Э. Янг-С .; и другие. (2016). "OpenMP Fortran и C программы для нестационарного уравнения Гросса – Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Сообщество. 204 (9): 209–213. arXiv:1605.03958. Bibcode:2016CoPhC.204..209Y. Дои:10.1016 / j.cpc.2016.03.015.
15. Захаров В.Е. (1968). «Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубинной жидкости». Журнал прикладной механики и технической физики. 9 (2): 190–194. Bibcode:1968JAMTP ... 9..190Z. Дои:10.1007 / BF00913182. Первоначально в: Журнал Прикдадной Механики и Технической Физики 9 (2): 86–94, 1968.]
16. Dysthe, K .; Krogstad, H.E .; Мюллер, П. (2008). «Океанические волны-убийцы». Ежегодный обзор гидромеханики. 40 (1): 287–310. Bibcode:2008АнРФМ..40..287Д. Дои:10.1146 / annurev.fluid.40.111406.102203.
17. Whitham, G.B. (1974). Линейные и нелинейные волны. Wiley-Interscience. стр.601 –606 & 489–491. ISBN  0-471-94090-9.

Другой

• Chiao, R. Y .; Garmire, E .; Таунс, К. Х. (1964), "Самозахват оптических лучей", Phys. Rev. Lett., 13 (15): 479–482, Bibcode:1964ПхРвЛ..13..479С, Дои:10.1103 / PhysRevLett.13.479
• да Риос, Луиджи Санте (1906), "Sul moto d'un liquido indefinito con un filetto vorticoso di forma qualunque", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском), 22: 117–135, Дои:10.1007 / BF03018608, JFM  37.0764.01
• Хасимото, Хиденори (1972), «Солитон на вихревой нити», Журнал гидромеханики, 51 (3): 477–485, Bibcode:1972JFM .... 51..477H, Дои:10.1017 / S0022112072002307
• Салман, Хейдер (2013), "Дышащие на квантованных сверхтекучих вихрях", Phys. Rev. Lett., 111 (16): 165301, arXiv:1307.7531, Bibcode:2013ПхРвЛ.111п5301С, Дои:10.1103 / PhysRevLett.111.165301, PMID  24182275
• Захаров, В. Э .; Шабат, А. Б. (1972), «Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной самомодуляции волн в нелинейных средах», Журнал экспериментальной и теоретической физики, 34 (1): 62–69, Bibcode:1972JETP ... 34 ... 62Z, МИСТЕР  0406174

внешняя ссылка

• «Нелинейные системы Шредингера». Scholarpedia.
• Учебная лекция по нелинейному уравнению Шредингера (видео).
• Нелинейное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейное уравнение Шредингера со степенной нелинейностью. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейное уравнение Шредингера общего вида. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Математические аспекты нелинейного уравнения Шредингера в Dispersive Wiki