J-инвариантный - J-invariant

Кляйна j-инвариантен в комплексной плоскости

В математика, Феликс Кляйн с j-инвариантный или же j функция, рассматриваемый как функция комплексная переменная  τ, это модульная функция нулевого веса для SL (2, Z) определены на верхняя полуплоскость из сложные числа. Это единственная такая функция, которая голоморфный вдали от простого столба на куспид такой, что

${\displaystyle j\left(e^{2\pi i/3}\right)=0,\quad j(i)=1728=12^{3}.}$

Рациональные функции из j являются модульными и фактически предоставляют все модульные функции. Классически j-инвариант изучался как параметризация эллиптические кривые над C, но он также имеет удивительную связь с симметрией Группа монстров (эта связь называется чудовищный самогон ).

Определение

Реальная часть j-инвариантна как функция ном q на единичном диске

Фаза j-инвариантен как функция нома q на единичном диске

Дальнейшая информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами, и Модульные формы

В j-инвариант может быть определен как функция на верхняя полуплоскость ЧАС = {τ ∈ C, Я (τ) > 0},

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}}$

куда:

${\displaystyle g_{2}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-6}}$

${\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}$ (в модульный дискриминант )

Это может быть мотивировано просмотром каждого τ как представляющий класс изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая E над C является комплексным тором и поэтому может быть отождествлен с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка C. Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и τ ∈ ЧАС. Эта решетка соответствует эллиптической кривой ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\tau )x-g_{3}(\tau )}$ (видеть Эллиптические функции Вейерштрасса ).

Обратите внимание, что j определяется всюду в ЧАС поскольку модульный дискриминант отличен от нуля. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни.

Основной регион

Фундаментальная область модулярной группы, действующей в верхней полуплоскости.

Можно показать, что Δ это модульная форма веса двенадцать, и грамм₂ один имеет вес четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их частное и, следовательно, j, - модулярная функция нулевого веса, в частности голоморфная функция ЧАС → C инвариантен под действием SL (2, Z). Вычисление по центру {± I} дает модульная группа, который мы можем идентифицировать с проективная специальная линейная группа PSL (2, Z).

Подходящим выбором преобразования, принадлежащего этой группе,

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}$

мы можем уменьшить τ к значению, дающему такое же значение для j, и лежащий в фундаментальный регион за j, который состоит из значений для τ удовлетворяющие условиям

${\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}}$

Функция j(τ) при ограничении этой областью все еще принимает все значения в сложные числа C ровно один раз. Другими словами, для каждого c в C, в фундаментальной области существует единственный τ такой, что c = j(τ). Таким образом, j имеет свойство отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость.

Дополнительно два значения τ, τ '∈ЧАС произвести ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда т = Т (т ') для некоторых T ∈ PSL (2, Z). Это означает j обеспечивает биекцию из множества эллиптических кривых над C в комплексную плоскость.^[1]

Как риманова поверхность, фундаментальная область имеет род 0, и каждая модульная функция (уровня 1) является рациональная функция в j; и, наоборот, всякая рациональная функция из j является модульной функцией. Другими словами, поле модульных функций есть C(j).

Теория поля классов и j

В j-инвариант обладает многими замечательными свойствами:

• Если τ любая точка CM, то есть любой элемент мнимого квадратичное поле с положительной мнимой частью (так что j определено), то j(τ) является алгебраическое целое число.^[2] Эти специальные значения называются особые модули.
• Расширение поля Q[j(τ), τ]/Q(τ) абелева, то есть имеет абелев Группа Галуа.
• Позволять Λ быть решеткой в C создано {1, τ}. Легко видеть, что все элементы Q(τ) который исправить Λ при умножении образуют кольцо с единицами, называемое порядок. Остальные решетки с образующими {1, τ ′}, связаны аналогичным образом в том же порядке, определяют алгебраические сопряжения j(τ ′) из j(τ) над Q(τ). Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в Q(τ) кольцо целых алгебраических чисел Q(τ), а значения τ имея это как связанный с ним порядок, приводит к неразветвленные расширения из Q(τ).

Эти классические результаты являются отправной точкой для теории комплексное умножение.

Свойства трансцендентности

В 1937 г. Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат, что если τ - квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то j(τ) является целым алгебраическим числом. Кроме того, он доказал, что если τ является алгебраическое число но не мнимая квадратичная тогда j(τ) трансцендентен.

В j Функция имеет множество других трансцендентных свойств. Курт Малер предположил конкретный результат о трансцендентности, который часто называют гипотезой Малера, хотя он был доказан как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если τ находился в верхней полуплоскости тогда е^2πя и j(τ) никогда оба одновременно не были алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если е^2πя является алгебраическим, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны:

${\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}}$

В q-расширение и самогон

Несколько замечательных свойств j иметь дело с его q-расширение (Ряд Фурье расширение), записанный как Серия Laurent с точки зрения q = е^2πя (квадрат ном ), который начинается:

${\displaystyle j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+21493760q^{2}[phone]q^{3}[phone]q^{4}+\cdots }$

Обратите внимание, что j имеет простой полюс на куспиде, так что это q-расширение не имеет условий ниже q⁻¹.

Все коэффициенты Фурье целые числа, что приводит к нескольким почти целые числа, особенно Постоянная Рамануджана:

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744}$.

В асимптотическая формула для коэффициента q^п дан кем-то

${\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}\,n^{3/4}}}}$,

как может быть доказано Метод круга Харди – Литтлвуда.^[3][4]

Самогон

Что еще более интересно, коэффициенты Фурье для положительных показателей q - размеры градуированной части бесконечномерного градуированная алгебра представление группа монстров называется модуль самогона - в частности, коэффициент q^п размер сорта-п часть модуля самогона, первым примером является Алгебра грисса, имеющего размерность 196,884, что соответствует члену 196884q. Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джон Маккей, был отправной точкой для теория самогона.

Изучение гипотезы самогона привело к Джон Хортон Конвей и Саймон П. Нортон посмотреть на модулярные функции нулевого рода. Если они нормализованы, чтобы иметь вид

${\displaystyle q^{-1}+{O}(q)}$

тогда Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты.^[5]

Альтернативные выражения

У нас есть

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$

куда Икс = λ(1 − λ) и λ это модульная лямбда-функция

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}=k^{2}(\tau )}$

соотношение Тета-функции Якоби θ_м, - квадрат эллиптического модуля k(τ).^[6] Значение j не меняется, когда λ заменяется любым из шести значений перекрестное соотношение:^[7]

${\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace }$

Точки ветвления j находятся в {0, 1, ∞}, так что j это Функция Белого.^[8]

Выражения в терминах тета-функций

Определить ном q = е^πя и Тета-функция Якоби,

${\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$

из которого можно вывести вспомогательные тета-функции. Позволять,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

куда θ_м и ϑ_п альтернативные обозначения, и а⁴ − б⁴ + c⁴ = 0. Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\Delta &=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=4096\pi ^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=4096\pi ^{12}\eta (\tau )^{24}\end{aligned}}}$

за Инварианты Вейерштрасса грамм₂, грамм₃, и Функция Дедекинда эта η(τ). Затем мы можем выразить j(τ) в форме, которая может быть быстро вычислена.

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}}$

Алгебраическое определение

Пока мы рассматривали j как функция комплексной переменной. Однако как инвариант для классов изоморфизма эллиптических кривых он может быть определен чисто алгебраически.^[9] Позволять

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

- плоская эллиптическая кривая над любым полем. Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме у² = 4Икс³ − грамм₂Икс − грамм₃ (обратите внимание, что это преобразование может быть выполнено только в том случае, если характеристика поля не равна 2 или 3). Результирующие коэффициенты:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}}$

куда грамм₂ = c₄ и грамм₃ = c₆. У нас также есть дискриминант

${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.}$

В j-инвариант для эллиптической кривой теперь можно определить как

${\displaystyle j={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}}$

В случае, если поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно

${\displaystyle j=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.}$

Обратная функция

В обратная функция из j-инвариант может быть выражен через гипергеометрическая функция ₂F₁ (см. также статью Уравнение Пикара – Фукса ). Явно, учитывая число N, чтобы решить уравнение j(τ) = N за τ можно сделать как минимум четырьмя способами.

Способ 1: Решение секстический в λ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$

куда Икс = λ(1 − λ), и λ это модульная лямбда-функция так что секстик может быть решен как кубик в Икс. Потом,

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right)}}}$

для любого из шести значений λ.

Способ 2: Решение квартика в γ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {27\left(1+8\gamma \right)^{3}}{\gamma \left(1-\gamma \right)^{3}}}}$

тогда для любого из четырех корни,

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;\gamma \right)}}}$

Способ 3: Решение кубический в β,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {64\left(1+3\beta \right)^{3}}{\beta \left(1-\beta \right)^{2}}}}$

затем для любого из трех корней

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;\beta \right)}}}$

Метод 4: Решение квадратичный в α,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}}$

тогда,

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right)}}}$

Один корень дает τ, а другой дает −1/τ, но с тех пор j(τ) = j(−1/τ), не имеет значения, какой α выбран. Последние три метода можно найти в Рамануджан теория эллиптические функции альтернативным базам.

Инверсия применяется при высокоточных вычислениях периодов эллиптических функций, даже когда их отношения становятся неограниченными. Связанный с этим результат - выразимость через квадратичные радикалы значений j в точках мнимой оси, величина которых равна степени двойки (что позволяет конструкции компаса и линейки ). Последний результат вряд ли очевиден, так как модульное уравнение уровня 2 - кубический.

Формулы Пи

В Братья Чудновские найдено в 1987 г.,^[10]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}}$

который использует тот факт, что

${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}.}$

Подобные формулы см. В Рамануджан – Сато серия.

Особые ценности

В j-инвариант обращается в нуль на "углу" фундаментальная область в

${\displaystyle \quad J\left({\tfrac {1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)=0}$

Вот еще несколько специальных значений, представленных в альтернативных обозначениях J(τ) ≡ 1/1728 j(τ) (хорошо известны только первые четыре из них):

${\displaystyle {\begin{aligned}J(i)&=J\left({\tfrac {1+i}{2}}\right)=1\\J\left({\sqrt {2}}i\right)&=\left({\tfrac {5}{3}}\right)^{3}\\J(2i)&=\left({\tfrac {11}{2}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000}{7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}}\right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\right)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{32}}\left(5+3{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{2}\left(65+34{\sqrt {3}}+26{\sqrt {7}}+15{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-\left(1+{\frac {\sqrt {19}}{2}}\left({\sqrt {\tfrac {13-{\sqrt {93}}}{13+{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}}}+{\sqrt {\tfrac {13+{\sqrt {93}}}{13-{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\left(30+11{\sqrt {7}}+\left(6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}}+1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}}$

Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям

В ${\displaystyle j}$-инвариантность чувствительна только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем случае, алгебраически замкнутое поле. Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых ${\displaystyle j}$-инвариантно то же самое, но неизоморфно. Например, пусть ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ - эллиптические кривые, связанные с многочленами

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-25x\\E_{2}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-4x\end{aligned}}}$

как есть ${\displaystyle j}$-инвариантный ${\displaystyle 1728}$. Тогда рациональные точки ${\displaystyle E_{2}}$ можно вычислить как

${\displaystyle E_{2}(\mathbb {Q} )=\{\infty ,(2,0),(-2,0),(0,0)\}}$

поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}-4x&=x(x^{2}-4)\\&=x(x-2)(x+2)\end{aligned}}}$

и для ${\displaystyle y\neq 0}$, есть только иррациональные точки

${\displaystyle (x^{3}-4x-a^{2},a)}$

за ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$. Это можно показать с помощью Формула Кардано. С другой стороны, ${\displaystyle E_{1}(\mathbb {Q} )}$ содержит набор точек

${\displaystyle \{n(-4,6):n\in \mathbb {Z} \}\subset E_{1}(\mathbb {Q} )}$

поскольку уравнение ${\displaystyle E_{1}}$ дает уравнение

${\displaystyle 36n^{2}=-64n^{3}+100n}$

За ${\displaystyle n=0}$ есть решение ${\displaystyle (0,0)}$так что предположим ${\displaystyle n\neq 0}$. Затем, разделив уравнение на ${\displaystyle 4n}$ дает

${\displaystyle 9n=-16n^{2}+25}$

которое можно переписать в виде квадратного уравнения

${\displaystyle 16n^{2}+9n-25=0}$

Используя квадратичную формулу, это дает

${\displaystyle {\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot (-25)}}}{2\cdot 16}}={\frac {-9\pm 41}{32}}}$

следовательно, это рациональное число. Теперь, если рассматривать эти кривые над ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {10}})}$, существует изоморфизм ${\displaystyle E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))}$ отправка

${\displaystyle (x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y){\text{ where }}\mu ={\frac {\sqrt {10}}{2}}}$

Рекомендации

1. Гарет А. Джонс и Дэвид Сингерман. (1987) Комплексные функции: алгебраическая и геометрическая точки зрения. Кембридж UP. [1]
2. Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых. Тексты для выпускников по математике. 106. Springer-Verlag. п. 339. ISBN  978-0-387-96203-0. Zbl  0585.14026.
3. Петерссон, Ханс (1932). "Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen". Acta Mathematica. 58 (1): 169–215. Дои:10.1007 / BF02547776. МИСТЕР  1555346.
4. Радемахер, Ганс (1938). «Коэффициенты Фурье модулярного инварианта j (τ)». Американский журнал математики. 60 (2): 501–512. Дои:10.2307/2371313. JSTOR  2371313. МИСТЕР  1507331.
5. Камминс, Крис Дж. (2004). "Подгруппы конгруэнтности групп, соизмеримые с PSL(2,Z) $ рода 0 и 1 ". Экспериментальная математика. 13 (3): 361–382. Дои:10.1080/10586458.2004.10504547. ISSN  1058-6458. S2CID  10319627. Zbl  1099.11022.
6. Чандрасекхаран (1985) стр.108
7. Чандрасекхаран, К. (1985), Эллиптические функции, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 281, Springer-Verlag, п. 110, ISBN  978-3-540-15295-8, Zbl  0575.33001
8. Жирондо, Эрнесто; Гонсалес-Диез, Габино (2012), Введение в компактные римановы поверхности и детские рисунки, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 79, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, п. 267, ISBN  978-0-521-74022-7, Zbl  1253.30001
9. Ланг, Серж (1987). Эллиптические функции. Тексты для выпускников по математике. 112. Нью-Йорк и т. Д .: Springer-Verlag. С. 299–300. ISBN  978-1-4612-9142-8. Zbl  0615.14018.
10. Чудновский, Давид В.; Чудновский, Григорий В. (1989), «Вычисление классических констант», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 86 (21): 8178–8182, Дои:10.1073 / pnas.86.21.8178, ISSN  0027-8424, JSTOR  34831, ЧВК  298242, PMID  16594075.

• Апостол, Том М. (1976), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, Тексты для выпускников по математике, 41, Нью-Йорк: Springer-Verlag, МИСТЕР  0422157. Обеспечивает очень удобочитаемое введение и различные интересные личности.
  • Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, Тексты для выпускников по математике, 41 (2-е изд.), Дои:10.1007/978-1-4612-0999-7, ISBN  978-0-387-97127-8, МИСТЕР  1027834
• Берндт, Брюс С.; Чан, Хенг Хуат (1999), «Рамануджан и модульный j-инвариант» (PDF), Канадский математический бюллетень, 42 (4): 427–440, Дои:10.4153 / CMB-1999-050-1, МИСТЕР  1727340, заархивировано из оригинал (PDF) на 2007-09-29. Предоставляет множество интересных алгебраических тождеств, в том числе обратное в виде гипергеометрического ряда.
• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа вида x ^ 2 + ny ^ 2: Ферма, теория полей классов и комплексное умножение, Нью-Йорк: публикация Wiley-Interscience, John Wiley & Sons Inc., МИСТЕР  1028322 Вводит j-инвариант и обсуждает связанную теорию полей классов.
• Конвей, Джон Хортон; Нортон, Саймон (1979), «Чудовищный самогон», Бюллетень Лондонского математического общества, 11 (3): 308–339, Дои:10.1112 / blms / 11.3.308, МИСТЕР  0554399. Включает список из 175 модульных функций нулевого рода.
• Ранкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-21212-0, МИСТЕР  0498390. Краткий обзор в контексте модульных форм.
• Шнайдер, Теодор (1937), "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale", Математика. Annalen, 113: 1–13, Дои:10.1007 / BF01571618, МИСТЕР  1513075, S2CID  121073687.