Чудовищный самогон - Monstrous moonshine

В математика, чудовищный самогон, или же теория самогона, это неожиданная связь между группа монстров M и модульные функции, в частности, j функция. Термин был придуман Джон Конвей и Саймон П. Нортон в 1979 г.

Теперь известно, что за чудовищным самогоном лежит алгебра вершинных операторов называется модуль самогона (или алгебра вершин монстра), построенная Игорь Френкель, Джеймс Леповски, и Арне Меурман в 1988 году, когда группа монстров симметрии. Эта алгебра вершинных операторов обычно интерпретируется как структура, лежащая в основе двумерная конформная теория поля, позволяя физике стать мостом между двумя математическими областями. Предположения Конвея и Нортона были подтверждены Ричард Борчердс для модуля самогона в 1992 г. с использованием теорема без привидений из теория струн и теория алгебры вершинных операторов и обобщенные алгебры Каца – Муди.

История

В 1978 г. Джон Маккей обнаружил, что первые несколько терминов в Разложение Фурье нормализованных J-инвариантный (последовательность A014708 в OEIS ),

{ displaystyle J ( tau) = { frac {1} {q}} + 196884 {q} +21493760 {q} ^ {2} +864299970 {q} ^ {3} +20245856256 {q} ^ {4 } + cdots}

с ${ Displaystyle {д} = е ^ {2 пи я тау}}$ и τ как коэффициент полупериода можно выразить в терминах линейные комбинации из размеры из неприводимые представления ${ displaystyle r_ {n}}$ группы монстров M (последовательность A001379 в OEIS ) с малыми неотрицательными коэффициентами. Позволять ${ displaystyle r_ {n}}$ = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ... тогда,

{ displaystyle { begin {align} 1 & = r_ {1} 196884 & = r_ {1} + r_ {2} 21493760 & = r_ {1} + r_ {2} + r_ {3} 864299970 & = 2r_ {1} + 2r_ {2} + r_ {3} + r_ {4} 20245856256 & = 3r_ {1} + 3r_ {2} + r_ {3} + 2r_ {4} + r_ {5} & = 2r_ {1} + 3r_ {2} + 2r_ {3} + r_ {4} + r_ {6} 333202640600 & = 5r_ {1} + 5r_ {2} + 2r_ {3} + 3r_ {4} + 2r_ {5} + r_ {7} & = 4r_ {1} + 5r_ {2} + 3r_ {3} + 2r_ {4} + r_ {5} + r_ {6} + r_ {7} конец {выровнено}}}

(Поскольку между ${ displaystyle r_ {n}}$ Такие как ${ displaystyle r_ {1} -r_ {3} + r_ {4} + r_ {5} -r_ {6} = 0}$ , представление может быть более чем одним.) Маккей рассматривал это как свидетельство того, что существует естественная бесконечномерная градуированное представление из M, чей градуированный размер дается коэффициентами при J, и чьи части меньшего веса разлагаются на неприводимые представления, как указано выше. После того, как он сообщил Джон Г. Томпсон этого наблюдения Томпсон предположил, что, поскольку градуированная размерность - это просто градуированная след из элемент идентичности, градуированные следы нетривиальных элементов грамм из M на таком представлении тоже может быть интересно.

Конвей и Нортон вычислили младшие члены таких градуированных трасс, теперь известных как ряд Маккея – Томпсона. Т_грамм, и обнаружил, что все они оказались расширениями Хауптмодульн. Другими словами, если грамм_грамм является подгруппой SL₂(р) который исправляет Т_грамм, то частное из верхняя половина из комплексная плоскость к грамм_грамм это сфера с удалением конечного числа точек, и, кроме того, Т_грамм генерирует поле из мероморфные функции на этой сфере.

Основываясь на своих вычислениях, Конвей и Нортон составили список Hauptmoduln и предположили существование бесконечномерного градуированного представления M, чьи оцененные следы Т_грамм являются расширения именно функций из их списка.

В 1980 г. А. Оливер Л. Аткин, Пол Фонг и Стивен Д. Смит предоставили убедительные вычислительные доказательства существования такого градуированного представления, разложив большое количество коэффициентов J в представления M. Градуированное представление с градуированной размерностью J, называемый модулем самогона, был явно построен Игорь Френкель, Джеймс Леповски, и Арне Меурман, что дает эффективное решение гипотезы Маккея – Томпсона, а также определены градуированные следы для всех элементов в централизаторе инволюции M, частично опровергая гипотезу Конвея – Нортона. Кроме того, они показали, что векторное пространство они построили под названием Moonshine Module ${ Displaystyle V ^ { natural}}$ , имеет дополнительную структуру алгебра вершинных операторов, чей группа автоморфизмов точно M.

Борчердс доказал гипотезу Конвея – Нортона для модуля Moonshine в 1992 году. Он выиграл Медаль Филдса в 1998 году отчасти для решения этой гипотезы.

Модуль монстра

Конструкция Френкеля – Леповского – Меурмана начинается с двух основных инструментов:

Построение решеточной вершинной операторной алгебры V_L для даже решетка L ранга п. В физическом плане это киральная алгебра для бозонная струна уплотненный на тор р^п/L. Его можно примерно описать как тензорное произведение из групповое кольцо из L с представлением осциллятора в п размеры (который сам изоморфен кольцо многочленов в счетно бесконечно много генераторы ). Для рассматриваемого случая устанавливается L быть Решетка пиявки, имеющий 24 ранг.
В орбифолд строительство. С физической точки зрения это описывает бозонную струну, распространяющуюся по частное орбифолд. Конструкция Френкеля – Леповского – Меурмана была первым случаем появления орбифолдов в конформная теория поля. Прикреплен к –1 инволюция из Решетка пиявки, есть инволюция час из V_L, и неприводимый часскрученный V_Lмодуль, наследующий инволюционный подъем час. Чтобы получить модуль Moonshine, нужно взять подпространство с фиксированной точкой из час в прямой сумме V_L и это витой модуль.

Затем Френкель, Леповски и Меурман показали, что группа автоморфизмов модуля самогона как вершинная операторная алгебра является M. Кроме того, они определили, что градуированные следы элементов в подгруппе 2¹⁺²⁴.Co₁ соответствуют функциям, предсказанным Конвеем и Нортоном (Френкель, Леповски и Меурман (1988) ).

Доказательство Борчердса

Ричард Борчердс Доказательство гипотезы Конвея и Нортона можно разбить на следующие основные этапы:

Начнем с алгебры вершинных операторов V с инвариантной билинейной формой действие M автоморфизмами и известным разложением однородных пространств семи низших степеней на неприводимые M-представительства. Это было обеспечено конструкцией Френкеля-Леповски-Меурмана и анализом модуля Moonshine.
А Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ , называется монстр алгебра Ли, построен из V с использованием функтора квантования. Это обобщенная алгебра Ли Каца – Муди с действием монстра автоморфизмами. С использованием Теорема Годдарда – Торна об отсутствии призраков из теория струн, кратности корней оказываются коэффициентами при J.
Один использует тождество бесконечного произведения Койке – Нортона – Загира для построения обобщенной алгебры Ли Каца – Муди с помощью образующих и соотношений. Тождество доказывается с использованием того факта, что Операторы Гекке применительно к J дают многочлены от J.
Сравнивая кратности корней, можно обнаружить, что две алгебры Ли изоморфны, и, в частности, Формула знаменателя Вейля за ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ и есть тождество Койке – Нортона – Загьера.
С помощью Гомологии алгебр Ли и Операции Адамса, тождество скрученного знаменателя дается для каждого элемента. Эти тождества связаны с рядом Маккея – Томпсона. Т_грамм примерно так же, как тождество Койке – Нортона – Загьера связано с J.
Из тождеств со скрученным знаменателем следуют рекуррентные соотношения для коэффициентов при Т_грамм, а неопубликованная работа Койке показала, что функции-кандидаты Конвея и Нортона удовлетворяют этим рекурсивным отношениям. Эти отношения настолько сильны, что нужно только проверить соответствие первых семи членов функциям, данным Конвеем и Нортоном. Наинизшие члены даются разложением семи однородных пространств низшей степени, данных на первом шаге.

Таким образом, доказательство завершено (Борчердс (1992) ). Позднее было сказано, что Борчердс сказал: «Я был на седьмом небе от счастья, когда доказал гипотезу о самогоне», и «Иногда я задаюсь вопросом, возникает ли такое чувство, когда вы принимаете определенные наркотики. это моя теория ". (Робертс 2009, п. 361)

Более поздние работы упростили и прояснили последние шаги доказательства. Юрисич (Юрисич (1998), Юрисич, Леповски и Уилсон (1995) ) обнаружил, что вычисление гомологии можно существенно сократить, заменив обычное треугольное разложение алгебры Ли Монстров разложением в сумму gl₂ и две свободные алгебры Ли. Камминс и Ганнон показали, что рекурсивные соотношения автоматически подразумевают, что ряды Маккея-Томпсона либо Hauptmoduln, либо завершаются не более чем через 3 члена, что устраняет необходимость в вычислениях на последнем этапе.

Обобщенный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что, возможно, самогон не ограничивается монстром, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и для других групп.^[а] Хотя утверждения Конвея и Нортона не были очень конкретными, вычисления Ларисы Куин в 1980 году убедительно показали, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений неприводимых представлений спорадические группы. В частности, она разложила коэффициенты ряда Маккея-Томпсона на представления частичных чисел Монстра в следующих случаях:

Т_2B и Т_4А в представления Конвей группа Co₀
Т_3B и Т_6B в представления Группа Сузуки 3.2.Suz
Т_3C в представления Группа Томпсона Th = F₃
Т_5А в представления Группа Харада – Нортон HN = F₅
Т_5B и Т_10D в представления Холл – Янко группа 2.HJ
Т_7А в представления Проведенная группа Он = F₇
Т_7B и Т_14C в представления 2.А₇
Т_11А в представления Группа Матье 2.M₁₂

Queen обнаружила, что следы неидентификационных элементов также дают q-расширения Hauptmoduln, некоторые из которых не были сериями Маккея – Томпсона из Monster. В 1987 году Нортон объединил результаты Куина со своими собственными вычислениями, чтобы сформулировать гипотезу обобщенного самогона. Эта гипотеза утверждает, что существует правило, которое назначает каждому элементу грамм монстра, градуированное векторное пространство V(грамм), и каждой коммутирующей паре элементов (грамм, час) а голоморфная функция ж(грамм, час, τ) на верхняя полуплоскость, такое, что:

Каждый V(грамм) является градуированным проективным представлением централизатор из грамм в M.
Каждый ж(грамм, час, τ) - либо постоянная функция, либо Хауптмодуль.
Каждый ж(грамм, час, τ) инвариантно относительно одновременных спряжение из грамм и час в M, с точностью до скалярной неоднозначности.
Для каждого (грамм, час), есть подъемник час к линейное преобразование на V(грамм), такое что разложение ж(грамм, час, τ) задается градуированным следом.
Для любого ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} in operatorname {SL} _ {2} ( mathbf {Z})}$ , ${ displaystyle f left (g, h, { frac {a tau + b} {c tau + d}} right)}$ пропорционально ${ displaystyle f left (g ^ {a} h ^ {c}, g ^ {b} h ^ {d}, tau right)}$ .
ж(грамм, час, τ) пропорциональна J если и только если грамм = час = 1.

Это обобщение гипотезы Конвея – Нортона, поскольку теорема Борчердса касается случая, когда грамм установлен на личность.

Подобно гипотезе Конвея – Нортона, обобщенный самогон также имеет физическую интерпретацию, предложенную Диксоном – Гинспаргом – Харви в 1988 г. (Диксон, Гинспарг и Харви (1989) ). Они интерпретировали векторные пространства V(грамм) как закрученные секторы конформной теории поля с симметрией монстра, и интерпретировал функции ж(грамм, час, τ) как род один функции раздела, где тор образуется склейкой по скрученным граничным условиям. На математическом языке скрученные секторы представляют собой неприводимые скрученные модули, а статистические суммы назначаются эллиптическим кривым с главными монстр-расслоениями, тип изоморфизма которых описывается формулой монодромия вдоль основа из 1-циклы, т.е. пара коммутирующих элементов.

Модульный самогон

В начале 1990-х годов теоретик группы А. Дж. Рыба обнаружил замечательное сходство между частями таблица символов монстра, и Персонажи Брауэра определенных подгрупп. В частности, для элемента грамм высшего порядка п в монстре множество неприводимых персонажей элемента порядка КП чей kя сила грамм простые комбинации символов Брауэра для элемента порядка k в централизаторе грамм. Это числовое свидетельство явления, подобного чудовищному самогону, но представлений с положительной характеристикой. В частности, в 1994 году Рыба предположил, что для каждого простого множителя п в порядке монстра существует градуированная вершинная алгебра над конечным полем F_п с действием централизатора заказа п элемент грамм, так что градуированный персонаж Брауэра любого п-регулярный автоморфизм час совпадает с рядом Маккея-Томпсона для gh (Рыба (1996) ).

В 1996 году Борчердс и Рыба переосмыслили эту гипотезу как утверждение о Когомологии Тейта самодуальной интегральной формы ${ Displaystyle V ^ { natural}}$ . Эта интегральная форма не была известна, но они построили самодуальную форму над Z[1/2], что позволило им работать с нечетными простыми числами. п. Когомологии Тейта для элемента простого порядка естественно имеют структуру супервершинной алгебры над F_п, и они разделили задачу на простой шаг, приравнивающий градуированную супер-трассу Брауэра к ряду Маккея-Томпсона, и жесткий шаг, показывающий, что когомологии Тейта исчезают в нечетной степени. Они доказали утверждение об исчезновении малых нечетных простых чисел, перенеся результат об исчезновении из решетки Лича (Борчердс и Рыба (1996) ). В 1998 году Борчердс показал, что для остальных нечетных простых чисел имеет место обращение в нуль, используя комбинацию теории Ходжа и интегрального уточнения теорема без привидений (Борчердс (1998), Борчердс (1999) ).

Случай порядка 2 требует существования формы ${ Displaystyle V ^ { natural}}$ над 2-адическим кольцом, т. е. конструкцией, которая не делится на 2, о существовании которой в то время не было известно. Остается много дополнительных безответных вопросов, например, как гипотеза Рыбы должна быть обобщена на когомологии Тейта составных элементов порядка, а также природа любых связей с обобщенным самогоном и другими феноменами самогона.

Предполагаемая связь с квантовой гравитацией

В 2007, Э. Виттен Предполагается, что AdS / CFT корреспонденция приводит к двойственности чистой квантовой гравитации в (2 + 1) -мерном пространство анти де Ситтера и экстремальные голоморфные КТП. Чистая гравитация в 2 + 1 измерениях не имеет локальных степеней свободы, но когда космологическая постоянная отрицательна, в теории есть нетривиальное содержание из-за существования БТЗ черная дыра решения. Экстремальные КТП, введенные Г. Хёном, отличаются отсутствием первичных полей Вирасоро при низких энергиях, и модуль самогона является одним из примеров.

По предложению Виттена (Виттен (2007) ) гравитация в пространстве AdS с максимально отрицательной космологической постоянной является AdS / CFT двойственной голоморфной CFT с центральным зарядом с = 24, а статистическая сумма CFT в точности равна j-744, т.е. градуированный характер модуля самогона. Принимая гипотезу Френкеля-Леповского-Меурмана о том, что модуль самогона является единственной голоморфной ВОА с центральным зарядом 24 и характером j-744Виттен пришел к выводу, что чистая гравитация с максимально отрицательной космологической постоянной двойственна монстру CFT. Часть предложения Виттена состоит в том, что первичные поля Вирасоро двойственны операторам, создающим черные дыры, и в качестве проверки согласованности он обнаружил, что в пределе большой массы Бекенштейн-Хокинг квазиклассическая оценка энтропии для данной массы черной дыры согласуется с логарифмом соответствующей первичной множественности Вирасоро в модуле самогона. В режиме малой массы существует небольшая квантовая поправка к энтропии, например, первичные поля с наименьшей энергией дают ln (196883) ~ 12,19, тогда как оценка Бекенштейна – Хокинга дает 4π ~ 12,57.

Позднее работа уточнила предложение Виттена. Виттен предположил, что экстремальные КТП с большей космологической постоянной могут иметь симметрию монстра, во многом аналогичную минимальному случаю, но это было быстро исключено независимой работой Гайотто и Хёна. Работа Виттена и Мэлони (Мэлони и Виттен (2007) ) предположил, что чистая квантовая гравитация может не удовлетворять некоторым проверкам согласованности, связанным с ее статистической суммой, если только некоторые тонкие свойства сложных седел не работают благоприятно. Однако Ли – Сон – Строминджер (Ли, Сонг и Строминджер (2008) ) предположили, что киральная квантовая теория гравитации, предложенная Маншотом в 2007 году, может иметь лучшие свойства устойчивости, будучи двойственной киральной части монстра CFT, то есть вершинной алгебре монстра. Дункан – Френкель (Дункан и Френкель (2009) ) предоставил дополнительные доказательства этой двойственности, используя Суммы Радемахера произвести ряд Маккея – Томпсона как 2 + 1-мерные статистические суммы гравитации посредством регуляризованной суммы по глобальным геометриям изогении тора. Кроме того, они предположили существование семейства теорий скрученной киральной гравитации, параметризованных элементами монстра, предполагая связь с обобщенными суммами самогона и гравитационных инстантонов. В настоящее время все эти идеи все еще являются довольно умозрительными, отчасти потому, что трехмерная квантовая гравитация не имеет строгого математического обоснования.

Матье самогон

В 2010 году Тору Эгути, Хироси Оогури и Юджи Татикава заметили, что эллиптический род K3 поверхность можно разложить на символы N = (4,4) суперконформная алгебра, такие, что кратности массивные государства кажутся простыми комбинациями неприводимых представлений Матье группа М24. Это говорит о том, что существует сигма-модель. конформная теория поля с мишенью K3, имеющей симметрию M24. Однако по классификации Мукаи – Кондо нет верное действие этой группы на любой поверхности K3 формулой симплектические автоморфизмы, и, согласно работе Габердиля-Хохенеггера-Вольпато, нет точного воздействия на любую конформную теорию поля сигма-модели K3, поэтому появление действия на лежащей в основе Гильбертово пространство до сих пор остается загадкой.

По аналогии с рядом Маккея – Томпсона Ченг предположил, что оба функции множественности а градуированные следы нетривиальных элементов M24 образуют макет модульных форм. В 2012 году Гэннон доказал, что все кратности, кроме первой, неотрицательны. интегральные комбинации представлений M24, и Габердиль-Перссон-Ронелленфич-Вольпато вычислили все аналоги обобщенных функций самогона, убедительно предположив, что за самогоном Матье лежит некий аналог голоморфной конформной теории поля. Также в 2012 году Ченг, Дункан и Харви собраны числовые свидетельства темный самогон явление, при котором семейства фиктивных модульных форм кажутся прикрепленными к Решетки Нимейера. Частный случай А₁²⁴ решетка дает Матье Самогон, но в целом это явление еще не имеет геометрической интерпретации.

Происхождение термина

Термин «чудовищный самогон» был придуман Конвеем, который, когда сказал Джон Маккей в конце 1970-х годов коэффициент ${ displaystyle {q}}$ (а именно 196884) был ровно на единицу больше, чем степень наименьшего точного сложного представления группы монстров (а именно 196883), ответил, что это было "самогон "(в смысле безумной или глупой идеи).^[b] Таким образом, термин относится не только к группе монстров. M; это также относится к воспринимаемому безумию сложных отношений между M и теория модулярных функций.

Связанные наблюдения

Группу монстров исследовали в 1970-х годах математики Жан-Пьер Серр, Эндрю Огг и Джон Г. Томпсон; они изучили частное из гиперболическая плоскость к подгруппы SL₂(р), в частности, нормализатор Γ₀(п)⁺ из Подгруппа конгруэнции Гекке Γ₀ (п) в SL (2,р). Они обнаружили, что Риманова поверхность в результате частного гиперболическая плоскость автор: Γ₀(п)⁺ имеет род нуль если и только если п составляет 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71. Когда позже Огг услышал о группе монстров и заметил, что это были именно те главные факторы размером с M, он опубликовал газету, предлагающую бутылку Jack Daniels виски любому, кто сможет объяснить этот факт (Огг (1974) ).

Примечания

^ Конвей, Дж. И Нортон, С. «Чудовищный самогон», Таблица 2а, стр. 330, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.3704&rep=rep1&type=pdf
^ World Wide Words: самогон

Источники

Борчердс, Р. Э. (1998), "Модульный самогон III", Математический журнал герцога, 93 (1): 129–154, Дои:10.1215 / S0012-7094-98-09305-X.
Борчердс, Р. Э. (1999), "Формальная группа фальшивых монстров", Математический журнал герцога, 100 (1): 139–165, arXiv:математика / 9805123, Дои:10.1215 / S0012-7094-99-10005-6.
Borcherds, R.E .; Рыба, А. Дж. Э. (1996), "Модульный самогон II", Математический журнал герцога, 83 (2): 435–459, Дои:10.1215 / S0012-7094-96-08315-5.
Борчердс, Ричард (1992), "Чудовищный самогон и чудовищные супералгебры лжи" (PDF), Изобретать. Математика., 109: 405–444, Bibcode:1992InMat.109..405B, CiteSeerX 10.1.1.165.2714, Дои:10.1007 / bf01232032, МИСТЕР 1172696.
Конвей, Джон Хортон; Нортон, Саймон П. (1979). «Чудовищный самогон». Бык. Лондонская математика. Soc. 11 (3): 308–339. Дои:10.1112 / blms / 11.3.308. МИСТЕР 0554399..
Камминс, К.J .; Гэннон, Т. (1997). «Модулярные уравнения и свойство самогонных функций рода ноль». Изобретать. Математика. 129 (3): 413–443. Bibcode:1997InMat.129..413C. Дои:10.1007 / s002220050167..
Диксон, Л .; Ginsparg, P .; Харви, Дж. (1989), "Красавица и чудовище: суперконформная симметрия в модуле монстра", Comm. Математика. Phys., 119 (2): 221–241, Bibcode:1988CMaPh.119..221D, Дои:10.1007 / bf01217740.
Дю Сотуа, Маркус (2008), В поисках самогона, путешествие математика сквозь симметрию, Четвертое сословие, ISBN 978-0-00-721461-7
Дункан, Джон Ф. Р .; Френкель, Игорь Б. (2012), Суммы Радемахера, самогон и гравитация, arXiv:0907.4529, Bibcode:2009arXiv0907.4529D.
Френкель, Игорь Б .; Леповски, Джеймс; Меурман, Арне (1988). Алгебры вершинных операторов и монстр. Чистая и прикладная математика. Том 134. Академическая пресса. МИСТЕР 0996026..
Гэннон, Терри (2000), «Чудовищный самогон и классификация теорий конформного поля», в Saclioglu, Cihan; Тургут, Теоман; Нутку, Явуз (ред.), Конформная теория поля, новые непертурбативные методы в теории струн и поля, Cambridge Mass: Perseus Publishing, ISBN 0-7382-0204-5 (Дает вводные обзоры приложений в физике).
Гэннон, Терри (2006a). «Чудовищный самогон: первые двадцать пять лет». Бык. Лондонская математика. Soc. 38 (1): 1–33. arXiv:math.QA/0402345. Дои:10.1112 / S0024609305018217. МИСТЕР 2201600..
Гэннон, Терри (2006b), Самогон за гранью монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику, ISBN 978-0-521-83531-2.
Харада, Коитиро (1999), Монстр Iwanami Pub., (Первая книга о Группе монстров, написанная на японском языке), Паб Иванами, ISBN 4-00-006055-4 (Первая книга о Группе монстров, написанная на японском языке).
Харада, Коитиро (2010), "Самогон" конечных групп, Европейское математическое общество, ISBN 978-3-03719-090-6, МИСТЕР 2722318
Юрисич, Э .; Lepowsky, J .; Уилсон, Р.Л. (1995). "Реализации алгебры Ли монстров". Selecta Math. Новая серия. 1: 129–161. arXiv:hep-th / 9408037. Дои:10.1007 / bf01614075.
Юрисич, Елизавета (1998). «Обобщенные алгебры Ли Каца – Муди, свободные алгебры Ли и структура алгебры Ли Монстров». Jour. Чистый и Appl. Алгебра. 126 (1–3): 233–266. arXiv:1311.3258. Дои:10.1016 / s0022-4049 (96) 00142-9.
Ли, Вэй; Песня, Вэй; Строминджер, Эндрю (21 июля 2008 г.), "Хиральная гравитация в трех измерениях", Журнал физики высоких энергий, 2008 (4): 082, arXiv:0801.4566, Bibcode:2008JHEP ... 04..082L, Дои:10.1088/1126-6708/2008/04/082.
Мэлони, Александр; Песня, Вэй; Строминджер, Эндрю (2010), "Хиральная гравитация, логарифмическая гравитация и экстремальная CFT", Phys. Ред. D, 81 (6): 064007, arXiv:0903.4573, Bibcode:2010ПхРвД..81ф4007М, Дои:10.1103 / Physrevd.81.064007.
Мэлони, Александр; Виттен, Эдвард (2010), "Функции разделения квантовой гравитации в трех измерениях", J. Физика высоких энергий., 2010 (2): 29, arXiv:0712.0155, Bibcode:2010JHEP ... 02..029M, Дои:10.1007 / JHEP02 (2010) 029, МИСТЕР 2672754.
Огг, Эндрю П. (1974), "Модульные автоморфизмы" (PDF), Семинар Деланж-Пизо-Пуату. Theorie des nombres, том 16, вып. 1 (1974–1975), эксп. нет. 7 (На французском), МИСТЕР 0417184.
Робертс, Шивон (2009), Король бесконечного пространства: Дональд Кокстер, человек, спасший геометрию, Bloomsbury Publishing USA, стр. 361, ISBN 978-080271832-7.
Ронан, Марк (2006), Симметрия и чудовище, Издательство Оксфордского университета, ISBN 978-0-19-280723-6 (Краткое введение для непрофессионального читателя).
Рыба, А. Дж. Э. (1996), «Модульный самогон?», Мейсон, Джеффри; Донг, Чонъин (ред.), Самогон, Монстр и связанные темы, Современная математика, 193, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 307–336.
Виттен, Эдвард (22 июня 2007 г.), Возвращение к трехмерной гравитации, arXiv:0706.3359, Bibcode:2007arXiv0706.3359W.

внешняя ссылка

Библиография самогона на Wayback Machine (архивировано 5 декабря 2006 г.)

[1] Конвей, Дж. И Нортон, С. «Чудовищный самогон», Таблица 2а, стр. 330, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.3704&rep=rep1&type=pdf

[2] World Wide Words: самогон

[а]

[b]