Поле Якоби - Jacobi field

В Риманова геометрия, а Поле Якоби это векторное поле вдоль геодезический ${\displaystyle \gamma }$ в Риманово многообразие описывающий разницу между геодезической и «бесконечно близкой» геодезической. Другими словами, поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к геодезической в ​​пространстве всех геодезических. Они названы в честь Карл Якоби.

Определения и свойства

Поля Якоби можно получить следующим образом. гладкий однопараметрическое семейство геодезических ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ с ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$, тогда

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}}$

является полем Якоби и описывает поведение геодезических в бесконечно малой окрестности данной геодезической ${\displaystyle \gamma }$.

Векторное поле J по геодезической ${\displaystyle \gamma }$ считается Поле Якоби если он удовлетворяет Уравнение Якоби:

${\displaystyle {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J(t)+R(J(t),{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0,}$

куда D обозначает ковариантная производная с уважением к Леви-Чивита связь, р в Тензор кривизны Римана, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)=d\gamma (t)/dt}$ касательное векторное поле, и т - параметр геодезической. полный Риманово многообразие, для любого поля Якоби существует семейство геодезических ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ описание поля (как в предыдущем абзаце).

Уравнение Якоби - это линейный, второго порядка обыкновенное дифференциальное уравнение; в частности, значения ${\displaystyle J}$ и ${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J}$ в одной точке ${\displaystyle \gamma }$ однозначно определяют поле Якоби. Кроме того, множество полей Якоби вдоль данной геодезической образует вещественную векторное пространство размерности в два раза превышающей размер коллектора.

В качестве тривиальных примеров полей Якоби можно рассматривать ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ и ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$. Они соответствуют, соответственно, следующим семействам повторных параметризаций: ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma (\tau +t)}$ и ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma ((1+\tau )t)}$.

Любое поле Якоби ${\displaystyle J}$ можно однозначно представить в виде суммы ${\displaystyle T+I}$, куда ${\displaystyle T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)}$ является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби и ${\displaystyle I(t)}$ ортогонален ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, для всех ${\displaystyle t}$. Поле ${\displaystyle I}$ тогда соответствует той же вариации геодезических, что и ${\displaystyle J}$, только с измененными параметризациями.

Мотивирующий пример

На сфера, то геодезические через Северный полюс проходят большие круги. Рассмотрим две такие геодезические ${\displaystyle \gamma _{0}}$ и ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ с натуральным параметром, ${\displaystyle t\in [0,\pi ]}$, разделенные углом ${\displaystyle \tau }$. Геодезическое расстояние

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,}$

является

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\sin ^{-1}{\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\tan ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.}$

Вычисление этого требует знания геодезических. Самая интересная информация заключается в том, что

${\displaystyle d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0\,}$, для любого ${\displaystyle \tau }$.

Вместо этого мы можем рассмотреть производная относительно ${\displaystyle \tau }$ в ${\displaystyle \tau =0}$:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.}$

Обратите внимание, что мы все еще обнаруживаем пересечение геодезических на ${\displaystyle t=\pi }$. Обратите внимание, что для вычисления этой производной нам на самом деле не нужно знать

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,}$,

скорее, все, что нам нужно сделать, это решить уравнение

${\displaystyle y''+y=0\,}$,

для некоторых заданных исходных данных.

Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления на произвольные Римановы многообразия.

Решение уравнения Якоби

Позволять ${\displaystyle e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|}$ и завершите это, чтобы получить ортонормированный основа ${\displaystyle {\big \{}e_{i}(0){\big \}}}$ в ${\displaystyle T_{\gamma (0)}M}$. Параллельный транспорт это получить основу ${\displaystyle \{e_{i}(t)\}}$ все это время ${\displaystyle \gamma }$. Это дает ортонормированный базис с ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|}$. Поле Якоби может быть записано в координатах в терминах этого базиса как ${\displaystyle J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)}$ и поэтому

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),}$

а уравнение Якоби можно переписать в виде системы

${\displaystyle {\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0}$

для каждого ${\displaystyle k}$. Таким образом, мы получаем линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ). Поскольку это ODE имеет гладкий коэффициенты у нас есть решения для всех ${\displaystyle t}$ и уникальны, учитывая ${\displaystyle y^{k}(0)}$ и ${\displaystyle {y^{k}}'(0)}$, для всех ${\displaystyle k}$.

Примеры

Рассмотрим геодезическую ${\displaystyle \gamma (t)}$ с параллельной ортонормированной рамой ${\displaystyle e_{i}(t)}$, ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|}$, построенный, как указано выше.

• Векторные поля вдоль ${\displaystyle \gamma }$ данный ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ и ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ - поля Якоби.
• В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянного нуля секционная кривизна ) Поля Якоби - это просто те поля, линейные по ${\displaystyle t}$.
• Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны ${\displaystyle -k^{2}}$, любое поле Якоби является линейной комбинацией ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ и ${\displaystyle \exp(\pm kt)e_{i}(t)}$, куда ${\displaystyle i>1}$.
• Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны ${\displaystyle k^{2}}$, любое поле Якоби является линейной комбинацией ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle \sin(kt)e_{i}(t)}$ и ${\displaystyle \cos(kt)e_{i}(t)}$, куда ${\displaystyle i>1}$.
• Ограничение Векторное поле убийства к геодезической - это поле Якоби в любом римановом многообразии.

Смотрите также

• Сопряженные точки
• Уравнение геодезического отклонения
• Теорема сравнения Рауха
• Поле Н-Якоби

Рекомендации

• Манфреду Пердиган ду Карму. Риманова геометрия. Перевод со второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Математика: теория и приложения. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1992. xiv + 300 с. ISBN  0-8176-3490-8
• Джефф Чигер и Дэвид Г. Эбин. Теоремы сравнения в римановой геометрии. Переиздание оригинала 1975 года. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. x + 168 с. ISBN  978-0-8218-4417-5
• Шошичи Кобаяси и Кацуми Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. Vol. II. Перепечатка оригинала 1969 года. Библиотека Wiley Classics. Публикация Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1996. xvi + 468 с. ISBN  0-471-15732-5
• Барретт О'Нил. Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Чистая и прикладная математика, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii + 468 с. ISBN  0-12-526740-1