Леви-Чивита связь - Levi-Civita connection

В Риманов или же псевдориманова геометрия (в частности Лоренцева геометрия из общая теория относительности ), Леви-Чивита связь уникальный связь на касательный пучок из многообразие (т.е. аффинная связь ) который сохраняет (псевдо- )Риманова метрика и является кручение -свободный.

В основная теорема римановой геометрии утверждает, что существует уникальное соединение, которое удовлетворяет этим свойствам.

В теории Риманов и псевдоримановы многообразия период, термин ковариантная производная часто используется для соединения Леви-Чивита. Компоненты этой связи относительно системы локальных координат называются Символы Кристоффеля.

История

Связь Леви-Чивита названа в честь Туллио Леви-Чивита, хотя первоначально "обнаружен" Элвин Бруно Кристоффель. Леви-Чивита,^[1] вместе с Грегорио Риччи-Курбастро, использовал символы Кристоффеля^[2] определить понятие параллельный транспорт и исследуем взаимосвязь параллельного транспорта с кривизна, развивая современное понятие голономия.^[3]

Представления Леви-Чивиты о внутренняя производная и параллельное перемещение вектора вдоль кривой имеет смысл на абстрактном римановом многообразии, даже если исходная мотивация опиралась на конкретное вложение

${\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{\frac {n(n+1)}{2}},}$

поскольку определение символов Кристоффеля имеет смысл в любом римановом многообразии. В 1869 году Кристоффель обнаружил, что компоненты внутренней производной вектора преобразуются как компоненты контравариантного вектора. Это открытие стало настоящим началом тензорного анализа. Только в 1917 году Леви-Чивита интерпретировал внутреннюю производную в случае вложенной поверхности как касательную составляющую обычной производной в окружающем аффинном пространстве.

Замечание

В 1906 г. Л. Э. Дж. Брауэр был первым математик рассмотреть параллельный транспорт из вектор в случае пространства постоянная кривизна.^[4][5] В 1917 г. Леви-Чивита указал на его важность для случая гиперповерхность погруженный в Евклидово пространство, т.е. для случая Риманово многообразие встроен в «большее» окружающее пространство.^[1] В 1918 году, независимо от Леви-Чивиты, Ян Арнольдус Схоутен получил аналогичные результаты.^[6] В том же году, Герман Вейль обобщил результаты Леви-Чивиты.^[7][8]

Обозначение

• (M, грамм) обозначает Риманов или же псевдориманово многообразие.
• TM это касательный пучок из M.
• грамм это Риманов или же псевдориманова метрика из M.
• Икс, Y, Z гладкие векторные поля на M, я. е. гладкий разделы из TM.
• [Икс, Y] это Кронштейн лжи из Икс и Y. Это снова гладкое векторное поле.

Метрика грамм может принимать до двух векторов или векторных полей Икс, Y как аргументы. В первом случае на выходе будет число, (псевдо)внутренний продукт из Икс и Y. В последнем случае внутренний продукт Икс_п, Y_п берется во всех точках п на коллекторе так, чтобы грамм(Икс, Y) определяет гладкую функцию на M. Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы на гладких функциях. В местных координатах ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$, действие гласит

${\displaystyle X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _{i}f}$

куда Эйнштейна соглашение о суммировании используется.

Формальное определение

An аффинная связь ∇ называется связностью Леви-Чивиты, если

1. он сохраняет метрику, т.е. ∇грамм = 0.
2. это кручение -свободный, т.е. для любых векторных полей Икс и Y у нас есть ∇_ИксY − ∇_YИкс = [Икс, Y], куда [Икс, Y] это Кронштейн лжи из векторные поля Икс и Y.

Условие 1 выше иногда называют совместимость с метрикой, а условие 2 иногда называют симметрией, ср. Текст ду Карму.

Основная теорема (псевдо) римановой геометрии

Основная статья: Основная теорема римановой геометрии

Теорема Каждое псевдориманово многообразие ${\displaystyle (M,g)}$ имеет уникальное соединение Леви Чивита ${\displaystyle \nabla }$.

доказательство: Если соединение Леви-Чивита существует, оно должно быть уникальным. Чтобы убедиться в этом, разгадайте определение действия связи на тензоры, чтобы найти

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).}$

Следовательно, мы можем записать условие 1 в виде

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).}$

По симметрии метрического тензора ${\displaystyle g}$ затем мы находим:

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).}$

Следовательно, по условию 2 правая часть равна

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X),}$

и мы находим Кошул формула

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Big \}}.}$

Следовательно, если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной, потому что ${\displaystyle Z}$ произвольно, ${\displaystyle g}$ невырожден, и правая часть не зависит ${\displaystyle \nabla }$.

Чтобы доказать существование, отметим, что для данного векторного поля ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, правая часть выражения Кошуля является функционально-линейной в векторном поле ${\displaystyle Z}$, а не просто линейный. Следовательно, в силу невырожденности ${\displaystyle g}$, правая часть однозначно определяет некоторое новое векторное поле, которое мы предположительно обозначаем ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ как в левой части. Подставляя формулу Кошуля, теперь проверяется, что для всех векторных полей ${\displaystyle X,Y,Z}$, и все функции ${\displaystyle f}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X}Y_{2},Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).}$

Следовательно, выражение Кошуля действительно определяет связь, и эта связь совместима с метрикой и не имеет кручения, то есть является (следовательно, связностью Леви-Чивиты).

Обратите внимание, что с небольшими изменениями это же доказательство показывает, что существует единственная связность, совместимая с метрикой и имеющая заданное кручение.

Символы Кристоффеля

Позволять ${\displaystyle \nabla }$ - аффинная связность на касательном расслоении. Выберите местные координаты ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ с координатными базисными векторными полями ${\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n}}$ и писать ${\displaystyle \nabla _{j}}$ за ${\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}}$. В Символы Кристоффеля ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}}$ из ${\displaystyle \nabla }$ относительно этих координат определяются как

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}}$

Символы Кристоффеля, наоборот, определяют связь ${\displaystyle \nabla }$ в координатной окрестности, потому что

${\displaystyle \nabla _{X}Y=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}Y=X^{j}\nabla _{j}Y=X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}}$

т.е.

${\displaystyle (\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}$

Аффинная связь ${\displaystyle \nabla }$ совместима с метрикой тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j},\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l},\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})}$

т.е. если и только тогда

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.}$

Аффинная связь ∇ без кручения тогда и только тогда

${\displaystyle \nabla _{i}\partial _{j}-\nabla _{j}\partial _{i}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l})\partial _{l}=[\partial _{i},\partial _{j}]=0.}$

т.е. если и только тогда

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}}$

симметричен по двум нижним индексам.

Как проверяют, принимая за ${\displaystyle X,Y,Z}$, координатные векторные поля ${\displaystyle \partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}}$ (или вычисляет напрямую), полученное выше выражение Кошуля связи Леви-Чивиты эквивалентно определению символов Кристоффеля в терминах метрики как

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)}$

где как обычно ${\displaystyle g^{ij}}$ - коэффициенты двойственного метрического тензора, т.е. элементы обратной матрицы ${\displaystyle g_{kl}}$.

Производная по кривой

Связность Леви-Чивита (как и любая аффинная связность) также определяет производную по кривые, иногда обозначается D.

Учитывая плавную кривую γ на (M, грамм) и векторное поле V вдоль γ его производная определяется как

${\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$

Формально, D это обратное соединение γ*∇ на обратный пакет γ*TM.

Особенно, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ векторное поле вдоль кривой γ сам. Если ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$ обращается в нуль, кривая называется геодезической ковариантной производной. Формально условие можно переформулировать как исчезновение обратной связи, применяемое к ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$:

${\displaystyle \left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.}$

Если ковариантная производная является связностью Леви-Чивиты некоторой метрики, то геодезические для этой связности - это в точности те, которые геодезические из метрика которые параметризованы пропорционально длине дуги.

Параллельный транспорт

В целом, параллельный транспорт вдоль кривой относительно соединения определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривой. Если связность является связностью Леви-Чивиты, то эти изоморфизмы ортогональный - то есть они сохраняют скалярные произведения в различных касательных пространствах.

На изображениях ниже показан параллельный перенос связи Леви-Чивиты, связанный с двумя разными римановыми метриками на плоскости, выраженный в полярные координаты. Метрика левого изображения соответствует стандарту Евклидова метрика ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$, а метрика справа имеет стандартный вид в полярных координатах и, таким образом, сохраняет вектор ${\displaystyle {\partial \over \partial \theta }}$ касательная к окружности. Эта вторая метрика имеет сингулярность в начале координат, что можно увидеть, выразив ее в декартовых координатах:

${\displaystyle dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

${\displaystyle d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$

Параллельные перевозки под соединениями Леви-Чивита

Этот транспорт определяется метрикой ${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$.

Этот транспорт определяется метрикой ${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}}$.

Пример: единичная сфера в р³

Позволять ⟨ , ⟩ быть обычным скалярное произведение на р³. Позволять S² быть единичная сфера в р³. Касательное пространство к S² в какой-то момент м естественно отождествляется с векторным подпространством р³ состоящий из всех векторов, ортогональных м. Отсюда следует, что векторное поле Y на S² можно рассматривать как карту Y : S² → р³, что удовлетворяет

${\displaystyle {\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.}$

Обозначим как d_мY(Икс) в ковариантная производная карты Y в направлении вектора Икс. Тогда у нас есть:

Лемма: Формула

${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X)+\langle X(m),Y(m)\rangle m}$

определяет аффинную связь на S² с исчезающим кручением.

Доказательство: Несложно доказать, что ∇ удовлетворяет тождеству Лейбница и является C^∞(S²) линейный по первой переменной. Это также простое вычисление, чтобы показать, что это соединение не имеет кручения. Итак, все, что здесь нужно доказать, - это то, что приведенная выше формула действительно определяет векторное поле. То есть нам нужно доказать, что для всех м в S²

${\displaystyle {\bigl \langle }\left(\nabla _{X}Y\right)(m),m{\bigr \rangle }=0\qquad (1).}$

Рассмотрим карту ж который отправляет каждый м в S² к ⟨Y(м), м⟩, который всегда равен 0. Карта ж постоянно, следовательно, его дифференциал равен нулю. Особенно

${\displaystyle d_{m}f(X)={\bigl \langle }d_{m}Y(X),m{\bigr \rangle }+{\bigl \langle }Y(m),X(m){\bigr \rangle }=0.}$

Уравнение (1) выше следует. Q.E.D.

Фактически эта связь является связностью Леви-Чивиты для метрики на S² унаследовано от р³. Действительно, можно проверить, что эта связь сохраняет метрику.

Смотрите также

• Связь Weitzenböck

Примечания

1. Леви-Чивита, Туллио (1917). "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque" [Понятие параллелизма на любом многообразии]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском). 42: 173–205. Дои:10.1007 / BF03014898. JFM  46.1125.02.
2. Кристоффель, Элвин Б. (1869). "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1869 (70): 46–70. Дои:10.1515 / crll.1869.70.46.
3. Видеть Спивак Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том II). Опубликовать или исчезнуть Press. п. 238. ISBN  0-914098-71-3.
4. Брауэр, Л. Э. Дж. (1906). "Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten". Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Верслаген. 15: 75–94.
5. Брауэр, Л. Э. Дж. (1906). «Силовое поле неевклидовых пространств с отрицательной кривизной». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Труды. 9: 116–133.
6. Схоутен, Ян Арнольдус (1918). "Die direkte Analysis zur neueren Relativiteitstheorie". Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen Te Amsterdam. 12 (6): 95.
7. Вейль, Германн (1918). «Гравитация и электричество». Sitzungsberichte Berliner Akademie: 465–480.
8. Вейль, Герман (1918). "Инфинитезимальная геометрия Рейне". Mathematische Zeitschrift. 2 (3–4): 384–411. Дои:10.1007 / bf01199420.

Рекомендации

• Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию. Академическая пресса. ISBN  0-12-116052-1.
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии. Джон Вили и сыновья. ISBN  0-470-49647-9. См. Том I. стр. 158

внешняя ссылка

• «Связь Леви-Чивита», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• MathWorld: Связь Леви-Чивита
• PlanetMath: Связь Леви-Чивита
• Леви-Чивита связь в Manifold Atlas