Гомологии Хованова - Khovanov homology

В математика, Гомологии Хованова ориентированный инвариант связи это возникает как гомология из цепной комплекс. Это можно рассматривать как категоризация из Многочлен Джонса.

Он был разработан в конце 1990-х гг. Михаил Хованов, затем на Калифорнийский университет в Дэвисе, сейчас на Колумбийский университет.

Обзор

К любой схеме ссылок D представляющий связь L, мы назначаем Кронштейн Хованова [D], а цепной комплекс из градуированные векторные пространства. Это аналог Кронштейн Кауфмана в строительстве Многочлен Джонса. Далее мы нормализуем [D] серией градусных сдвигов (в градуированные векторные пространства ) и высотные сдвиги (в цепной комплекс ) для получения нового цепного комплекса C(D). В гомология этого цепного комплекса оказывается инвариантный из L, и его оценили Эйлерова характеристика является многочленом Джонса от L.

Определение

Это определение следует формализму, данному в Дрор Бар-Натан газета 2002 г.

Позволять {л} обозначают сдвиг на градус операция над градуированными векторными пространствами, то есть однородный компонент в размерности м сдвигается до измерениям + л.

Аналогично, пусть [s] обозначают смещение высоты работа на цепных комплексах, т. е. рth векторное пространство или же модуль в комплексе сдвинута вдоль (р + s) -е место, со всеми дифференциальные карты соответственно смещается.

Позволять V быть градуированным векторным пространством с одним образующим q степени 1, и один генератор q⁻¹ степени −1.

Теперь возьмем произвольную диаграмму D представляющий ссылку L. Аксиомы для Кронштейн Хованова являются следующими:

1. [ø] = 0 → Z → 0, где ø обозначает пустую ссылку.
2. [О D] = V ⊗ [D], где O обозначает несвязанный тривиальный компонент.
3. [D] = F(0 → [D₀] → [D₁]{1} → 0)

В третьем из них F обозначает операцию "сплющивания", когда единый комплекс образуется из двойной комплекс проводя прямые суммы по диагоналям. Также, D₀ обозначает "0-сглаживание" выбранного перекрестка в D, и D₁ обозначает "1-сглаживание" аналогично отношение мотков для скобки Кауфмана.

Далее строим "нормализованный" комплекс C(D) = [D][−п₋]{п₊ − 2п₋}, куда п₋ обозначает количество левых перекрестков на выбранной диаграмме для D, и п₊ количество правосторонних переходов.

В Гомологии Хованова из L тогда определяется как гомологии ЧАС(L) этого комплекса C(D). Оказывается, гомологии Хованова действительно инвариант L, и не зависит от выбора диаграммы. Градуированная эйлерова характеристика ЧАС(L) оказывается многочленом Джонса от L. Тем не мение, ЧАС(L) содержит больше информации о L чем Многочлен Джонса, но точные детали еще полностью не изучены.

В 2006 г. Дрор Бар-Натан разработал компьютерную программу для вычисления гомологии (или категории) Хованова для любого узла.^[1]

Связанные теории

Одним из наиболее интересных аспектов гомологии Хованова является то, что ее точные последовательности формально подобны последовательностям, возникающим в Гомология Флоера из 3-х коллектор. Более того, он был использован для получения другого доказательства результата, впервые продемонстрированного с использованием калибровочная теория и его кузенов: новое доказательство Якоба Расмуссена теоремы Питер Кронхаймер и Томаш Мровка, ранее известный как Гипотеза Милнора (Смотри ниже). Существует спектральная последовательность связывая гомологии Хованова с узел гомологии Флора из Питер Озсват и Золтан Сабо (Даулин 2018).^[2] Эта спектральная последовательность обосновала более раннюю гипотезу о связи между двумя теориями (Dunfield et al. 2005). Другая спектральная последовательность (Ozsváth-Szabó 2005) связывает вариант гомологий Хованова с гомологиями Хегора Флора разветвленных двойная крышка вдоль узла. Третья (Bloom 2009) сходится к варианту монопольной гомологии Флоера разветвленного двойного покрытия. В 2010 году Кронхеймер и Мровка ^[3] продемонстрировали спектральную последовательность, примыкающую к их группе гомологий Флоера инстантонного узла, и использовали это, чтобы показать, что гомология Хованова (как гомология Флоера инстантонного узла) обнаруживает неузел.

Гомологии Хованова связаны с теорией представлений Алгебра Ли сл₂. Михаил Хованов и Лев Розанский с тех пор определили когомология теории, связанные с SL_п для всех п. В 2003 г. Катарина Строппель расширенные гомологии Хованова до инварианта связок (категорированная версия инвариантов Решетихина-Тураева), которые также обобщаются на sl_п для всех п. Пол Зайдель и Иван Смит построили теорию гомологий одноуровневых узлов, используя лагранжевы пересечения Гомология Флоера, который, как они предполагают, изоморфен однократной градуированной версии гомологии Хованова. Чиприан Манолеску с тех пор упростил их конструкцию и показал, как восстановить многочлен Джонса из цепного комплекса, лежащего в основе его версии Инвариант Зейделя-Смита.

Связь с полиномами зацепления (узла)

В Международный конгресс математиков в 2006 году Михаил Хованов дал следующее объяснение связи с узловыми многочленами с точки зрения гомологии Хованова. В отношение мотков для трех ссылок ${\displaystyle L_{1},L_{2}}$ и ${\displaystyle L_{3}}$ описывается как

${\displaystyle \lambda P(L_{1})-\lambda ^{-1}P(L_{2})=(q-q^{-1})P(L_{3}).}$

Подстановка ${\displaystyle \lambda =q^{n},n\leq 0}$ приводит к полиномиальному инварианту зацепления ${\displaystyle P_{n}(L)\in \mathbb {Z} [q,q^{-1}]}$, нормализованная так, чтобы

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(unknot)&=q^{n-1}+q^{n-3}+\cdots +q^{1-n}&&n>0\\P_{0}(unknot)&=1\end{aligned}}}$

За ${\displaystyle n>0}$ многочлен ${\displaystyle P_{n}(L)}$ можно интерпретировать через теория представлений из квантовая группа ${\displaystyle sl(n)}$ и ${\displaystyle P_{0}(L)}$ через квантовую Ли супералгебра ${\displaystyle U_{q}(gl(1|1))}$.

• В Полином александра ${\displaystyle P_{0}(L)}$ это Эйлерова характеристика теории гомологий биградуированных узлов.
• ${\displaystyle P_{1}(L)=1}$ тривиально.
• В Многочлен Джонса ${\displaystyle P_{2}(L)}$ является эйлеровой характеристикой теории гомологий биградуированных зацеплений.
• Целиком Полином ХОМФЛИ-ПТ - эйлерова характеристика теории гомологий тройного зацепления.

Приложения

Первое применение гомологии Хованова было предоставлено Якобом Расмуссеном, который определил s-инвариантный используя гомологии Хованова. Этот целочисленный инвариант узла дает оценку род срезов, и этого достаточно для доказательства Гипотеза Милнора.

В 2010, Kronheimer и Mrowka доказал, что гомологии Хованова обнаруживают развязанный. Категорифицированная теория содержит больше информации, чем некатегориальная теория. Хотя гомология Хованова обнаруживает узел, еще не известно, Многочлен Джонса делает.

Примечания

1. New Scientist 18 октября 2008 г.
2. Даулин, Натан (19.11.2018). «Спектральная последовательность от гомологий Хованова до узловых гомологий Флора». arXiv:1811.07848 [math.GT ].
3. Кронхеймер, Питер Б .; Мровка, Томаш (2011). «Гомологии Хованова - это детектор узлов». Publ. Математика. Inst. Hautes Études Sci. 113: 97–208. arXiv:1005.4346. Дои:10.1007 / s10240-010-0030-у. S2CID  119586228.

Рекомендации

• Бар-Натан, Дрор (2002), «О категоризации Хованова полинома Джонса», Алгебраическая и геометрическая топология, 2: 337–370, arXiv:math.QA/0201043, Bibcode:2002математика ...... 1043B, Дои:10.2140 / agt.2002.2.337, МИСТЕР  1917056, S2CID  11754112.
• Блум, Джонатан М. (2011), "Спектральная последовательность перестройки звена в монопольных гомологиях Флоера", Успехи в математике, 226 (4): 3216–3281, arXiv:0909.0816, Дои:10.1016 / j.aim.2010.10.014, МИСТЕР  2764887, S2CID  11791207.
• Данфилд, Натан М .; Гуков Сергей; Расмуссен, Джейкоб (2006), «Суперполином для гомологий узлов», Экспериментальная математика, 15 (2): 129–159, arXiv:math.GT/0505662, Дои:10.1080/10586458.2006.10128956, МИСТЕР  2253002, S2CID  3060662.
• Хованов Михаил (2000), "Категоризация полинома Джонса", Математический журнал герцога, 101 (3): 359–426, arXiv:math.QA/9908171, Дои:10.1215 / S0012-7094-00-10131-7, МИСТЕР  1740682, S2CID  119585149.
• Хованов Михаил (2006), «Гомология звеньев и категоризация», Международный конгресс математиков. Vol. II, Цюрих: Европейское математическое общество, стр. 989–999, arXiv:math.GT/0605339, МИСТЕР  2275632.
• Озсват, Питер; Сабо, Золтан (2005), «О гомологиях Хегора Флоера разветвленных двойных накрытий», Успехи в математике, 194 (1): 1–33, arXiv:math.GT/0309170, Дои:10.1016 / j.aim.2004.05.008, МИСТЕР  2141852, S2CID  17245314.
• Строппель, Катарина (2005), "Категоризация категории Темперли-Либа, связок и кобордизмов с помощью проективных функторов", Математический журнал герцога, 126 (3): 547–596, CiteSeerX  10.1.1.586.3553, Дои:10.1215 / S0012-7094-04-12634-X, МИСТЕР  2120117.

внешняя ссылка

• Гомологии Хованова - детектор узлов. Kronheimer и Mrowka
• Рукописные слайды выступления М. Хованова
• "Хованов Гомологии ", Узел Атлас.