Супералгебра - Superalgebra

В математика и теоретическая физика, а супералгебра это Z₂-градуированная алгебра.^[1] То есть это алгебра через коммутативное кольцо или поле с разложением на «четные» и «нечетные» части и оператором умножения, учитывающим градуировку.

Префикс супер- исходит из теории суперсимметрия в теоретической физике. Супералгебры и их представления, супермодули, обеспечивают алгебраическую основу для формулировки суперсимметрии. Изучение таких объектов иногда называют супер линейная алгебра. Супералгебры также играют важную роль в смежной области супергеометрия где они входят в определения градуированные многообразия, супермногообразия и суперсхемы.

Формальное определение

Позволять K быть коммутативное кольцо. В большинстве приложений K это поле из характеристика 0, например р или C.

А супералгебра над K это K-модуль А с прямая сумма разложение

${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$

вместе с билинейный умножение А × А → А такой, что

${\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

где читаются индексы по модулю 2, т.е. они рассматриваются как элементы Z₂.

А супер кольцо, или же Z₂-градуированное кольцо, является супералгеброй над кольцом целые числа Z.

Элементы каждого из А_я как говорят однородный. В паритет однородного элемента Икс, обозначаемый |Икс|, равно 0 или 1 в зависимости от того, находится ли он в А₀ или А₁. Элементы четности 0 называются даже и те, у которых паритет 1, чтобы быть странный. Если Икс и у оба однородны, то и продукт ху и ${\displaystyle |xy|=|x|+|y|}$.

An ассоциативная супералгебра тот, чье умножение ассоциативный и единая супералгебра один с мультипликативным элемент идентичности. Элемент единицы в унитальной супералгебре обязательно четный. Если не указано иное, все супералгебры в этой статье считаются ассоциативными и унитальными.

А коммутативная супералгебра (или суперкоммутативная алгебра) - это та, которая удовлетворяет градуированной версии коммутативность. В частности, А коммутативен, если

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy\,}$

для всех однородных элементов Икс и у из А. Есть супералгебры, коммутативные в обычном смысле, но не в смысле супералгебр. По этой причине коммутативные супералгебры часто называют суперкоммутативный во избежание путаницы.^[2]

Примеры

• Любая алгебра над коммутативным кольцом K можно рассматривать как чисто четную супералгебру над K; то есть, взяв А₁ быть тривиальным.
• Любой Z- или же N-градуированная алгебра можно рассматривать как супералгебру, читая градуировку по модулю 2. Сюда входят такие примеры, как тензорные алгебры и кольца многочленов над K.
• В частности, любые внешняя алгебра над K является супералгеброй. Внешняя алгебра - стандартный пример суперкоммутативная алгебра.
• В симметричные многочлены и чередующиеся многочлены вместе образуют супералгебру, являясь четной и нечетной частями соответственно. Обратите внимание, что эта оценка отличается от оценки по степени.
• Алгебры Клиффорда супералгебры. Как правило, они некоммутативны.
• Набор всех эндоморфизмы (обозначен ${\displaystyle \mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)}$, где жирный шрифт ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$ упоминается как внутренний ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$, состоящий из все линейные отображения) супер векторное пространство образует супералгебру по композиции.
• Набор всей площади суперматрицы с записями в K образует супералгебру, обозначаемую M_п|q(K). Эту алгебру можно отождествить с алгеброй эндоморфизмов свободного супермодуля над K ранга п|q и является внутренним Hom из приведенного выше для этого пространства.
• Супералгебры Ли являются градуированным аналогом Алгебры Ли. Супералгебры Ли неединичны и неассоциативны; однако можно построить аналог универсальная обертывающая алгебра супералгебры Ли, которая является унитальной ассоциативной супералгеброй.

Дополнительные определения и конструкции

Четная подалгебра

Позволять А супералгебра над коммутативным кольцом K. В подмодуль А₀, состоящая из всех четных элементов, замкнута относительно умножения и содержит тождество А и поэтому образует подалгебра из А, естественно названный даже подалгебра. Он образует обычный алгебра над K.

Набор всех нечетных элементов А₁ является А₀-бимодуль чье скалярное умножение - это просто умножение в А. Продукт в А оборудует А₁ с билинейная форма

${\displaystyle \mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}}$

такой, что

${\displaystyle \mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)}$

для всех Икс, у, и z в А₁. Это следует из ассоциативности произведения в А.

Инволюция степени

Есть канонический инволютивный автоморфизм на любой супералгебре, называемой инволюция степени. На однородных элементах он задается

${\displaystyle {\hat {x}}=(-1)^{|x|}x}$

а на произвольных элементах -

${\displaystyle {\hat {x}}=x_{0}-x_{1}}$

где Икс_я однородные части Икс. Если А не имеет 2-торсионный (в частности, если 2 обратимо), то инволюцию степеней можно использовать для различения четной и нечетной частей А:

${\displaystyle A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.}$

Суперкоммутативность

В суперкоммутатор на А это бинарный оператор, задаваемый

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$

на однородных элементах, распространенных на все А по линейности. Элементы Икс и у из А говорят суперкоммутация если [Икс, у] = 0.

В суперцентр из А это набор всех элементов А которые суперкоммутируют со всеми элементами А:

${\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.}$

Суперцентр А в целом отличается от центр из А как неклассифицированную алгебру. Коммутативная супералгебра - это супералгебра, суперцентр которой состоит из А.

Супертензорное произведение

Оцененный тензорное произведение двух супералгебр А и B можно рассматривать как супералгебру А ⊗ B с правилом умножения, определяемым:

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).}$

Если либо А или B чисто четно, это эквивалентно обычному неградуированному тензорному произведению (за исключением того, что результат оценивается). Однако в целом супертензорное произведение отличается от тензорного произведения А и B рассматриваются как обычные, не оцениваемые алгебры.

Обобщения и категориальное определение

Можно легко обобщить определение супералгебр, чтобы включить супералгебры над коммутативным суперкольцом. Приведенное выше определение является тогда частным случаем, когда базовое кольцо чисто четно.

Позволять р коммутативное надкольцо. А супералгебра над р это р-супермодуль А с р-билинейное умножение А × А → А с уважением к оценке. Билинейность здесь означает, что

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)}$

для всех однородных элементов р ∈ р и Икс, у ∈ А.

Эквивалентно, можно определить супералгебру над р как супер кольцо А вместе с гомоморфизмом надкольца р → А чей образ лежит в суперцентре А.

Можно также определить супералгебры категорически. В категория из всех р-супермодули образует моноидальная категория под супертензорным произведением с р служащий единичным объектом. Ассоциативная супералгебра с единицей над р затем можно определить как моноид в категории р-супермодули. То есть супералгебра - это р-супермодуль А с двумя (четными) морфизмами

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}}$

для которых коммутируют обычные диаграммы.

Примечания

1. Кац, Мартинес и Зельманов 2001, п. 3
2. Варадараджан 2004, п. 87

Рекомендации

• Делинь, П.; Морган, Дж. У. (1999). «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернштейном)». Квантовые поля и струны: курс математиков. 1. Американское математическое общество. С. 41–97. ISBN  0-8218-2012-5.

• Кац, В.Г.; Martinez, C .; Зельманов, Э. (2001). Градуированные простые йордановы супералгебры роста один. Воспоминания из серии AMS. 711. Книжный магазин AMS. ISBN  978-0-8218-2645-4.

• Манин, Ю.И. (1997). Теория калибровочного поля и комплексная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-61378-1.

• Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: введение. Конспект лекций Куранта по математике. 11. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3574-6.