Кобаяши метрика - Kobayashi metric

В математика и особенно сложная геометрия, то Кобаяши метрика это псевдометрический неразрывно связан с любым комплексное многообразие. Он был представлен Шошичи Кобаяси в 1967 г. Кобаяши гиперболический Многообразия - важный класс комплексных многообразий, определяемый тем свойством, что псевдометрика Кобаяши является метрикой. Гиперболичность Кобаяши комплексного многообразия Икс означает, что каждый голоморфное отображение от сложной линии C к Икс постоянно.

Определение

Истоки концепции лежат в Лемма Шварца в комплексный анализ. А именно, если ж это голоморфная функция на открыть единичный диск D в комплексных числах C такой, что ж(0) = 0 и |ж(z) | <1 для всех z в D, то производная ж '(0) имеет абсолютное значение не более 1. Вообще говоря, для любого голоморфного отображения ж из D самому себе (не обязательно отправляя 0 в 0), существует более сложная верхняя оценка производной ж в любой момент D. Однако оценка имеет простую формулировку в терминах Метрика Пуанкаре, который является полный Риманова метрика на D с кривизна −1 (изометрично гиперболическая плоскость ). А именно: каждая голоморфная карта из D к себе убывает на расстоянии относительно метрики Пуанкаре на D.

Это начало прочной связи между комплексным анализом и геометрией отрицательной кривизны. Для любого сложное пространство Икс (например, комплексное многообразие), Кобаяши псевдометрический d_Икс определяется как наибольшая псевдометрия на Икс такой, что

{ Displaystyle d_ {X} (е (х), f (y)) leq rho (x, y)}

,

для всех голоморфных отображений ж с единичного диска D к Икс, куда ${ Displaystyle rho (х, у)}$ обозначает расстояние в метрике Пуанкаре на D.^[1] В некотором смысле эта формула обобщает лемму Шварца на все комплексные пространства; но это может быть бессмысленным в том смысле, что псевдометрические данные Кобаяши d_Икс может быть тождественно нулевым. Например, он тождественно равен нулю, когда Икс сложная линия C. (Это происходит потому, что C содержит сколь угодно большие диски, образы голоморфных отображений ж_а: D → C данный ж(z) = az для сколь угодно больших положительных чисел а.)

Сложное пространство Икс как говорят Кобаяши гиперболический если псевдометрический Кобаяши d_Икс метрика, а это означает, что d_Икс(Икс,у)> 0 для всех Икс ≠ у в Икс. Неформально это означает, что существует реальная оценка размера дисков, голоморфно отображающихся в Икс. Таким образом, лемма Шварца утверждает, что единичный круг D является гиперболическим Кобаяши, а точнее, метрика Кобаяши на D - в точности метрика Пуанкаре. Теория становится более интересной по мере нахождения большего количества примеров гиперболических многообразий Кобаяши. (Для гиперболического многообразия Кобаяши Икс, метрика Кобаяши - это метрика, внутренне определяемая сложной структурой Икс; совсем не ясно, должно ли это когда-либо случиться. Вещественное многообразие положительной размерности никогда не имеет внутренней метрики в этом смысле, потому что ее группа диффеоморфизмов слишком велик для этого.)

Примеры

Каждое голоморфное отображение ж: Икс → Y комплексных пространств убывает по расстоянию относительно псевдометрики Кобаяши Икс и Y. Отсюда следует, что если две точки п и q в сложном пространстве Y можно связать цепочкой голоморфных отображений C → Y, тогда d_Y(п,q) = 0, используя d_C тождественно нулю. Это дает много примеров комплексных многообразий, для которых псевдометрия Кобаяши тождественно равна нулю: сложная проективная линия CP¹ или в более общем смысле сложное проективное пространство CP^п, C- {0} (с помощью экспоненциальная функция C → C- {0}), эллиптическая кривая, или в более общем смысле компактный комплексный тор.
Гиперболичность Кобаяси сохраняется при переходе к открытые подмножества или чтобы закрыто комплексные подпространства. Отсюда следует, например, что любая ограниченная домен в C^п гиперболический.
Комплексное пространство гиперболично по Кобаяси тогда и только тогда, когда его универсальное перекрытие является гиперболическим Кобаяши.^[2] Это дает много примеров гиперболических комплексных кривых, поскольку теорема униформизации показывает, что наиболее сложные кривые (также называемые Римановы поверхности ) имеют универсальное покрытие, изоморфное диску D. В частности, каждая компактная комплексная кривая род по крайней мере 2 является гиперболическим, как и дополнение 2 или более точек в C.

Основные результаты

Для гиперболического пространства Кобаяши Икс, каждое голоморфное отображение C → Икс постоянна благодаря свойству уменьшения расстояния псевдометрии Кобаяши. Часто это наиболее важное последствие гиперболичности. Например, тот факт, что C минус 2 балла гиперболический означает Теорема Пикарда что образ любого непостоянного вся функция C → C пропускает не более одной точки C. Теория Неванлинны является более количественным потомком теоремы Пикара.

Теорема Броуди говорит, что компактный сложное пространство Икс является гиперболическим по Кобаяши тогда и только тогда, когда каждое голоморфное отображение C → Икс постоянно.^[3] Приложение состоит в том, что гиперболичность является открытым условием (в евклидовой топологии) для семейств компактных комплексных пространств.^[4] Марк Грин использовал аргумент Броуди для характеристики гиперболичности замкнутых сложных подпространств Икс компактного комплексного тора: Икс гиперболичен тогда и только тогда, когда он не содержит трансляций подтора положительной размерности.^[5]

Если комплексное многообразие Икс имеет Эрмитова метрика с голоморфная секционная кривизна ограниченный сверху отрицательной константой, то Икс является гиперболическим Кобаяши.^[6] В измерении 1 это называется Альфорс –Лемма Шварца.

Гипотеза Грина – Гриффитса – Лэнга.

Приведенные выше результаты дают полное описание того, какие комплексные многообразия являются гиперболическими Кобаяши в комплексной размерности 1. В более высоких измерениях картина менее ясна. Центральная открытая проблема - это Зеленый-Гриффитс –Lang гипотеза: если Икс это сложный проективное разнообразие из общий тип, то должно быть замкнутое алгебраическое подмножество Y не равно Икс такое, что любое непостоянное голоморфное отображение C → Икс карты в Y.^[7]

Клеменс и Voisin показал, что для п минимум 2, очень общий гиперповерхность Икс в CP^п+1 степени d минимум 2п+1 обладает тем свойством, что каждое замкнутое подмногообразие в Икс общего типа.^[8] («Очень общий» означает, что это свойство выполняется для всех гиперповерхностей степени d вне счетный объединение алгебраических подмножеств меньшей размерности проективного пространства всех таких гиперповерхностей.) В результате из гипотезы Грина – Гриффитса – Лэнга следует, что очень общая гиперповерхность степени не менее 2п+1 - гиперболический Кобаяши. Обратите внимание, что нельзя ожидать всего гладкий гиперповерхности данной степени должны быть гиперболическими, например, потому что некоторые гиперповерхности содержат линии (изоморфные CP¹). Такие примеры показывают необходимость подмножества Y в гипотезе Грина – Гриффитса – Лэнга.

Гипотеза о гиперболичности известна для гиперповерхностей достаточно высокой степени благодаря ряду достижений автора. Сиу, Демилли и другие, используя технику струя дифференциалы. Например, Диверио, Меркер и Руссо показали, что общая гиперповерхность в CP^п+1 степени не менее 2^п⁵ удовлетворяет гипотезе Грина-Гриффитса-Лэнга.^[9] («Общее» означает, что это верно для всех гиперповерхностей данной степени вне конечный объединение алгебраических подмножеств меньшей размерности проективного пространства всех таких гиперповерхностей.) В 2016 году Бротбек ^[10] дал доказательство гипотезы Кобаяши о гиперболичности общих гиперповерхностей высокой степени, основанное на использовании дифференциальных уравнений Вронски; Я. Денг и Демайли затем получили явные степени в произвольной размерности, например [(en)^{2n + 2}/3] последним.^[11] Лучшие границы степени известны в малых размерностях.

McQuillan доказал гипотезу Грина – Гриффитса – Лэнга для любой комплексной проективной поверхности общего типа, у которой Числа Черна удовлетворить c₁² > c₂.^[12] Для произвольной разновидности Икс общего типа, Демайли показал, что всякое голоморфное отображение C→ Икс удовлетворяет некоторые (на самом деле многие) алгебраические дифференциальные уравнения.^[13]

В противоположном направлении Кобаяши предположил, что псевдометрия Кобаяши тождественно равна нулю для Многообразия Калаби – Яу.. Это верно в случае K3 поверхности, используя то, что каждая проективная поверхность K3 покрывается семейством эллиптических кривых.^[14] В более общем плане Кампана выдвинул точную гипотезу о том, какие комплексные проективные многообразия Икс имеют псевдометрию Кобаяши, равную нулю. А именно, это должно быть эквивалентно Икс существование специальный в том смысле, что Икс не имеет рационального расслоения над положительно-мерным орбифолд общего типа.^[15]

Аналогия с теорией чисел

Для проективного многообразия Икс, изучение голоморфных отображений C → Икс имеет некоторую аналогию с изучением рациональные точки из Икс, центральная тема теория чисел. Есть несколько предположений о связи между этими двумя предметами. В частности, пусть Икс - проективное многообразие над числовое поле k. Исправьте вложение k в C. Затем Ланг предположил, что комплексное многообразие Икс(C) является гиперболическим по Кобаяси тогда и только тогда, когда Икс имеет только конечное количество F-рациональные точки для любого конечного поля расширений F из k. Это согласуется с известными результатами по рациональным вопросам, в частности Теорема Фальтингса на подмногообразиях абелевы разновидности.

Точнее, пусть Икс - проективное многообразие общего типа над числовым полем k. Пусть исключительный набор Y быть Зариски закрытие объединения образов всех непостоянных голоморфных отображений C → Икс. Согласно гипотезе Грина – Гриффитса – Лэнга, Y не должно быть равно Икс. В сильная гипотеза Лэнга предсказывает, что Y определяется над k и это Икс − Y имеет только конечное количество F-рациональные точки для любого конечного поля расширений F из k.^[16]

В том же духе для проективного многообразия Икс над числовым полем kКампана предположил, что псевдометрия Кобаяши Икс(C) тождественно нулю тогда и только тогда, когда Икс имеет потенциально плотный рациональные точки, означающие, что существует конечное поле расширения F из k так что набор Икс(F) из F-рациональные точки плотны по Зарискому в Икс.^[17]

Варианты

В Метрика Каратеодори - это еще одна внутренняя псевдометрия на комплексных многообразиях, основанная на голоморфных отображениях в единичный диск, а не в единичный диск. Бесконечно малая псевдометрия Кобаяши - это Псевдометрический финслер чья ассоциированная функция расстояния является псевдометрикой Кобаяши, как определено выше.^[18] Форма псевдообъема Кобаяси – Эйзенмана является внутренним мера на комплексе п-кратный, основанный на голоморфных отображениях из п-размерный полидиск к Икс. Это понимается лучше, чем псевдометрический Кобаяши. В частности, всякое проективное многообразие общего типа является мерно-гиперболический, что означает, что форма псевдообъема Кобаяши – Эйзенмана положительна вне алгебраического подмножества более низкой размерности.^[19]

Аналогичная псевдометрика рассмотрена для плоских аффинный и проективные структуры, а также для более общих проективные связи и конформные связи.^[20]

Примечания

^ Кобаяши (2005), разделы IV.1 и VII.2.
^ Кобаяши (2005), Предложение IV.1.6.
^ Кобаяши (1998), теорема 3.6.3.
^ Кобаяши (1998), теорема 3.11.1,
^ Кобаяши (1998), теорема 3.7.12.
^ Кобаяши (2005), раздел III.2.
^ Демайли (1997), гипотеза 3.7.
^ Вуазен (1996).
^ Диверио, Меркер и Руссо (2010).
^ Бротбек (2017)
^ Демиллы (2018)
^ Маккуиллан (1998).
^ Демайли (2011), теорема 0.5.
^ Вуазен (2003), лемма 1.51.
^ Кампана (2004), гипотеза 9.2,
^ Ланг (1986), гипотеза 5.8.
^ Кампана (2004), гипотеза 9.20.
^ Кобаяши (1998), теорема 3.5.31.
^ Кобаяши (1998), раздел 7.2.
^ Кобаяши (1977).