Проективная связь - Projective connection

В дифференциальная геометрия, а проективная связь это тип Картановое соединение на дифференцируемое многообразие.

Структура проективной связи моделируется на основе геометрии проективное пространство, а не аффинное пространство соответствующий аффинная связь. Подобно аффинным связям, проективные связи также определяют геодезические. Однако эти геодезические не аффинно параметризованный. Скорее, они проективно параметризованы, что означает, что их предпочтительный класс параметризации используется группой дробно-линейные преобразования.

Как аффинная связность, проективные связности связаны кручением и кривизной.

Проективное пространство как геометрия модели

Первым шагом в определении любого соединения Картана является рассмотрение плоского случая: в котором соединение соответствует Форма Маурера-Картана на однородное пространство.

В проективной постановке лежащее в основе многообразие M однородного пространства - проективное пространство RP^п который мы будем представлять однородные координаты [Икс₀,...,Икс_п]. Группа симметрии M является грамм = PSL (п+1,р).^[1] Позволять ЧАС быть группа изотропии точки [1,0,0, ..., 0]. Таким образом, M = грамм/ЧАС представляет M как однородное пространство.

Позволять ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ быть Алгебра Ли из грамм, и ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ что из ЧАС. Обратите внимание, что ${displaystyle {mathfrak {g}}={mathfrak {s}}{mathfrak {l}}(n+1,{mathbb {R} })}$. Как матрицы относительно однородной основа, ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ состоит из бесследный (п+1)×(п+1) матрицы:

${displaystyle left({egin{matrix}lambda &v^{i}w_{j}&a_{j}^{i}end{matrix}}ight),quad (v^{i})in {mathbb {R} }^{1 imes n},(w_{j})in {mathbb {R} }^{n imes 1},(a_{j}^{i})in {mathbb {R} }^{n imes n},lambda =-sum _{i}a_{i}^{i}}$.

И ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ состоит из всех этих матриц с (ш_j) = 0. Относительно матричного представления выше форма Маурера-Картана грамм это система 1-формы (ζ, α_j, α_j^я, α^я), удовлетворяющие структурным уравнениям^[2]

dζ + ∑_я α^я∧α_я = 0

dα_j + α_j∧ζ + ∑_k α_j^k∧α_k = 0

dα_j^я + α^я∧α_j + ∑_k α_k^я∧α_j^k = 0

dα^я + ζ∧α^я + ∑_kα^k∧α_k^я = 0^[3]

Проективные структуры на многообразиях

Проективная структура - это линейная геометрия на многообразии, в котором две близлежащие точки соединены линией (т. е. непараметризованная геодезический) уникальным образом. Кроме того, бесконечно малая окрестность каждой точки оснащена классом проективные рамки. Согласно Картану (1924),

Une varété (ou espace) à connexion projective est une varété numérique qui, au voisinage immédiat de chaque point, presente tous les caractères d'un espace projectif et douée de plus d'une loi permettant de raccorder en un seul les espace projecits morceaux qui entourent deux points infiniment voisins. ...

Analytiquement, on choisira, d'une manière d'ailleurs Arbitraire, dans l'espace projectif attéé à chaque point а де ла Варьете, ООН Repére définissant un système deordinnees projectives. ... Le raccord entre les espaces projectifs attés à deux points infiniment voisins а et а ' Se traduira analytiquement par une homographique. ...^[4]

Это аналогично понятию Картана. аффинная связь, в котором соседние точки, таким образом, связаны и имеют аффинную точка зрения который переносится от одного к другому (Картан, 1923):

La Variété sera dite à "connexion affine" lorsqu'on aura défini, d'une manière d'ailleurs Arbitreire, une loi permettant de repérer l'un par rapport à l'autre les espaces affines attés à deux points Infiniment voisins Quelconques м et м ' de la varété; cete loi permettra de dire que tel point de l'espace affine atté au point м ' соответствовать по тел. пункту аффинного атташе в пространстве космоса м, que tel vecteur du premier espace es parallèle или equipollent à tel vecteur du second espace.^[5]

Говоря современным языком, проективная структура на п-многообразие M это Геометрия Картана моделируется на проективном пространстве, где последнее рассматривается как однородное пространство для PSL (п+1,р). Другими словами, это PSL (п+1,р) -бандл с

• PSL (п+1,р) -связь ( Картановое соединение )
• а сокращение структурной группы к стабилизатору точки в проективном пространстве

так что форма припоя индуцированный этими данными является изоморфизмом.

Примечания

1. Также можно использовать PGL (п+1,р), но PSL (п+1,р) удобнее, потому что он связан.
2. Подход Картана заключался в выводе структурных уравнений из условия сохранения объема на SL(п+1), так что явной ссылки на алгебру Ли не потребовалось.
3. Интересно то, что последнее уравнение полностью интегрируемый, что означает, что волокна грамм → грамм/ЧАС можно определить только с помощью формы Маурера-Картана, Теорема интегрирования Фробениуса.
4. Многообразие (или пространство) с проективной связью - это числовое многообразие, которое в непосредственной близости от каждой точки обладает всеми характерами проективного пространства и, кроме того, наделено законом, позволяющим соединить в одном проективном пространстве два небольшие области, которые окружают две бесконечно близкие точки. Аналитически, мы выбираем, в противном случае произвольно, систему отсчета, определяющую проективную систему отсчета в проективном пространстве, прикрепленном к каждой точке многообразия. .. Связь между проективными пространствами, прикрепленными к двум бесконечно близким точкам а и а ' аналитически приведет к гомографическому (проективному) преобразованию. ..
5. Многообразие будет называться "аффинно связным", если определить, в противном случае произвольно, закон, позволяющий разместить аффинные пространства, прикрепленные к двум произвольным бесконечно близким точкам. м и м ' разновидности, в соответствии друг с другом; этот закон позволит сказать, что определенная точка аффинного пространства, прикрепленная к точке м ' соответствует определенной точке аффинного пространства, присоединенной к точке м, таким образом, чтобы вектор первого пространства был параллелен или равен соответствующему вектору второго пространства.

Рекомендации

• Картан, Эли (1923). "Sur les varétés à affine affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. 40: 325–412.
• Картан, Эли (1924). "Sur les varietes a Connexion projective". Bulletin de la Société Mathématique. 52: 205–241.
• Hermann, R., Приложение 1-3 в Cartan, E. Геометрия римановых пространств, Math Sci Press, Массачусетс, 1983.
• Картан, Эли (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica, 48 (1–2): 1–42, Дои:10.1007 / BF02629755
• Шарп, Р.В. (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN  0-387-94732-9.

внешняя ссылка

• Ü. Lumiste (2001) [1994], «Проективная связь», Энциклопедия математики, EMS Press