Скаляр Кречмана - Kretschmann scalar - Wikipedia

В теории Лоренцевы многообразия, особенно в контексте приложений к общая теория относительности, то Скаляр Кречмана квадратичный скалярный инвариант. Он был представлен Эрих Кречманн.^[1]

Определение

Инвариант Кречмана^[1][2]

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}}$

куда ${\displaystyle R_{abcd}}$ это Тензор кривизны Римана (в этом уравнении Соглашение о суммировании Эйнштейна использовался, и он будет использоваться на протяжении всей статьи). Поскольку это сумма квадратов компонент тензора, это квадратичный инвариантный.

Для использования системы компьютерной алгебры имеет смысл более подробное письмо:

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}=\sum _{a=0}^{3}\sum _{b=0}^{3}\sum _{c=0}^{3}\sum _{d=0}^{3}R_{abcd}\,R^{abcd}{\text{ with }}R^{abcd}=\sum _{i=0}^{3}g^{ai}\,\sum _{j=0}^{3}g^{bj}\,\sum _{k=0}^{3}g^{ck}\,\sum _{\ell =0}^{3}g^{d\ell }\,R_{ijk\ell }.\,}$

Примеры

Для Черная дыра Шварцшильда массы ${\displaystyle M}$, скаляр Кречмана есть^[1]

${\displaystyle K={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

куда ${\displaystyle G}$ - гравитационная постоянная.

Для генерала FRW пространство-время с метрикой

${\displaystyle ds^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),}$

скаляр Кречмана

${\displaystyle K={\frac {12\left(a(t)^{2}a''(t)^{2}+\left(k+a'(t)^{2}\right)^{2}\right)}{a(t)^{4}}}.}$

Отношение к другим инвариантам

Другой возможный инвариант (который использовался, например, при записи гравитационного члена лагранжиана для некоторых гравитация высшего порядка теории)

${\displaystyle C_{abcd}\,C^{abcd}}$

куда ${\displaystyle C_{abcd}}$ это Тензор Вейля, тензор конформной кривизны, который также является полностью бесследной частью тензора Римана. В ${\displaystyle d}$ размерности это связано с инвариантом Кречмана соотношением^[3]

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=C_{abcd}\,C^{abcd}+{\frac {4}{d-2}}R_{ab}\,R^{ab}-{\frac {2}{(d-1)(d-2)}}R^{2}}$

куда ${\displaystyle R^{ab}}$ это Кривизна Риччи тензор и ${\displaystyle R}$ Риччи скалярная кривизна (полученный последовательным взятием следов тензора Римана). Тензор Риччи обращается в нуль в пространстве-времени вакуума (например, в решении Шварцшильда, упомянутом выше), и, следовательно, там тензор Римана и тензор Вейля совпадают, как и их инварианты.

Скаляр Кречмана и Скаляр Черна-Понтрягина

${\displaystyle R_{abcd}\,{{}^{\star }\!R}^{abcd}}$

куда ${\displaystyle {{}^{\star }R}^{abcd}}$ это левый двойной тензора Римана, математически аналогичны (в некоторой степени физически аналогичны) знакомым инвариантам тензор электромагнитного поля

${\displaystyle F_{ab}\,F^{ab},\;\;F_{ab}\,{{}^{\star }\!F}^{ab}}$

Смотрите также

• Инварианты Карминати-Макленагана, для набора инвариантов.
• Классификация электромагнитных полей, подробнее об инвариантах тензора электромагнитного поля.
• Инвариант кривизны, для инвариантов кривизны в римановой и псевдоримановой геометрии в целом.
• Инвариант кривизны (общая теория относительности).
• Разложение Риччи, чтобы узнать больше о тензоре Римана и Вейля.

Рекомендации

1. Ричард К. Генри (2000). "Скаляр Кречмана для черной дыры Керра-Ньюмана". Астрофизический журнал. Американское астрономическое общество. 535 (1): 350–353. arXiv:астро-ph / 9912320v1. Bibcode:2000ApJ ... 535..350H. Дои:10.1086/308819.
2. Грён и Хервик 2007, стр 219
3. Керубини, Кристиан; Бини, Донато; Капоцциелло, Сальваторе; Руффини, Ремо (2002). "Скалярные инварианты второго порядка тензора Римана: приложения к пространству черных дыр". Международный журнал современной физики D. 11 (6): 827–841. arXiv:gr-qc / 0302095v1. Bibcode:2002IJMPD..11..827C. Дои:10.1142 / S0218271802002037. ISSN  0218-2718.

дальнейшее чтение

• Грён, Эйвинд; Хервик, Сигбьёрн (2007), Общая теория относительности Эйнштейна, Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-0-387-69199-2
• Б. Ф. Шютц (2009), Первый курс общей теории относительности (второе издание), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88705-2
• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип. С.; Уилер, Джон А. (1973), Гравитация, У. Х. Фриман, ISBN  978-0-7167-0344-0