Скалярная кривизна - Scalar curvature

В Риманова геометрия, то скалярная кривизна (или Скаляр Риччи) является самым простым кривизна инвариантный из Риманово многообразие. Каждой точке на римановом многообразии он сопоставляет один настоящий номер определяется внутренней геометрией многообразия вблизи этой точки. В частности, скалярная кривизна представляет собой величину, на которую объем малого геодезического шара в римановом многообразии отклоняется от шара в стандартном Евклидово пространство. В двух измерениях скалярная кривизна вдвое больше Гауссова кривизна, и полностью характеризует кривизну поверхности. Однако более чем в двух измерениях кривизна римановых многообразий включает более одной функционально независимой величины.

В общая теория относительности, скалярная кривизна - это Плотность лагранжиана для Действие Эйнштейна – Гильберта. В Уравнения Эйлера – Лагранжа. для этого лагранжиана при вариациях метрики составляют вакуум Уравнения поля Эйнштейна, а стационарные метрики известны как Метрики Эйнштейна. Скалярная кривизна п-многообразие определяется как след Тензор Риччи, и его можно определить как п(п - 1) умноженное на среднее значение секционные кривизны в момент.

На первый взгляд, скалярная кривизна в размерности не меньше 3 кажется слабым инвариантом, мало влияющим на глобальную геометрию многообразия, но на самом деле некоторые глубокие теоремы показывают силу скалярной кривизны. Одним из таких результатов является теорема о положительной массе из Schoen, Яу и Виттен. Связанные результаты дают почти полное представление о том, какие многообразия имеют риманову метрику с положительной скалярной кривизной.

Определение

Скалярная кривизна S (обычно также р, или же Sc) определяется как след из Кривизна Риччи тензор относительно метрика:

${\displaystyle S=\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} .}$

След зависит от метрики, поскольку тензор Риччи является (0,2) -валентным тензором; нужно сначала поднять индекс чтобы получить (1,1) -валентный тензор, чтобы взять след. С точки зрения местные координаты можно писать

${\displaystyle S=g^{ij}R_{ij}=R_{j}^{j}}$

куда р_ij компоненты тензора Риччи в координатном базисе:

${\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}.}$

Учитывая систему координат и метрический тензор, скалярная кривизна может быть выражена следующим образом:

${\displaystyle S=g^{ab}\left({\Gamma ^{c}}_{ab,c}-{\Gamma ^{c}}_{ac,b}+{\Gamma ^{d}}_{ab}{\Gamma ^{c}}_{cd}-{\Gamma ^{d}}_{ac}{\Gamma ^{c}}_{bd}\right)=2g^{ab}\left({\Gamma ^{c}}_{a[b,c]}+{\Gamma ^{d}}_{a[b}{\Gamma ^{c}}_{c]d}\right)}$

куда ${\displaystyle {\Gamma ^{a}}_{bc}}$ являются Символы Кристоффеля метрики и ${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{jk,i}}$ является частной производной от ${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{jk}}$ в я-ое координатное направление.

в отличие от Тензор кривизны Римана или тензор Риччи, оба из которых могут быть определены для любого аффинная связь, скалярная кривизна требует некоторой метрики. Метрика может быть псевдориманов вместо риманова. Действительно, такое обобщение жизненно важно для теории относительности. В более общем плане тензор Риччи можно определить в более широком классе метрическая геометрия (посредством прямой геометрической интерпретации, ниже), которая включает Финслерова геометрия.

Прямая геометрическая интерпретация

Когда скалярная кривизна в точке положительна, объем маленького шара вокруг точки имеет меньший объем, чем шар того же радиуса в евклидовом пространстве. С другой стороны, когда скалярная кривизна в точке отрицательна, объем маленького шара больше, чем он был бы в евклидовом пространстве.

Это можно сделать более количественным, чтобы охарактеризовать точное значение скалярной кривизны. S в какой-то момент п риманова п-многообразие ${\displaystyle (M,g)}$. А именно, соотношение п-мерный объем шара радиуса ε в многообразии к объему соответствующего шара в евклидовом пространстве при малых ε определяется выражением

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Vol} \left(B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n}\right)}}=1-{\frac {S}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{4}\right).}$

Таким образом, вторая производная этого отношения, вычисленная на радиусе ε = 0, ровно минус скалярная кривизна, деленная на 3 (п + 2).

Границы этих шаров (п - 1) -мерный сферы радиуса ${\displaystyle \varepsilon }$; их гиперповерхностные меры ("площади") удовлетворяют следующему уравнению:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {S}{6n}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{4}\right).}$

Особые случаи

Поверхности

В двух измерениях скалярная кривизна ровно в два раза больше гауссовой кривизны. Для вложенной поверхности в евклидово пространство р³, это означает, что

${\displaystyle S={\frac {2}{\rho _{1}\rho _{2}}}\,}$

куда ${\displaystyle \rho _{1},\,\rho _{2}}$ являются главные радиусы поверхности. Например, скалярная кривизна 2-сферы радиуса р равно 2 /р².

Двумерный тензор кривизны Римана имеет только одну независимую компоненту и может быть выражен в терминах скалярной кривизны и формы метрической площади. А именно, в любой системе координат

${\displaystyle 2R_{1212}\,=S\det(g_{ij})=S\left[g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}\right].}$

Космические формы

А космическая форма по определению является римановым многообразием постоянной секционной кривизны. Космические формы локально изометричны одному из следующих типов:

• Евклидово пространство: тензор Римана п-мерное евклидово пространство равно нулю, поэтому скалярная кривизна тоже.
• п-сферы: кривизна в разрезе п-сфера радиуса р является K = 1/р². Следовательно, скалярная кривизна равна S = п(п − 1)/р².
• Гиперболическое пространство: Посредством модель гиперболоида, п-мерное гиперболическое пространство можно отождествить с подмножеством (п + 1) -мерный Пространство Минковского

  ${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=r^{2},\quad x_{0}>0.}$

Параметр р является геометрическим инвариантом гиперболического пространства, а секционная кривизна равна K = −1/р². Таким образом, скалярная кривизна S = −п(п − 1)/р².

Товары

Скалярная кривизна товар M × N римановых многообразий есть сумма скалярных кривизны M и N. Например, для любого гладкий закрытый коллектор M, M × S² имеет метрику положительной скалярной кривизны, просто считая 2-сферу малой по сравнению с M (чтобы его кривизна была большой). Этот пример может предполагать, что скалярная кривизна мало связана с глобальной геометрией многообразия. Фактически, это имеет некоторое глобальное значение, как уже говорилось. ниже.

Традиционное обозначение

Среди тех, кто использует индексную нотацию для тензоров, обычно используется буква р для представления трех разных вещей:

1. тензор кривизны Римана: ${\displaystyle R_{ijk}^{l}}$ или же ${\displaystyle R_{abcd}}$
2. тензор Риччи: ${\displaystyle R_{ij}}$
3. скалярная кривизна: ${\displaystyle R}$

Затем эти три элемента отличаются друг от друга числом индексов: тензор Римана имеет четыре индекса, тензор Риччи имеет два индекса, а скаляр Риччи имеет нулевые индексы. Те, кто не использует индексную нотацию, обычно резервируют р для полного тензора кривизны Римана. В качестве альтернативы в безкоординатной записи можно использовать Рим для тензора Римана, Ric для тензора Риччи и р для скаляра кривизны.

Проблема Ямабе

Основная статья: Проблема Ямабе

В Проблема Ямабе было решено Trudinger, Обен, и Шен. А именно, любую риманову метрику на замкнутом многообразии можно умножить на некоторую гладкую положительную функцию, чтобы получить метрику с постоянной скалярной кривизной. Другими словами, каждая метрика на замкнутом многообразии есть конформный к одному с постоянной скалярной кривизной.

Положительная скалярная кривизна

Для замкнутого риманова 2-многообразия M, скалярная кривизна имеет четкую связь с топология из M, выраженный Теорема Гаусса – Бонне: полная скалярная кривизна M равно 4π раз Эйлерова характеристика из M. Например, единственные замкнутые поверхности с метриками положительной скалярной кривизны - это поверхности с положительной эйлеровой характеристикой: сфера S² и RP². Кроме того, эти две поверхности не имеют метрик со скалярной кривизной ≤ 0.

Знак скалярной кривизны имеет более слабое отношение к топологии в более высоких измерениях. Для гладкого замкнутого многообразия M размером не менее 3, Каздан и Уорнер решил заданная скалярная задача кривизны, описывая, какие гладкие функции на M возникают как скалярная кривизна некоторой римановой метрики на M. А именно, M должен быть ровно одного из следующих трех типов:^[1]

1. Каждая функция на M скалярная кривизна некоторой метрики на M.
2. Функция на M скалярная кривизна некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда оно либо тождественно равно нулю, либо где-то отрицательно.
3. Функция на M скалярная кривизна некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда он где-то отрицательный.

Таким образом, каждое многообразие размерности не менее 3 имеет метрику с отрицательной скалярной кривизной, фактически постоянной отрицательной скалярной кривизной. Результат Каздана – Уорнера фокусирует внимание на вопросе о том, какие многообразия имеют метрику с положительной скалярной кривизной, что эквивалентно свойству (1). Пограничный случай (2) можно описать как класс многообразий с сильно скалярно-плоская метрика, имея в виду метрику со скалярной кривизной нулевой такой, что M не имеет метрики с положительной скалярной кривизной.

Много известно о том, какие гладкие замкнутые многообразия имеют метрики положительной скалярной кривизны. В частности, Громов и Лоусон, каждый односвязный коллектор размером не менее 5, который не вращение имеет метрику с положительной скалярной кривизной.^[2] Напротив, Лихнерович показал, что спиновое многообразие с положительной скалярной кривизной должно иметь Â род равно нулю. Хитчин показали, что более совершенная версия рода Â α-инвариант, также обращается в нуль для спиновых многообразий с положительной скалярной кривизной.^[3] Это нетривиально только в некоторых измерениях, потому что α-инвариант п-многообразие принимает значения в группе КО_п, перечисленные здесь:

п (мод 8)	0	1	2	3	4	5	6	7
КОп	Z	Z/2	Z/2	0	Z	0	0	0

Наоборот, Штольц показал, что каждое односвязное спиновое многообразие размерности не менее 5 с α-инвариантным нулем имеет метрику с положительной скалярной кривизной.^[4]

Аргумент Лихнеровича с использованием Оператор Дирака был расширен, чтобы дать множество ограничений на неодносвязные многообразия с положительной скалярной кривизной через K-теория C * -алгебр. Например, Громов и Лоусон показали, что замкнутое многообразие, допускающее метрику с секционной кривизной ≤ 0, такую ​​как тор, не имеет метрики с положительной скалярной кривизной.^[5] В более общем плане, часть приемистости Гипотеза Баума – Конна для группы грамм, что во многих случаях известно, означало бы, что закрытый асферический коллектор с фундаментальная группа грамм не имеет метрики с положительной скалярной кривизной.^[6]

В измерениях 3 и 4 есть особые результаты. После работ Шона, Яу, Громова и Лоусона, Перельман доказательство теорема о геометризации привели к исчерпывающему ответу в измерении 3: закрытый ориентируемый 3-многообразие обладает метрикой положительной скалярной кривизны тогда и только тогда, когда оно является связанная сумма из сферические 3-многообразия и копии S² × S¹.^[7] В размерности 4 положительная скалярная кривизна имеет более серьезные последствия, чем в более высоких измерениях (даже для односвязных многообразий), используя Инварианты Зайберга – Виттена.. Например, если Икс компактный Кэлерово многообразие комплексной размерности 2, которая не рациональный или же управлял, тогда Икс (как гладкое 4-многообразие) не имеет римановой метрики положительной скалярной кривизны.^[8]

Наконец, Акито Футаки показал, что строго скалярно-плоские метрики (как определено выше) чрезвычайно особенные. Для односвязного риманова многообразия M размерности не менее 5, который является сильно скалярно-плоским, M должно быть произведением римановых многообразий с голономия группа SU (п) (Многообразия Калаби – Яу. ), Sp (п) (гиперкэлеровы многообразия ) или Spin (7).^[9] В частности, эти метрики являются плоскими по Риччи, а не просто скалярными. Наоборот, есть примеры многообразий с этими группами голономии, такие как K3 поверхность, которые являются спиновыми и имеют ненулевой α-инвариант, следовательно, являются сильно скалярно-плоскими.

Смотрите также

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Инвариант Ямабе
• Скаляр Кречмана
• Теорема Вермейля

Примечания

1. Бесс (1987), теорема 4.35.
2. Лоусон и Микелсон (1989), теорема IV.4.4.
3. Лоусон и Микелсон (1989), теорема II.8.12.
4. Штольц (2002), теорема 2.4.
5. Лоусон и Микелсон (1989), следствие IV.5.6.
6. Штольц (2002), теорема 3.10.
7. Marques (2012), введение.
8. ЛеБрун (1999), теорема 1.
9. Петерсен (2016), следствие C.4.4.

Рекомендации

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна, Springer, ISBN  3-540-15279-2, МИСТЕР  0867684
• Йост, Юрген (2011) [1995], Риманова геометрия и геометрический анализ, Springer, ISBN  978-3-642-21297-0, МИСТЕР  2829653
• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989), Спиновая геометрия, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08542-5, МИСТЕР  1031992
• ЛеБрун, Клод (1999), "Измерение Кодаира и проблема Ямабе", Коммуникации в анализе и геометрии, 7: 133–156, arXiv:dg-ga / 9702012, Дои:10.4310 / CAG.1999.v7.n1.a5, МИСТЕР  1674105, S2CID  7223836
• Маркес, Фернандо Кода (2012), «Деформирующие трехмерные многообразия с положительной скалярной кривизной», Анналы математики, 176 (2): 815–863, arXiv:0907.2444, Дои:10.4007 / анналы.2012.176.2.3, МИСТЕР  2950765, S2CID  16528231
• Петерсен, Питер (2016) [1998], Риманова геометрия, Springer, ISBN  978-3-319-26652-7, МИСТЕР  3469435
• Риччи, Г. (1903–1904), "Direzioni e invarianti Principali in una varietà qualunque", Atti R. Inst. Венето, 63 (2): 1233–1239, JFM  35.0145.01
• Штольц, Стивен (2002), «Многообразия положительной скалярной кривизны» (PDF), Топология многомерных многообразий., Триест: ICTP, стр. 661–709, МИСТЕР  1937026