Псевдориманово многообразие - Pseudo-Riemannian manifold

В дифференциальная геометрия, а псевдориманово многообразие,^[1][2] также называется полуриманово многообразие, это дифференцируемое многообразие с метрический тензор это везде невырожденный. Это обобщение Риманово многообразие в котором требование положительная определенность расслаблен.

Каждый касательное пространство псевдориманова многообразия является псевдоевклидово векторное пространство.

Особый случай, используемый в общая теория относительности четырехмерный Лоренцево многообразие для моделирования пространство-время, где касательные векторы можно классифицировать как подобный времени, нуль и пространственноподобный.

Вступление

Коллекторы

Основные статьи: Многообразие и Дифференцируемое многообразие

В дифференциальная геометрия, а дифференцируемое многообразие - пространство, локально похожее на Евклидово пространство. В п-мерном евклидовом пространстве любая точка может быть задана п действительные числа. Их называют координаты точки.

An п-мерное дифференцируемое многообразие является обобщением п-мерное евклидово пространство. В коллекторе можно определить только координаты локально. Это достигается путем определения координировать патчи: подмножества многообразия, которые можно отобразить в п-мерное евклидово пространство.

Видеть Многообразие, Дифференцируемое многообразие, Координатный патч Больше подробностей.

Касательные пространства и метрические тензоры

Основные статьи: Касательное пространство и Метрический тензор

Связано с каждой точкой ${\displaystyle p}$ в ${\displaystyle n}$-мерное дифференцируемое многообразие ${\displaystyle M}$ это касательное пространство (обозначено ${\displaystyle T_{p}M}$). Это ${\displaystyle n}$-размерный векторное пространство элементы которого можно рассматривать как классы эквивалентности кривых, проходящих через точку ${\displaystyle p}$.

А метрический тензор это невырожденный, гладкая, симметричная, билинейная карта который присваивает настоящий номер к парам касательных векторов в каждом касательном пространстве многообразия. Обозначая метрический тензор через ${\displaystyle g}$ мы можем выразить это как

${\displaystyle g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .}$

Карта симметрична и билинейна, поэтому, если ${\displaystyle X,Y,Z\in T_{p}M}$ являются касательными векторами в точке ${\displaystyle p}$ к коллектору ${\displaystyle M}$ тогда у нас есть

• ${\displaystyle \,g(X,Y)=g(Y,X)}$
• ${\displaystyle \,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)}$

для любого реального числа ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$.

Который ${\displaystyle g}$ является невырожденный означает, что нет ненулевых ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ такой, что ${\displaystyle \,g(X,Y)=0}$ для всех ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$.

Подписи метрики

Основная статья: Подпись метрики

Учитывая метрический тензор грамм на п-мерное вещественное многообразие квадратичная форма q(Икс) = грамм(Икс, Икс) связанный с метрическим тензором, применяемым к каждому вектору любого ортогональный базис производит п реальные ценности. К Закон инерции Сильвестра, количество каждого положительного, отрицательного и нулевого значений, полученных таким образом, является инвариантом метрического тензора, независимо от выбора ортогонального базиса. В подпись (п, q, р) метрического тензора дает эти числа, показанные в том же порядке. Невырожденный метрический тензор имеет р = 0 и подпись может быть обозначена (п, q), куда п + q = п.

Определение

А псевдориманово многообразие ${\displaystyle (M,g)}$ это дифференцируемое многообразие ${\displaystyle M}$ снабженный всюду невырожденным, гладким, симметричным метрический тензор ${\displaystyle g}$.

Такая метрика называется псевдориманова метрика. Применительно к векторному полю результирующее значение скалярного поля в любой точке многообразия может быть положительным, отрицательным или нулевым.

Сигнатура псевдоримановой метрики: (п, q), где оба п и q неотрицательны. Из условия невырожденности вместе с непрерывностью следует, что п и q остаются неизменными во всем коллекторе.

Лоренцево многообразие

А Лоренцево многообразие является важным частным случаем псевдориманова многообразия, в котором подпись метрики является (1, п−1) (эквивалентно, (п−1, 1); видеть Подписать соглашение ). Такие показатели называются Лоренцевы метрики. Они названы в честь голландского физика. Хендрик Лоренц.

Приложения в физике

После римановых многообразий лоренцевы многообразия образуют наиболее важный подкласс псевдоримановых многообразий. Они важны в приложениях общая теория относительности.

Основная предпосылка общей теории относительности заключается в том, что пространство-время можно моделировать как 4-мерное лоренцево многообразие сигнатуры (3, 1) или, что то же самое, (1, 3). В отличие от римановых многообразий с положительно определенной метрикой, неопределенная сигнатура позволяет классифицировать касательные векторы на подобный времени, ноль или же космический. С подписью (п, 1) или же (1, q), многообразие также локально (и, возможно, глобально) ориентировано во времени (см. Причинная структура ).

Свойства псевдоримановых многообразий

Как только Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ можно рассматривать как модель Риманово многообразие, Пространство Минковского ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1,1}}$ с квартирой Метрика Минковского - модельное лоренцево многообразие. Точно так же модельное пространство для псевдориманова многообразия сигнатуры (п, q) является ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ с метрикой

${\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}$

Некоторые основные теоремы римановой геометрии можно обобщить на псевдориманов случай. В частности, основная теорема римановой геометрии верно и для псевдоримановых многообразий. Это позволяет говорить о Леви-Чивита связь на псевдоримановом многообразии вместе с ассоциированными тензор кривизны. С другой стороны, в римановой геометрии есть много теорем, которые не верны в обобщенном случае. Например, это нет верно, что каждое гладкое многообразие допускает псевдориманову метрику данной сигнатуры; есть определенные топологический препятствия. Кроме того, подмногообразие не всегда наследует структуру псевдориманова многообразия; например, метрический тензор обращается в нуль на любом светоподобный изгиб. В Тор Клифтона – Поля дает пример псевдориманова многообразия, которое является компактным, но не полным, комбинация свойств, которые Теорема Хопфа – Ринова. запрещает для римановых многообразий.^[3]

Смотрите также

• Условия причинности
• Глобально гиперболическое многообразие
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Ориентируемый коллектор
• Пространство-время

Примечания

1. Бенн и Такер (1987), п. 172.
2. Бишоп и Голдберг (1968), п. 208
3. О'Нил (1983), п. 193.

Рекомендации

• Benn, I.M .; Такер, Р.В. (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (Первое издание 1987 г.), Адам Хильгер, ISBN  0-85274-169-3
• Бишоп, Ричард Л.; Гольдберг, Сэмюэл I. (1968), Тензорный анализ на многообразиях (Первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN  0-486-64039-6
• Чен, Банг-Йен (2011), Псевдориманова геометрия, дельта-инварианты и приложения, Мировое научное издательство, ISBN  978-981-4329-63-7
• О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия в приложениях к теории относительности, Чистая и прикладная математика, 103, Academic Press, ISBN  9780080570570
• Vrănceanu, G .; Рошка, Р. (1976), Введение в теорию относительности и псевдориманову геометрию, Бухарест: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Лоренцевы многообразия в Wikimedia Commons