Формула произведения Ли - Lie product formula

В математика, то Формула произведения Ли, названный в честь Софус Ли (1875 г.), но также широко называемый Формула продукта Trotter,^[1] заявляет, что для произвольных п × п настоящий или сложный матрицы А и B,^[2]

${displaystyle e^{A+B}=lim _{Nightarrow infty }(e^{A/N}e^{B/N})^{N},}$

где е^А обозначает матричная экспонента из А. В Формула произведения Ли – Троттера (Рысак 1959 ) и Теорема Троттера – Като (Като 1978 ) распространяют это на некоторые неограниченные линейные операторы А и B.^[3]

Эта формула является аналогом классического экспоненциального закона

${displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$

что справедливо для всех действительных или комплексных чисел Икс и y. Если Икс и y заменяются матрицами А и B, а экспоненциальный заменен на матричная экспонента, это обычно необходимо для А и B добираться до закона. Однако формула произведения Ли верна для всех матриц А и B, даже те, которые не ездят на работу.

Формула произведения Ли концептуально связана с Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа в том, что оба являются заменой в контексте некоммутирующих операторов классического экспоненциального закона ${displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$.

У формулы есть приложения, например, в формулировка интеграла по путям квантовой механики. Это позволяет отделить Оператор эволюции Шредингера на чередующиеся приращения кинетических и потенциальных операторов. Та же идея используется при построении методы расщепления для численного решения дифференциальные уравнения. Более того, теоремы Ли о произведении достаточно для доказательства Формула Фейнмана – Каца.

Теорема Троттера – Като может быть использована для аппроксимации линейных C₀-полугруппы.^[4]

Смотрите также

• Прореживание блоков с течением времени

использованная литература

1. Джоэл Э. Коэн; Шмуэль Фридланд; Тосио Като; Ф. П. Келли (1982). «Неравенства собственных значений для произведений матричных экспонент» (PDF). Линейная алгебра и ее приложения. 45: 55–95. Дои:10.1016/0024-3795(82)90211-7.
2. Зал 2015 Теорема 2.11.
3. Зал 2013 Теорема 20.1.
4. Ито, Кадзуфуми; Каппель, Франц (1998). "Теорема Троттера-Като и приближение частных дифференциальных уравнений". Математика вычислений. 67 (221): 21–44. JSTOR  2584971.

• Софус Ли и Фридрих Энгель (1888, 1890, 1893). Theorie der Transformationsgruppen (1-е издание, Лейпциг; 2-е издание, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN  0828402329
• Альбеверио, Серджио А .; Høegh-Krohn, Рафаэль Дж. (1976), Математическая теория интегралов по траекториям Фейнмана: введение, Конспект лекций по математике, 423 (1-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0079827, HDL:10852/44049, ISBN  978-3-540-07785-5.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-40122-5
• «Формула продукта рысака», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Като, Тосио (1978), "Формула произведения Троттера для произвольной пары самосопряженных полугрупп сжатия", Темы функционального анализа (очерки, посвященные М. Г. Крейну к 70-летию со дня рождения), Adv. по математике. Дополнение Stud., 3, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 185–195, Г-Н  0538020
• Троттер, Х.Ф. (1959), «О произведении полугрупп операторов», Труды Американского математического общества, 10 (4): 545–551, Дои:10.2307/2033649, ISSN  0002-9939, JSTOR  2033649, Г-Н  0108732
• Джоэл Э. Коэн; Шмуэль Фридланд; Тосио Като; Ф. П. Келли (1982), «Неравенства собственных значений для произведений матричных экспонент» (PDF), Линейная алгебра и ее приложения, 45: 55–95, Дои:10.1016/0024-3795(82)90211-7
• Варадараджан, В. (1984), Группы Ли, алгебры Ли и их представления, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90969-1, стр.99.
• Сузуки, Масуо (1976). «Обобщенная формула Троттера и систематические аппроксимации экспоненциальных операторов и внутренних производных с приложениями к задачам многих тел». Comm. Математика. Phys. 51 (2): 183–190. Дои:10.1007 / bf01609348. S2CID  121900332.