Формула Фейнмана – Каца - Feynman–Kac formula

В Формула Фейнмана – Каца названный в честь Ричард Фейнман и Марк Кац, устанавливает связь между параболические уравнения в частных производных (PDE) и случайные процессы. В 1947 году, когда Кац и Фейнман оба были на факультете Корнелла, Кац присутствовал на презентации Фейнмана и заметил, что они оба работали над одним и тем же с разных сторон.^[1] Приведена формула Фейнмана – Каца, которая строго доказывает реальный случай интегралов по траекториям Фейнмана. Сложный случай, который имеет место с учетом спина частицы, все еще не доказан.^{[нужна цитата ]}

Он предлагает метод решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных путем моделирования случайных траекторий случайного процесса. И наоборот, важный класс ожиданий случайных процессов можно вычислить детерминированными методами.

Теорема

Рассмотрим уравнение в частных производных

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)u(x,t)+f(x,t)=0,}$

определено для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle t\in [0,T]}$, при условии выполнения терминального условия

${\displaystyle u(x,T)=\psi (x),}$

где μ, σ, ψ, V, ж известные функции, Т параметр и ${\displaystyle u:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }$ это неизвестное. Тогда формула Фейнмана – Каца говорит нам, что решение можно записать в виде условное ожидание

${\displaystyle u(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]}$

под вероятностная мера Q такой, что Икс является Процесс Ито управляемый уравнением

${\displaystyle dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW^{Q},}$

с участием W^Q(т) это Винеровский процесс (также называется Броуновское движение ) под Q, а начальное условие для Икс(т) является Икс(t) = Икс.

Доказательство

Доказательство того, что приведенная выше формула является решением дифференциального уравнения, длинное, трудное и здесь не приводится. Однако достаточно просто показать, что если решение существует, он должен иметь указанную выше форму. Доказательство этого меньшего результата следующее.

Позволять ты(Икс, т) - решение указанного выше уравнения в частных производных. Применяя правило продукта для процессов Itô к процессу

${\displaystyle Y(s)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{s},s)+\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)\,dr}$

один получает

${\displaystyle {\begin{aligned}dY={}&d\left(e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\right)u(X_{s},s)+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,du(X_{s},s)\\[6pt]&{}+d\left(e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\right)du(X_{s},s)+d\left(\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)\,dr\right)\end{aligned}}}$

поскольку

${\displaystyle d\left(e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\right)=-V(X_{s},s)e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,ds,}$

третий член ${\displaystyle O(dt\,du)}$ и может быть отброшен. У нас также есть это

${\displaystyle d\left(\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)dr\right)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)ds.}$

Применяя лемму Ито к ${\displaystyle du(X_{s},s)}$, это следует из того

${\displaystyle {\begin{aligned}dY={}&e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,\left(-V(X_{s},s)u(X_{s},s)+f(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}\right)\,ds\\[6pt]&{}+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.\end{aligned}}}$

Первый член в круглых скобках содержит указанное выше уравнение в частных производных и поэтому равен нулю. Остается

${\displaystyle dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.}$

Интегрируя это уравнение из т к Т, можно сделать вывод, что

${\displaystyle Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.}$

Принимая ожидания, обусловленные Икс_т = Икс, и заметив, что правая сторона Ито интегральный с нулевым ожиданием,^[2] это следует из того

${\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E[Y(t)\mid X_{t}=x]=u(x,t).}$

Желаемый результат получается, если учесть, что

${\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{T},T)+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)\,dr\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]}$

и наконец

${\displaystyle u(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)\,ds\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]}$

Замечания

• Приведенное выше доказательство того, что решение должно иметь заданный вид, по сути является доказательством ^[3] с изменениями для учета ${\displaystyle f(x,t)}$.
• Вышеприведенная формула ожидания также действительна для N-мерные диффузии Ито. Соответствующее уравнение в частных производных для ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{N}\times [0,T]\to \mathbb {R} }$ становится:^[4]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-r(x,t)\,u=f(x,t),}$

где,

${\displaystyle \gamma _{ij}(x,t)=\sum _{k=1}^{N}\sigma _{ik}(x,t)\sigma _{jk}(x,t),}$

т.е. ${\displaystyle \gamma =\sigma \sigma ^{\mathrm {T} }}$, где ${\displaystyle \sigma ^{\mathrm {T} }}$ обозначает транспонировать из ${\displaystyle \sigma }$.

• Затем это ожидание можно приблизительно оценить с помощью Монте-Карло или квази-Монте-Карло методы.
• При первоначальной публикации Каца в 1949 г.^[5] формула Фейнмана – Каца была представлена ​​как формула для определения распределения некоторых функционалов Винера. Предположим, мы хотим найти математическое ожидание функции

${\displaystyle e^{-\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau }}$

в случае, когда Икс(τ) - некоторая реализация диффузионного процесса, начиная с Икс(0) = 0. Формула Фейнмана – Каца говорит, что это математическое ожидание эквивалентно интегралу от решения уравнения диффузии. В частности, в условиях, когда ${\displaystyle uV(x)\geq 0}$,

${\displaystyle E\left[e^{-u\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau }\right]=\int _{-\infty }^{\infty }w(x,t)\,dx}$

где ш(Икс, 0) = δ (Икс) и

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w.}$

Формулу Фейнмана – Каца также можно интерпретировать как метод оценки функциональные интегралы определенной формы. Если

${\displaystyle I=\int f(x(0))e^{-u\int _{0}^{t}V(x(t))\,dt}g(x(t))\,Dx}$

где интеграл берется по всем случайные прогулки, тогда

${\displaystyle I=\int w(x,t)g(x)\,dx}$

где ш(Икс, т) является решением параболическое уравнение в частных производных

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w}$

с начальным условием ш(Икс, 0) = ж(Икс).

Приложения

В количественное финансирование, формула Фейнмана – Каца используется для эффективного вычисления решений Уравнение Блэка – Шоулза к варианты цен по акциям.^[6]

Смотрите также

• Лемма Ито
• Неравенство Куниты – Ватанабе
• Теорема Гирсанова
• Колмогоровское прямое уравнение (также известное как уравнение Фоккера – Планка)

использованная литература

1. Кац, Марк (1987). Загадки случая: автобиография. Калифорнийский университет Press. С. 115–16. ISBN  0-520-05986-7.
2. Эксендал, Бернд (2003). «Теорема 3.2.1. (Iii)». Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в приложения (6-е изд.). Springer-Verlag. п. 30. ISBN  3540047581.
3. http://www.math.nyu.edu/faculty/kohn/pde_finance.html
4. Увидеть Фам, Хуйен (2009). Стохастический контроль и оптимизация в непрерывном времени с финансовыми приложениями. Springer-Verlag. ISBN  978-3-642-10044-4.
5. Кац, Марк (1949). "О распределениях некоторых винеровских функционалов". Труды Американского математического общества. 65 (1): 1–13. Дои:10.2307/1990512. JSTOR  1990512. Эта статья перепечатана в Baclawski, K .; Донскер, М. Д., ред. (1979). Марк Кац: Вероятность, теория чисел и статистическая физика, Избранные статьи. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. 268–280. ISBN  0-262-11067-9.
6. Паоло Брандимарте (6 июня 2013 г.). «Глава 1. Мотивация». Численные методы в финансах и экономике: введение на основе MATLAB. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-1-118-62557-6.

дальнейшее чтение

• Саймон, Барри (1979). Функциональная интеграция и квантовая физика. Академическая пресса.
• Холл, Б. С. (2013). Квантовая теория для математиков. Springer.