S-матрица - S-matrix

«Матрица рассеяния» перенаправляется сюда. Значение в линейных электрических сетях см. Параметры рассеяния.

О подходе 1960-х годов к физике элементарных частиц см. Теория S-матрицы.

В физика, то S-матрица или матрица рассеяния связывает начальное состояние и конечное состояние физической системы, подвергающейся процесс рассеяния. Он используется в квантовая механика, теория рассеяния и квантовая теория поля (QFT).

Более формально, в контексте QFT, S-матрица определяется как унитарная матрица связывающие множества асимптотически свободных состояний частицы ( в штатах и дальние штаты) в Гильбертово пространство физических состояний. Говорят, что многочастичное состояние свободный (не взаимодействующий), если он трансформирует под Преобразования Лоренца как тензорное произведение, или прямой продукт на физическом языке одночастичные состояния как предписано уравнением (1) ниже. Асимптотически свободный тогда это означает, что государство имеет это проявление либо в далеком прошлом, либо в далеком будущем.

Тогда как S-матрица может быть определена для любого фона (пространство-время ), асимптотически разрешимая и не имеющая горизонты событий, он имеет простой вид в случае Пространство Минковского. В этом частном случае гильбертово пространство является пространством неприводимых унитарные представления из неоднородный Группа Лоренца (в Группа Пуанкаре ); S-матрица - это оператор эволюции между ${\displaystyle t=-\infty }$ (далекое прошлое) и ${\displaystyle t=+\infty }$ (далекое будущее). Он определяется только в пределе нулевой плотности энергии (или бесконечного расстояния разделения частиц).

Можно показать, что если квантовая теория поля в пространстве Минковского имеет разрыв в массах, то штат в асимптотическом прошлом и в асимптотическом будущем оба описываются Пространства Фока.

История

S-матрица была впервые введена Джон Арчибальд Уиллер в статье 1937 г. «О математическом описании легких ядер методом резонансной групповой структуры».^[1] В этой статье Уиллер представил матрица рассеяния - унитарная матрица коэффициентов, связывающая «асимптотическое поведение произвольного частного решения [интегральных уравнений] с асимптотическим поведением решений стандартного вида»,^[2] но не развил его полностью.

В 1940-х годах Вернер Гейзенберг самостоятельно разработал и обосновал идею S-матрицы. Из-за проблемных расхождений в квантовая теория поля в то время Гейзенберг был мотивирован изолировать основные черты теории на это не повлияют будущие изменения по мере развития теории. При этом он был вынужден ввести унитарную «характеристическую» S-матрицу.^[2]

Однако сегодня точные результаты S-матрицы венцом достижения конформная теория поля, интегрируемые системы, и несколько других областей квантовой теории поля и теория струн. S-матрицы не заменяют теоретико-полевую трактовку, а скорее дополняют ее конечные результаты.

Мотивация

В высокоэнергетических физика элементарных частиц один заинтересован в вычислении вероятность для разных результатов в рассеяние эксперименты. Эти эксперименты можно разбить на три этапа:

1. Столкнитесь вместе коллекцией входящих частицы (обычно два частицы с высокими энергиями).
2. Позволяя входящим частицам взаимодействовать. Эти взаимодействия могут изменить типы присутствующих частиц (например, если электрон и позитрон уничтожать они могут произвести два фотоны ).
3. Измерение исходящих частиц.

Процесс преобразования входящих частиц (через их взаимодействие ) в исходящие частицы называется рассеяние. Для физики элементарных частиц физическая теория этих процессов должна быть способна вычислять вероятность для разных исходящих частиц, когда разные входящие частицы сталкиваются с разными энергиями.

S-матрица в квантовой теории поля достигает именно этого. Предполагается, что в этих случаях справедливо приближение малой плотности энергии.

Использовать

S-матрица тесно связана с переходом амплитуда вероятности в квантовой механике и поперечные сечения различных взаимодействий; то элементы (отдельные числовые элементы) в S-матрице известны как амплитуды рассеяния. Поляки S-матрицы в плоскости комплексной энергии отождествляются с связанные состояния, виртуальные состояния или резонансы. Отрезки веток S-матрицы в плоскости комплексной энергии связаны с открытием канал рассеяния.

в Гамильтониан подходе к квантовой теории поля, S-матрица может быть вычислена как по расписанию экспоненциальный интегрированного гамильтониана в картинка взаимодействия; это также может быть выражено с помощью Интегралы по траекториям Фейнмана. В обоих случаях пертурбативный расчет S-матрицы приводит к Диаграммы Фейнмана.

В теория рассеяния, то S-матрица является оператор отображение свободных частиц в штатах освободить частицу дальние штаты (каналы рассеяния ) в Картинка Гейзенберга. Это очень полезно, потому что зачастую мы не можем точно описать взаимодействие (по крайней мере, не самые интересные).

В одномерной квантовой механике

В целях иллюстрации сначала рассматривается простой прототип, в котором S-матрица является 2-мерной. В нем частицы с резкой энергией E рассеяние от локализованного потенциала V по правилам 1-мерной квантовой механики. Эта простая модель уже отображает некоторые особенности более общих случаев, но с ней легче работать.

Каждая энергия E дает S-матрицу S = S(E) это зависит от V. Таким образом, общая S-матрица могла бы, образно говоря, быть визуализирована в подходящем базисе как «непрерывная матрица» с каждым нулевым элементом, кроме 2 × 2-блоки по диагонали для заданного V.

Определение

Рассмотрим локализованный одномерный потенциальный барьер V(Икс), подвергнутого воздействию пучка квантовых частиц с энергией E. Эти частицы падают на потенциальный барьер слева направо.

Решение Уравнение Шредингера вне потенциального барьера плоские волны данный

${\displaystyle \psi _{L}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$

для области слева от потенциального барьера, и

${\displaystyle \psi _{R}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}}$

для области справа от потенциального барьера, где

${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$

это волновой вектор. В нашем обзоре зависимость от времени не требуется, и поэтому мы ее опускаем. Член с коэффициентом А представляет приходящую волну, а член с коэффициентом C представляет собой уходящую волну. B обозначает отражающую волну. Поскольку мы устанавливаем движение набегающей волны в положительном направлении (идущем слева), D равен нулю и может быть опущен.

«Амплитуда рассеяния», то есть переходное перекрытие исходящих волн с приходящими волнами, является линейной зависимостью, определяющей S-матрицу,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}}.}$

Вышеуказанное соотношение можно записать как

${\displaystyle \Psi _{out}=S\Psi _{in}}$

где

${\displaystyle \Psi _{out}={\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}},\quad \Psi _{in}={\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}.}$

Элементы S полностью характеризуют рассеивающие свойства потенциального барьера V(Икс).

Унитарная собственность

Унитарность S-матрицы напрямую связана с сохранением ток вероятности в квантовая механика.

Вероятность тока J из волновая функция ψ (х) определяется как

${\displaystyle J={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right)}$.

Плотность тока слева от барьера равна

${\displaystyle J_{L}={\frac {\hbar k}{m}}\left(|A|^{2}-|B|^{2}\right)}$,

а плотность тока справа от барьера равна

${\displaystyle J_{R}={\frac {\hbar k}{m}}\left(|C|^{2}-|D|^{2}\right)}$.

Для сохранения плотности тока вероятности J_L = J_р. Отсюда следует, что S-матрица является унитарная матрица.

Доказательство
${\displaystyle {\begin{aligned}&J_{L}=J_{R}\\&|A|^{2}-|B|^{2}=|C|^{2}-|D|^{2}\\&|B|^{2}+|C|^{2}=|A|^{2}+|D|^{2}\\&\Psi _{out}^{\dagger }\Psi _{out}=\Psi _{in}^{\dagger }\Psi _{in}\\&\Psi _{in}^{\dagger }S^{\dagger }S\Psi _{in}=\Psi _{in}^{\dagger }\Psi _{in}\\&S^{\dagger }S=I\\\end{aligned}}}$

Симметрия обращения времени

Если потенциал V(Икс) реально, то система обладает симметрия обращения времени. При этом условии, если ψ (х) является решением уравнения Шредингера, то ψ * (х) тоже решение.

Обращенное во времени решение дается выражением

${\displaystyle \psi _{L}^{*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}}$

для области слева от потенциального барьера, и

${\displaystyle \psi _{R}^{*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}}$

для области справа от потенциального барьера, где члены с коэффициентом B*, C* представляют приходящую волну, а члены с коэффициентом А*, D* представляют собой исходящую волну.

Они снова связаны S-матрицей,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,}$

это,

${\displaystyle \Psi _{in}^{*}=S\Psi _{out}^{*}.}$

Теперь отношения

${\displaystyle \Psi _{in}^{*}=S\Psi _{out}^{*},\quad \Psi _{out}=S\Psi _{in}}$

вместе дают условие

${\displaystyle S^{*}S=I}$

Это условие в сочетании с соотношением унитарности означает, что S-матрица является симметричной в результате симметрии обращения времени,

${\displaystyle S^{T}=S.}$

Коэффициент пропускания и коэффициент отражения

В коэффициент передачи слева от потенциального барьера, когда D = 0,

${\displaystyle T_{L}={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{21}|^{2}.}$

В коэффициент отражения слева от потенциального барьера, когда D = 0,

${\displaystyle R_{L}={\frac {|B|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{11}|^{2}.}$

Точно так же коэффициент прохождения справа от потенциального барьера равен, когда А = 0,

${\displaystyle T_{R}={\frac {|B|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{12}|^{2}.}$

Коэффициент отражения справа от потенциального барьера равен, когда А = 0,

${\displaystyle R_{R}={\frac {|C|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{22}|^{2}.}$

Соотношения между коэффициентами прохождения и отражения следующие:

${\displaystyle T_{L}+R_{L}=1}$

и

${\displaystyle T_{R}+R_{R}=1.}$

Это следствие унитарности S-матрицы.

Оптическая теорема в одном измерении

На случай, если свободные частицы V(Икс) = 0, S-матрица^[3]

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Всякий раз, когда V(Икс) отлична от нуля, однако есть отклонение S-матрицы от приведенного выше вида к

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}2ir&1+2it\\1+2it&2ir^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}}\end{pmatrix}}.}$

Это отклонение параметризуется двумя сложные функции энергии, р и тИз унитарности также следует связь между этими двумя функциями:

${\displaystyle |r|^{2}+|t|^{2}=\operatorname {Im} (t).}$

Аналог этого тождества в трех измерениях известен как оптическая теорема.

Определение в квантовой теории поля

Картинка взаимодействия

Простой способ определения S-матрицы начинается с рассмотрения картинка взаимодействия.^[4] Пусть гамильтониан ЧАС быть разделенным на бесплатную часть ЧАС₀ и взаимодействие V, ЧАС = ЧАС₀ + V. На этом рисунке операторы ведут себя как операторы свободного поля, а векторы состояния имеют динамику в соответствии с взаимодействием V. Позволять

${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle }$

обозначают состояние, которое развилось из свободного начального состояния

${\displaystyle \left|\Phi _{i}\right\rangle .}$

Затем элемент S-матрицы определяется как проекция этого состояния на конечное состояние.

${\displaystyle \left\langle \Phi _{f}\right|.}$

Таким образом

${\displaystyle S_{fi}\equiv \lim _{t\rightarrow +\infty }\left\langle \Phi _{f}|\Psi (t)\right\rangle \equiv \left\langle \Phi _{f}\right|S\left|\Phi _{i}\right\rangle ,}$

где S это S-оператор. Большим преимуществом этого определения является то, что оператор эволюции во времени U развитие состояния в картине взаимодействия формально известно,^[5]

${\displaystyle U(t,t_{0})=Te^{-i\int _{t_{0}}^{t}d\tau V(\tau )},}$

где Т обозначает заказанный по времени продукт. Выражаясь в этом операторе,

${\displaystyle S_{fi}=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }\left\langle \Phi _{f}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{i}\right\rangle ,}$

откуда

${\displaystyle S=U(\infty ,-\infty ).}$

Расширение используя знания о U дает Серия Дайсон,

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],}$

или если V приходит как гамильтонова плотность,

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})\right].}$

Являясь особым типом оператора временной эволюции, S унитарен. Для любого начального состояния и любого конечного состояния можно найти

${\displaystyle S_{fi}=\left\langle \Phi _{f}|S|\Phi _{i}\right\rangle =\left\langle \Phi _{f}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})\right]\right|\Phi _{i}\right\rangle .}$

Такой подход несколько наивен в том смысле, что потенциальные проблемы замалчиваются.^[6] Это сделано намеренно. Подход работает на практике, и некоторые технические вопросы рассматриваются в других разделах.

В и из состояний

Здесь используется более строгий подход для решения потенциальных проблем, которые не были учтены в описанном выше подходе с изображением взаимодействия. Конечный результат, конечно, такой же, как и при выборе более быстрого маршрута. Для этого нужны понятия входящего и выходящего состояний. Они будут развиваться двумя способами: из вакуума и из состояний свободных частиц. Излишне говорить, что эти два подхода эквивалентны, но они освещают вопрос с разных сторон.

Из вакуума

Если а (к)^† это оператор создания, его эрмитский соплеменник является оператор аннигиляции и разрушает вакуум,

${\displaystyle a(k)\left|*,0\right\rangle =0.}$

В Обозначение Дирака, определить

${\displaystyle |*,0\rangle }$

как квантовое состояние вакуума, т.е. состояние без реальных частиц. Звездочка означает, что не все вакуумы обязательно равны и, конечно, не равны нулевому состоянию гильбертова пространства. 0. Предполагаются все вакуумные состояния. Инвариант Пуанкаре, инвариантность относительно сдвигов, вращений и повышений,^[6] формально,

${\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =|*,0\rangle ,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =|*,0\rangle ,}$

где п^μ это генератор перевода в пространстве и времени, и M^μν является генератором Преобразования Лоренца. Таким образом, описание вакуума не зависит от системы координат. С состояниями входа и выхода, которые необходимо определить, связаны входящие и исходящие состояния. полевые операторы (он же поля) Φ_я и Φ_о. Здесь внимание сосредоточено на простейшем случае, когда скалярная теория чтобы проиллюстрировать это с наименьшим возможным загромождением обозначений. Поля in и out удовлетворяют

${\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{i,o}(x)=0,}$

Свобода Уравнение Клейна – Гордона. Постулируется, что эти поля имеют одинаковые равновременные коммутационные отношения (ETCR) как свободные поля,

${\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{i,o}(x),\pi _{i,o}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{i,o}(x),\phi _{i,o}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{i,o}(x),\pi _{i,o}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0\end{aligned}},}$

где π_я,j это поле канонически сопряженный к Φ_я,j. С полями входа и выхода связаны два набора операторов создания и уничтожения, а_я(k)^† и а_ж(k)^†, действуя в такой же Гильбертово пространство,^[7] на двух отчетливый комплектации (Пространства Фока; начальное пространство я, последнее пространство ж ). Эти операторы удовлетворяют обычным правилам коммутации:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{i,o}(\mathbf {p} ),a_{i,o}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{i,o}(\mathbf {p} ),a_{i,o}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{i,o}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{i,o}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}$

Действие операторов рождения на их соответствующие вакуумы и состояния с конечным числом частиц во входящем и выходящем состояниях определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|i,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{i}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|f,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{f}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}}$

где игнорировались вопросы нормализации. В следующем разделе подробно рассказывается о том, как генерал п-частица состояние нормализовано. Начальное и конечное пространства определяются как

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}=\operatorname {span} \{\left|i,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{i}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle \},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{f}=\operatorname {span} \{\left|f,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{f}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle \}.}$

Предполагается, что асимптотические состояния обладают хорошо определенными свойствами преобразования Пуанкаре, то есть предполагается, что они трансформируются как прямое произведение одночастичных состояний.^[8] Это характеристика невзаимодействующего поля. Отсюда следует, что все асимптотические состояния собственные состояния оператора импульса п^μ,^[6]

${\displaystyle P^{\mu }\left|i,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|i,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|f,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|f,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .}$

В частности, они являются собственными состояниями полного гамильтониана,

${\displaystyle H=P^{0}.}$

Обычно постулируется, что вакуум является стабильным и уникальным.^{[6][nb 1]}

${\displaystyle |i,0\rangle =|f,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}$.

Предполагается, что взаимодействие включается и выключается адиабатически.

Картинка Гейзенберга

В Картинка Гейзенберга используется впредь. На этом рисунке состояния не зависят от времени. Таким образом, вектор состояния Гейзенберга представляет полную пространственно-временную историю системы частиц.^[8] Обозначение входящего и выходящего состояний относится к асимптотическому виду. Штат Ψ_{α, в} характеризуется тем, что как т→−∞ содержание частиц в совокупности представлено α. Точно так же государство Ψ_{β, вне} будет иметь содержание частиц, представленное β для т→+∞. Используя предположение, что входящие и исходящие состояния, а также взаимодействующие состояния обитают в одном гильбертовом пространстве, и предполагая полноту нормированных входных и исходящих состояний (постулат асимптотической полноты^[6]), начальные состояния можно разложить на основе конечных состояний (или наоборот). Явное выражение будет дано позже, после введения дополнительных обозначений и терминологии. Коэффициенты разложения - это в точности элементы S-матрицы, которые будут определены ниже.

В то время как векторы состояния постоянны во времени в картине Гейзенберга, физические состояния, которые они представляют, являются не. Если обнаруживается, что система находится в состоянии Ψ вовремя т = 0, то он будет находиться в состоянии U(τ) Ψ =е^−iHτΨ вовремя т = τ. Это не (обязательно) тот же вектор состояния Гейзенберга, но это эквивалент вектор состояния, означающий, что при измерении он окажется одним из конечных состояний разложения с ненулевым коэффициентом. Сдача τ видишь, что наблюдаемое Ψ (не измеряется) действительно Картина Шредингера вектор состояния. Повторяя измерение достаточно много раз и усредняя, ​​можно сказать, что такой же вектор состояния действительно находится в момент времени т = τ как в то время т = 0. Это отражает расширение входящего состояния в исходное состояние.

Из состояний свободных частиц

С этой точки зрения следует рассмотреть, как проводится эксперимент по архетипическому рассеянию.Начальные частицы подготавливаются в четко определенных состояниях, где они настолько далеко друг от друга, что не взаимодействуют. Их каким-то образом заставляют взаимодействовать, и конечные частицы регистрируются, когда они настолько далеко друг от друга, что перестают взаимодействовать. Идея состоит в том, чтобы найти в картине Гейзенберга состояния, которые в далеком прошлом имели вид состояний свободных частиц. Это будет в штатах. Точно так же выходное состояние будет состоянием, которое в отдаленном будущем будет иметь вид состояния свободной частицы.^[8]

Обозначения из общей ссылки на этот раздел, Вайнберг (2002) будет использован. Общее невзаимодействующее многочастичное состояние задается формулой

${\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },}$

где

• п импульс,
• σ является z-компонентой спина или, в безмассовом случае, спиральность,
• п является разновидностью частиц.

Эти состояния нормированы как

${\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.}$

Перестановки работают как таковые; если s ∈ S_k это перестановка k объекты (для k-частица состояние) такие, что

${\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,}$

тогда получается ненулевой член. Знак плюс, если s включает нечетное число транспозиций фермионов, и в этом случае это минус. Обозначения обычно сокращаются, позволяя одной греческой букве обозначать всю коллекцию, описывающую состояние. В сокращенном виде нормализация становится

${\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).}$

При интегрировании по состояниям свободных частиц в этих обозначениях пишут

${\displaystyle \int d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,}$

где сумма включает только такие члены, что никакие два члена не равны по модулю перестановки индексов типа частицы. Искомые наборы состояний должны быть полный. Это выражается как

${\displaystyle \Psi =\int d\alpha \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),}$

который можно перефразировать как

${\displaystyle \int d\alpha \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}$

где для каждого фиксированного α, правая часть - оператор проекции на состояние α. При неоднородном преобразовании Лоренца (Λ, а), поле преобразуется по правилу

${\displaystyle U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2}\cdots }=e^{-ia_{\mu }((\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots )}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}(W(\Lambda ,p_{1}))D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}(W(\Lambda ,p_{2}))\cdots \Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2}\cdots },}$

(1)

где W(Λ, п) это Вигнер вращение и D^(j) это (2j + 1)-размерный представление ТАК (3). Положив Λ = 1, а = (τ, 0, 0, 0), для которого U является ехр (iHτ), в (1), сразу следует, что

${\displaystyle H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,}$

таким образом, входящие и исходящие состояния sough after являются собственными состояниями полного гамильтониана, которые обязательно не взаимодействуют из-за отсутствия членов смешанной энергии частиц. Обсуждение в разделе выше предполагает, что в состояниях Ψ⁺ и наши состояния Ψ⁻ должно быть таким, чтобы

${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha e^{-iE_{\alpha }\tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }}$

для больших положительных и отрицательных τ имеет внешний вид соответствующей упаковки, представленной гсостояний свободных частиц, г предполагается гладким и соответствующим образом локализованным по импульсу. Волновые пакеты необходимы, иначе временная эволюция даст только фазовый фактор, указывающий на свободные частицы, чего не может быть. Правая часть следует из того, что входящие и исходящие состояния являются собственными состояниями гамильтониана согласно вышеизложенному. Чтобы формализовать это требование, предположим, что полный Гамильтониан ЧАС можно разделить на два члена: гамильтониан свободных частиц ЧАС₀ и взаимодействие V, ЧАС = ЧАС₀ + V так что собственные состояния Φ_γ из ЧАС₀ имеют тот же вид, что и входящие и исходящие состояния в отношении свойств нормализации и преобразования Лоренца,

${\displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },}$

${\displaystyle (\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).}$

Состояния входа и выхода определяются как собственные состояния полного гамильтониана,

${\displaystyle H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm },}$

удовлетворение

${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d\alpha g(\alpha )\Phi _{\alpha }.}$

для τ → −∞ или τ → +∞ соответственно. Определить

${\displaystyle \Omega (\tau )\equiv e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },}$

тогда

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.}$

Это последнее выражение будет работать только с волновыми пакетами. Из этих определений следует, что входящие и исходящие состояния нормализуются таким же образом, как и состояния свободных частиц,

${\displaystyle (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),}$

и три набора унитарно эквивалентны. Теперь перепишем уравнение для собственных значений:

${\displaystyle (E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }+V\Psi _{\alpha }^{\pm },}$

где ± iε Термины были добавлены, чтобы оператор на LHS был обратимым. Так как состояния in и out сводятся к состояниям свободных частиц для V → 0, положил

${\displaystyle i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }}$

на RHS, чтобы получить

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm }.}$

Затем используйте полноту состояний свободных частиц,

${\displaystyle V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{\beta }\equiv \int d\beta T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },}$

наконец получить

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}$

Вот ЧАС₀ заменено собственным значением в состояниях свободных частиц. Это Уравнение Липпмана – Швингера.

В состояниях, выраженных как состояния

Начальные состояния могут быть расширены в основе конечных состояний (или наоборот). Используя соотношение полноты,

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},}$

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\left|i,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|f,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})\left|f,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,}$

где |C_м|² вероятность того, что взаимодействие преобразует

${\displaystyle \left|i,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}}$

в

${\displaystyle \left|f,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}}$.

По обычным правилам квантовой механики

${\displaystyle C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle f,p_{1}\ldots p_{m}\right|i,k_{1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})}$

и можно написать

${\displaystyle \left|i,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|f,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|f,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }\left\langle f,p_{1}\ldots p_{m}\right|i,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~.}$

Коэффициенты разложения - это в точности элементы S-матрицы, которые будут определены ниже.

S-матрица

S-матрица теперь определяется как^[8]

${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\langle f,\beta |i,\alpha \rangle ,\qquad |f,\beta \rangle \in {\mathcal {H}}_{f},\quad |i,\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}_{i}.}$

Вот α и β являются сокращениями, которые представляют содержимое частицы, но подавляют отдельные метки. С S-матрицей связана S-оператор S определяется^[8]

${\displaystyle \langle \Phi _{\beta }|S|\Phi _{\alpha }\rangle \equiv S_{\beta \alpha },}$

где Φ_γ - состояния свободных частиц.^{[8][nb 2]} Это определение соответствует прямому подходу, используемому в картине взаимодействия. Кроме того, из-за унитарной эквивалентности,

${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{+}|S|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle .}$

Как физическое требование, S должен быть унитарный оператор. Это утверждение сохранения вероятности в квантовой теории поля. Но

${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle .}$

Тогда по полноте

${\displaystyle S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle ,}$

Таким образом, S - это унитарное преобразование внутренних состояний в исходящие. Лоренц-инвариантность - еще одно важное требование к S-матрице.^{[8][№ 3]} S-оператор представляет собой квантовое каноническое преобразование первоначального в заявляет до финала вне состояния. Более того, S оставляет вакуумное состояние инвариантным и преобразует в-поля поля для вне-космические поля,^{[№ 4]}

${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle }$

${\displaystyle \phi _{f}=S\phi _{i}S^{-1}~.}$

С точки зрения операторов создания и уничтожения это становится

${\displaystyle a_{f}(p)=Sa_{i}(p)S^{-1},a_{f}^{\dagger }(p)=Sa_{i}^{\dagger }(p)S^{-1},}$

следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}S|i,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle &=Sa_{i}^{\dagger }(k_{1})a_{i}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{i}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =Sa_{i}^{\dagger }(k_{1})S^{-1}Sa_{i}^{\dagger }(k_{2})S^{-1}\cdots Sa_{i}^{\dagger }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\&=a_{o}^{\dagger }(k_{1})a_{o}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{o}^{\dagger }(k_{n})S|0\rangle =a_{o}^{\dagger }(k_{1})a_{o}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{o}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =|o,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}}}$

Аналогичное выражение имеет место, когда S работает влево при отключенном состоянии. Это означает, что S-матрица может быть выражена как

${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle o,\beta |i,\alpha \rangle =\langle i,\beta |S|i,\alpha \rangle =\langle o,\beta |S|o,\alpha \rangle .}$

Если S правильно описывает взаимодействие, эти свойства также должны быть истинными:

• Если система состоит из одна частица в собственном состоянии импульса |k⟩, тогда S|k⟩= |k⟩. Это следует из приведенного выше расчета как частный случай.
• Элемент S-матрицы может быть ненулевым только в том случае, если состояние выхода имеет такое же общее импульс в качестве входного состояния, что следует из требуемой лоренц-инвариантности S-матрицы.

Оператор эволюции U

Определите зависящий от времени оператор создания и уничтожения следующим образом:

${\displaystyle a^{\dagger }\left(k,t\right)=U^{-1}(t)a_{i}^{\dagger }\left(k\right)U\left(t\right)}$

${\displaystyle a\left(k,t\right)=U^{-1}(t)a_{i}\left(k\right)U\left(t\right)~,}$

Итак, для полей

${\displaystyle \phi _{f}=U^{-1}(\infty )\phi _{i}U(\infty )=S^{-1}\phi _{i}S~,}$

где

${\displaystyle S=e^{i\alpha }\,U(\infty )}$ .

Мы учитываем разность фаз, определяемую выражением

${\displaystyle e^{i\alpha }=\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle ^{-1}~,}$

потому что для S,

${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle \Longrightarrow \left\langle 0|S|0\right\rangle =\left\langle 0|0\right\rangle =1~.}$

Подставляя явное выражение для U, надо

${\displaystyle S={\frac {1}{\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle }}{\mathcal {T}}e^{-i\int {d\tau H_{\rm {int}}(\tau )}}~,}$

где ${\displaystyle H_{\rm {int}}}$ - взаимодействующая часть гамильтониана, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ это время заказа.

При осмотре видно, что эта формула не является явно ковариантной.

Серия Дайсон

Основная статья: Серия Дайсон

Наиболее широко используемым выражением для S-матрицы является ряд Дайсона. Это выражает S-матричный оператор как серии:

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int \cdots \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]}$

где:

• ${\displaystyle T[\cdots ]}$ обозначает хронометраж,
• ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x)}$ обозначает гамильтониан взаимодействия плотность, которая описывает взаимодействия в теории.

Не-S-матрица

Поскольку превращение частиц в черную дыру в Радиация Хокинга невозможно было описать с помощью S-матрицы, Стивен Хокинг предложил «не-S-матрицу», для которой он использовал знак доллара, и которая поэтому также называлась «долларовой матрицей».^[9]

Смотрите также

• Математический портал

• Диаграмма Фейнмана
• Формула восстановления LSZ
• Теорема Вика
• Теорема Хаага
• Картинка взаимодействия

Замечания

1. Это неверно, если изучается открытая система. Под действием внешнего поля входной и выходной вакуумы могут различаться, поскольку внешнее поле может производить частицы.
2. Здесь предполагается, что полная Гамильтониан ЧАС можно разделить на два члена: гамильтониан свободных частиц ЧАС₀ и взаимодействие V, ЧАС = ЧАС₀ + V так что собственные состояния Φ_γ из ЧАС₀ имеют тот же вид, что и входящие и исходящие состояния в отношении свойств нормализации и преобразования Лоренца. Увидеть Вайнберг (2002), стр. 110.
3. Если Λ является (неоднородным) собственным ортохронным преобразованием Лоренца, то Теорема Вигнера гарантирует существование унитарного оператора U(Λ) действуя либо на ЧАС_я или ЧАС_ж. Теория называется лоренц-инвариантной, если она U(Λ) действует на ЧАС_я и ЧАС_ж. Используя унитарность U(Λ), S_βα = ⟨я, β|ж, α⟩ = ⟨я, β|U(Λ)^†U(Λ) |ж, α⟩. Правая часть может быть расширена, используя знания о том, как невзаимодействующие состояния преобразуются для получения выражения, и это выражение следует принимать как определение о том, что означает лоренц-инвариантность S-матрицы. Увидеть Вайнберг (2002), уравнение 3.3.1 дает явный вид.
4. Здесь постулат асимптотической полноты Используется. Состояния входа и выхода охватывают одно и то же гильбертово пространство, которое предполагается согласованным с гильбертовым пространством теории взаимодействия. Это нетривиальный постулат. Если частицы могут быть постоянно объединены в связанные состояния, структура гильбертова пространства изменится. Увидеть Грейнер и Райнхардт (1995) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFGreinerReinhardt1995 (Помогите), раздел 9.2.

Заметки

1. Джон Арчибальд Уиллер "О математическом описании легких ядер методом резонансной групповой структуры. ", Phys. Ред. 52, 1107–1122 (1937).
2. Джагдиш Мехра, Гельмут Рехенберг, Историческое развитие квантовой теории (Страницы 990 и 1031) Springer, 2001 г. ISBN  0-387-95086-9, ISBN  978-0-387-95086-0
3. Мерцбахер 1961 Глава 6. Более распространенное соглашение, используемое ниже, состоит в том, чтобы S-матрица переходила в тождество в случае свободных частиц.
4. Грейнер и Райнхардт, 1996 г. Раздел 8.2.
5. Грейнер и Райнхардт, 1996 г. Уравнение 8.44.
6. Грейнер и Райнхардт, 1996 г. Глава 9.
7. Вайнберг 2002 Глава 3. См. Особое примечание в начале раздела 3.2.
8. Вайнберг 2002 Глава 3.
9. Леонард Сасскинд, Черная дыра войны, глава 11.

использованная литература

• Л.Д. Ландо, Э. М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press. ISBN  978-0-08-020940-1. §125
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, том I, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-55001-7
• Мерцбахер, Евгений (1961), Квантовая механика, Wiley & Sons, глава 13, §3; Глава 19, §6, ISBN  0-471-59670-1
• Сакураи, Дж. Дж.; Наполитано, Дж. (2011) [1964]. Современная квантовая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. Глава 6. ISBN  978-0-8053-8291-4.
• Барут, Асим Орхан (1967). Теория матрицы рассеяния для взаимодействий элементарных частиц. Макмиллан.
• Альберт Мессия (1999). Квантовая механика. Dover Publications. ISBN  0-486-40924-4.
• Тони Филипс (ноябрь 2001 г.). «Конечномерные диаграммы Фейнмана». Что нового в математике. Американское математическое общество. Получено 2007-10-23.
• Стивен Гасиорович (1974). Квантовая физика. Wiley & Sons. ISBN  0-471-29281-8.
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля, Издательство Springer, ISBN  3-540-59179-6
• Муссардо, Г. (1992). «Некритические статистические модели: теории факторизованного рассеяния и программа начальной загрузки». Отчеты по физике. 218 (5–6): 215–379. Bibcode:1992ФР ... 218..215М. Дои:10.1016/0370-1573(92)90047-4.
• Замолодчиков, А.Б .; Замолодчиков, А.Б. (1979). «Факторизованные S-матрицы в двух измерениях как точные решения некоторых моделей релятивистской квантовой теории поля». Анналы физики. 120 (2): 253. Bibcode:1979AnPhy.120..253Z. Дои:10.1016/0003-4916(79)90391-9.