Мойял продукт - Moyal product

Эта статья о продукте по функциям на фазовом пространстве. Не следует путать с звездный продукт по градуированным посетам.

В математика, то Мойял продукт (после Хосе Энрике Мойаль; также называется звездный продукт или же Произведение Вейля – Греневольда, после Герман Вейль и Хильбранд Дж. Гроенвольд ), пожалуй, самый известный пример звездное произведение фазового пространства. Это ассоциативное некоммутативное произведение ★ функций на²ⁿ, оборудованный своим Скобка Пуассона (с обобщением на симплектические многообразия, описано ниже). Это частный случай ★ -произведения «алгебры символов» универсальная обертывающая алгебра.

Исторические комментарии

Продукт Moyal назван в честь Хосе Энрике Мойаль, но также иногда называют Weyl –Продукт Groenewold, представленный Х. Дж. Гроенвольд в его докторской диссертации 1946 года в острой оценке^[1] из Вейлевская переписка. На самом деле Мойал, похоже, не знает о продукте в своей знаменитой статье.^[2] и крайне не хватало этого в его легендарной переписке с Дираком, как показано в его биографии.^[3] Популярное название в честь Мойала, похоже, появилось только в 1970-х годах в честь его квартиры. квантование в фазовом пространстве рисунок.^[4]

Определение

Продукт для гладкие функции ж и грамм на ℝ^2п принимает форму

${\displaystyle f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\hbar ^{n}C_{n}(f,g),}$

где каждый C_п это некая бидифференциальный оператор порядка п характеризуется следующими свойствами (явную формулу см. ниже):

1. ${\displaystyle f\star g=fg+{\mathcal {O}}(\hbar )}$

   Деформация точечного произведения - подразумевается в приведенной выше формуле.

2. ${\displaystyle f\star g-g\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})\equiv i\hbar \{\{f,g\}\}}$

   Деформация скобки Пуассона, называемая Кронштейн Мойял.

3. ${\displaystyle f\star 1=1\star f=f}$

   1 недеформированной алгебры также является единицей в новой алгебре.

4. ${\displaystyle {\overline {f\star g}}={\overline {g}}\star {\overline {f}}}$

   Комплексное сопряжение - это антилинейный антиавтоморфизм.

Обратите внимание, что если кто-то хочет взять функции, оцененные в действительные числа, то альтернативный вариант устраняет ${\displaystyle i}$ в условии 2 и исключает условие 4.

Если ограничиться полиномиальными функциями, указанная выше алгебра изоморфна Алгебра Вейля А_п, и оба предлагают альтернативные реализации Карта Вейля пространства многочленов от п переменные (или симметрическая алгебра векторного пространства размерности 2п).

Чтобы предоставить явную формулу, рассмотрим константу Бивектор Пуассона Π на ℝ^2п:

${\displaystyle \Pi =\sum _{i,j}\Pi ^{ij}\partial _{i}\wedge \partial _{j},}$

где Π^ij комплексное число для каждого я, j.^{[требуется разъяснение ]}

Звездный продукт двух функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ тогда можно определить как

${\displaystyle f\star g=fg+{\frac {i\hbar }{2}}\sum _{i,j}\Pi ^{ij}(\partial _{i}f)(\partial _{j}g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\sum _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{km}(\partial _{i}\partial _{k}f)(\partial _{j}\partial _{m}g)+\ldots ,}$

где ħ - приведенная постоянная Планка, здесь рассматривается как формальный параметр. Это частный случай того, что известно как Формула Березина^[5] на алгебре символов и можно дать замкнутый вид^[6] (что следует из Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа ). Закрытая форма может быть получена с помощью экспоненциальный:

${\displaystyle f\star g=m\circ e^{{\frac {i\hbar }{2}}\Pi }(f\otimes g),}$

куда ${\displaystyle m}$ это карта умножения, ${\displaystyle m(a\otimes b)=ab}$, а экспонента рассматривается как степенной ряд:

${\displaystyle e^{A}:=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}.}$

То есть формула для ${\displaystyle C_{n}}$ является

${\displaystyle C_{n}={\frac {i^{n}}{2^{n}n!}}m\circ \Pi ^{n}.}$

Как указано, часто исключаются все вхождения ${\displaystyle i}$ выше, и тогда формулы естественным образом ограничиваются действительными числами.

Обратите внимание, что если функции ж и грамм являются полиномами, указанные выше бесконечные суммы становятся конечными (сводя их к обычному случаю алгебры Вейля).

Связь произведения Мойала с обобщенным ★ -произведением, использованная в определении «алгебры символов» универсальная обертывающая алгебра следует из того, что Алгебра Вейля универсальная обертывающая алгебра Алгебра Гейзенберга (по модулю, что центр равен единице).

На многообразиях

На любом симплектическом многообразии можно, по крайней мере локально, выбрать координаты так, чтобы симплектическая структура постоянный, к Теорема Дарбу; и, используя связанный бивектор Пуассона, можно рассмотреть приведенную выше формулу. Чтобы оно работало глобально, как функция на всем многообразии (а не только как локальная формула), необходимо снабдить симплектическое многообразие симплектическим многообразием без кручения. связь. Это делает его Федосовское многообразие.

Более общие результаты для произвольные пуассоновы многообразия (где теорема Дарбу не применяется) задаются Формула квантования Концевича.

Примеры

Простой явный пример построения и полезности ★-произведение (для простейшего случая двумерного евклидова фазовое пространство ) приведено в статье о Преобразование Вигнера – Вейля: два гауссианца сочиняют с этим ★-произведение по закону гиперболического тангенса:^[7]

${\displaystyle \exp \left[-a\left(x^{2}+p^{2}\right)\right]\star \exp \left[-b\left(x^{2}+p^{2}\right)\right]={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left[-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}\left(x^{2}+p^{2}\right)\right].}$

(Обратите внимание на классический предел, час → 0.)

Каждый заочный рецепт между фазовым пространством и гильбертовым пространством, однако, индуцирует свой собственный правильный ★-товар.^[8][9]

Подобные результаты видны в Пространство Сегала – Баргмана. и в тета-представление из Группа Гейзенберга, где операторы создания и уничтожения ${\displaystyle a^{*}=z}$ и ${\displaystyle a=\partial /\partial z}$ считаются действующими на комплексной плоскости (соответственно верхняя полуплоскость для группы Гейзенберга), так что операторы положения и импульса имеют вид ${\displaystyle x=(a+a^{*})/2}$ и ${\displaystyle p=(a-a^{*})/(2i)}$. Эта ситуация явно отличается от случая, когда позиции считаются действительными, но дает представление об общей алгебраической структуре алгебры Гейзенберга и ее оболочки, алгебры Вейля.

Рекомендации

1. Х. Дж. Гроенвольд "О принципах элементарной квантовой механики ", Physica,12 (1946) стр. 405–460.
2. Moyal, J.E .; Бартлетт, М. С. (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества. 45: 99. Bibcode:1949PCPS ... 45 ... 99M. Дои:10.1017 / S0305004100000487.
3. Энн Мойал "Математик Maverick: жизнь и наука Дж. Э. Мойала ", Электронная пресса АНУ, 2006 г.
4. Curtright, T. L .; Захос, К. К. (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона. 1: 37. arXiv:1104.5269. Дои:10.1142 / S2251158X12000069.
5. Ф. А. Березин, "Несколько замечаний об ассоциированной оболочке алгебры Ли", Функц. Анальный. Appl. 1 (1967) стр. 91.
6. Ксавье Бекарт "Универсальные обертывающие алгебры и некоторые приложения в физике " (2005) Лекция, Летняя школа по математической физике в Модаве.
7. К. Захос, Д. Фэрли, и Т. Кертрайт "Квантовая механика в фазовом пространстве" (World Scientific, Сингапур, 2005 г.) ISBN  978-981-238-384-6.
8. Коэн, Л. (1995) Частотно-временной анализ, Прентис-Холл, Нью-Йорк, 1995. ISBN  978-0135945322.
9. Ли, Х. В. (1995). «Теория и приложения квантовых функций распределения в фазовом пространстве». Отчеты по физике. 259 (3): 147. Bibcode:1995ФР ... 259..147Л. Дои:10.1016/0370-1573(95)00007-4.