Связь (математика) - Connection (mathematics)

В геометрия, понятие связь уточняет идею переноса данных по кривой или семейству кривых в параллельно и последовательным образом. В современной геометрии существуют различные виды связей, в зависимости от того, какие данные нужно транспортировать. Например, аффинная связь, самый простой тип соединения, дает возможность параллельной транспортировки касательные векторы на многообразие из одной точки в другую по кривой. Аффинная связь обычно задается в виде ковариантная производная, что дает возможность принимать производные по направлению векторных полей, измеряя отклонение векторное поле от параллельности в заданном направлении.

Связи имеют центральное значение в современной геометрии в значительной степени потому, что они позволяют сравнивать локальную геометрию в одной точке и локальную геометрию в другой точке. Дифференциальная геометрия включает несколько вариаций на тему связи, которые делятся на две основные группы: бесконечно малые и локальные теории. Локальная теория занимается прежде всего понятиями параллельный транспорт и голономия. Теория бесконечно малых занимается дифференциацией геометрических данных. Таким образом, ковариантная производная - это способ определения производная векторного поля вдоль другого векторного поля на многообразии. А Картановое соединение это способ сформулировать некоторые аспекты теории связи с использованием дифференциальные формы и Группы Ли. An Связь Ehresmann это связь в пучок волокон или основной пакет указав разрешенные направления движения поля. А Кошульская связь является связью, определяющей производную по направлению для участков векторный набор более общий, чем касательный пучок.

Связи также приводят к удобной формулировке геометрические инварианты, такой как кривизна (смотрите также тензор кривизны и форма кривизны ), и тензор кручения.

Мотивация: непригодность координат

Параллельный транспорт (черная стрелка) на сфере. Синие и красные стрелки обозначают параллельные перевозки в разных направлениях, но заканчивающиеся в одной и той же нижней правой точке. Тот факт, что они в конечном итоге направлены в разные стороны, является результатом кривизны сферы.

Рассмотрим следующую проблему. Предположим, что касательный вектор к сфере S задается на северном полюсе, и мы должны определить способ последовательного перемещения этого вектора к другим точкам сферы: средство для параллельный транспорт. Наивно, что это можно было сделать с помощью особого система координат. Однако без должной осторожности параллельный перенос, определенный в одной системе координат, не согласуется с перемещением в другой системе координат. Более подходящая система параллельной транспортировки использует симметрию вращающейся сферы. Имея вектор на северном полюсе, можно переносить этот вектор по кривой, вращая сферу таким образом, чтобы северный полюс двигался по кривой без осевого качения. Это последнее средство параллельного транспорта является Леви-Чивита связь на сфере. Если даны две разные кривые с одинаковой начальной и конечной точками и вектором v жестко перемещается по первой кривой путем поворота, результирующий вектор в конечной точке будет отличается от вектор в результате жесткого движения v по второй кривой. Это явление отражает кривизна сферы. Простое механическое устройство, которое можно использовать для визуализации параллельной транспортировки, - это колесница, указывающая на юг.

Например, предположим, что S задается координатами стереографическая проекция. Внимание S как состоящий из единичных векторов в р³. потом S несет пару координатных пятен: одна покрывает окрестности северного полюса, а другая - южного полюса. Отображения

{ displaystyle { begin {align} varphi _ {0} (x, y) & = left ({ frac {2x} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}}, { гидроразрыв {2y} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}}, { frac {1-x ^ {2} -y ^ {2}} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}} right) [8pt] varphi _ {1} (x, y) & = left ({ frac {2x} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}} }, { frac {2y} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}}, { frac {x ^ {2} + y ^ {2} -1} {1 + x ^ {2 } + y ^ {2}}} right) end {align}}}

покрыть район U₀ северного полюса и U₁ южного полюса соответственно. Позволять Икс, Y, Z быть окружающими координатами в р³. Тогда φ₀ и φ₁ иметь обратные

{ displaystyle { begin {align} varphi _ {0} ^ {- 1} (X, Y, Z) & = left ({ frac {X} {Z + 1}}, { frac {Y } {Z + 1}} right), [8pt] varphi _ {1} ^ {- 1} (X, Y, Z) & = left ({ frac {-X} {Z-1 }}, { frac {-Y} {Z-1}} right), end {align}}}

так что функция перехода координат инверсия по кругу:

{ displaystyle varphi _ {01} (x, y) = varphi _ {0} ^ {- 1} circ varphi _ {1} (x, y) = left ({ frac {x} { x ^ {2} + y ^ {2}}}, { frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} right)}

Теперь представим векторное поле ${ displaystyle v}$ на S (присвоение касательного вектора каждой точке в S) в локальных координатах. Если п это точка U₀ ⊂ S, то векторное поле может быть представлено продвигать векторного поля v₀ на р² к ${ displaystyle varphi _ {0}}$ :

{ Displaystyle v (P) = J _ { varphi _ {0}} ( varphi _ {0} ^ {- 1} (P)) cdot { mathbf {v}} _ {0} ( varphi _ {0} ^ {- 1} (P)) qquad (1)}

куда ${ displaystyle J _ { varphi _ {0}}}$ обозначает Матрица якобиана из φ₀ ( ${ displaystyle d { varphi _ {0}} _ {x} ({ mathbf {u}}) = J _ { varphi _ {0}} (x) cdot { mathbf {u}}}$ ), и v₀ = v₀(Икс, у) - векторное поле на р² однозначно определяется v (поскольку продвижение локальный диффеоморфизм в любой точке обратима). Кроме того, на перекрытии координатных карт U₀ ∩ U₁, можно представить такое же векторное поле относительно φ₁ координаты:

{ Displaystyle v (P) = J _ { varphi _ {1}} ( varphi _ {1} ^ {- 1} (P)) cdot { mathbf {v}} _ {1} ( varphi _ {1} ^ {- 1} (P)). Qquad (2)}

Чтобы связать компоненты v₀ и v₁, примените Правило цепи к тождеству φ₁ = φ₀ o φ₀₁:

{ Displaystyle J _ { varphi _ {1}} ( varphi _ {1} ^ {- 1} (P)) = J _ { varphi _ {0}} ( varphi _ {0} ^ {- 1} (P)) cdot J _ { varphi _ {01}} ( varphi _ {1} ^ {- 1} (P)). ,}

Применяя обе части этого матричного уравнения к вектору компонентов v₁(φ₁⁻¹(п)) и использование (1) и (2) дает

{ displaystyle { mathbf {v}} _ {0} ( varphi _ {0} ^ {- 1} (P)) = J _ { varphi _ {01}} ( varphi _ {1} ^ {- 1} (P)) cdot { mathbf {v}} _ {1} ( varphi _ {1} ^ {- 1} (P)). Qquad (3)}

Теперь мы подошли к основному вопросу о том, как перемещать векторное поле параллельно вдоль кривой. Предположим, что п(т) - кривая в S. Наивно, можно считать векторное поле параллельным, если компоненты координат векторного поля постоянны вдоль кривой. Однако сразу возникает двусмысленность: в который система координат должны ли эти компоненты быть постоянными?

Например, предположим, что v(п(т)) имеет постоянные компоненты в U₁ система координат. То есть функции v₁(φ₁⁻¹(п(т))) постоянны. Однако применяя правило продукта к (3) и используя тот факт, что dv₁/dt = 0 дает

{ displaystyle { frac {d} {dt}} { mathbf {v}} _ {0} ( varphi _ {0} ^ {- 1} (P (t))) = left ({ frac {d} {dt}} J _ { varphi _ {01}} ( varphi _ {1} ^ {- 1} (P (t))) right) cdot { mathbf {v}} _ {1 } ( varphi _ {1} ^ {- 1} (P (t))).}

Но ${ displaystyle left ({ frac {d} {dt}} J _ { varphi _ {01}} ( varphi _ {1} ^ {- 1} (P (t))) right)}$ всегда является невырожденной матрицей (при условии, что кривая п(т) не стационарен), поэтому v₁ и v₀ никогда не может быть одновременно постоянным вдоль кривой.

Разрешение

Проблема, отмеченная выше, заключается в том, что обычный производная по направлению из векторное исчисление плохо себя ведет при изменении системы координат применительно к компонентам векторных полей. Из-за этого довольно сложно описать, как переводить векторные поля параллельным способом, если такое понятие вообще имеет смысл. Есть два принципиально разных пути решения этой проблемы.

Первый подход заключается в изучении того, что требуется для обобщения производной по направлению, чтобы «вести себя хорошо» при координатных переходах. Это тактика, принятая ковариантная производная подход к связям: хорошее поведение приравнивается к ковариация. Здесь рассматривается модификация производной по направлению некоторой линейный оператор, компоненты которого называются Символы Кристоффеля, который не содержит производных от самого векторного поля. Производная по направлению D_тыv компонентов вектора v в системе координат φ в направлении ты заменены на ковариантная производная:

{ displaystyle nabla _ { mathbf {u}} { mathbf {v}} = D _ { mathbf {u}} { mathbf {v}} + Gamma ( varphi) {{ mathbf {u }}, { mathbf {v}} }}

где Γ зависит от системы координат φ и является билинейный в ты и v. В частности, Γ не содержит производных на ты или же v. В этом подходе Γ должна преобразовываться заданным образом, когда система координат φ изменяется на другую систему координат. Это преобразование не тензорный, поскольку речь идет не только о первая производная координатного перехода, но и его вторая производная. Задания закона преобразования Γ недостаточно для однозначного определения Γ. Некоторые другие условия нормализации должны быть наложены, обычно в зависимости от типа рассматриваемой геометрии. В Риманова геометрия, то Леви-Чивита связь требует совместимости Символы Кристоффеля с метрика (а также определенное условие симметрии). С этими нормализацией соединение определяется однозначно.

Второй подход - использовать Группы Ли чтобы попытаться уловить какой-то остаток симметрии в пространстве. Это подход Картановые соединения. Приведенный выше пример с использованием вращения для указания параллельного переноса векторов на сфере очень похож на это.

Исторический обзор связей

Исторически связи изучались с бесконечно малый перспектива в Риманова геометрия. Изучение бесконечно малых связей началось до некоторой степени с Элвин Кристоффель. Позже это было рассмотрено более подробно Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита (Леви-Чивита и Риччи 1900 ), который частично заметил, что связь в бесконечно малом смысле Кристоффеля также допускает понятие параллельный транспорт.

Работа Леви-Чивита была сосредоточена исключительно на том, чтобы рассматривать связи как своего рода дифференциальный оператор чьи параллельные перемещения были тогда решениями дифференциальные уравнения. По мере развития двадцатого века, Эли Картан разработал новое понятие связи. Он стремился применить технику Системы Пфаффа к геометрии Феликс Кляйн с Программа Эрланген. В ходе этих исследований он обнаружил, что некое бесконечно малое понятие связи ( Картановое соединение ) мог быть применен к этим геометриям и многому другому: его концепция соединения допускала наличие кривизна которые в противном случае отсутствовали бы в классической геометрии Клейна. (См., Например, (Картан 1926 ) и (Картан 1983 ).) Кроме того, используя динамику Гастон Дарбу Картан смог обобщить понятие параллельного переноса для своего класса бесконечно малых связей. Это установило еще одну важную черту в теории связей: связь - это определенный вид дифференциальная форма.

Две нити в теории связи сохраняются до сих пор: связь как дифференциальный оператор и связь как дифференциальная форма. В 1950 г. Жан-Луи Кошул (Кошул 1950 ) дал алгебраическую основу для рассмотрения связности как дифференциального оператора с помощью Кошульская связь. Связь Кошуля была более общей, чем связь Леви-Чивита, и с ней было легче работать, потому что она, наконец, смогла устранить (или, по крайней мере, скрыть) неловкое Символы Кристоффеля из формализма связи. Сопутствующие операции параллельного смещения также имели естественную алгебраическую интерпретацию в терминах связи. Определение Кошуля впоследствии было принято большинством специалистов по дифференциальной геометрии, поскольку оно эффективно преобразовало аналитический соответствие между ковариантным дифференцированием и параллельным переносом на алгебраический один.

В том же году Чарльз Эресманн (Эресманн 1950 ), ученик Картана, представил вариацию связи как дифференциальную форму представления в контексте основные связки и, в более общем плане, пучки волокон. Связи Ehresmann не были, строго говоря, обобщением картановских связей. Картановские связи были довольно жестко привязаны к нижележащей дифференциальная топология многообразия из-за их связи с Метод эквивалентности Картана. Связи Эресмана были довольно прочной основой для просмотра фундаментальных работ других геометров того времени, таких как Шиинг-Шен Черн, которые уже начали отходить от связей Картана, чтобы изучить то, что можно было бы назвать манометрические соединения. С точки зрения Эресмана, соединение в основном связке состоит из спецификации горизонтальный и вертикальный векторные поля на общей площади пачки. Параллельный перенос - это подъем кривой от основания до кривой в основном горизонтальном пучке. Эта точка зрения оказалась особенно ценной при изучении голономия.

Возможные подходы

Довольно прямой подход - указать, как ковариантная производная действует на элементы модуль из векторные поля как дифференциальный оператор. В более общем плане аналогичный подход применяется к связи в любом векторный набор.
Традиционная индексная нотация определяет соединение по компонентам; видеть Символы Кристоффеля. (Примечание: имеет три индекса, но нет а тензор ).
В псевдориманов и Риманова геометрия в Леви-Чивита связь особая связь, связанная с метрический тензор.
Это примеры аффинные связи. Также существует понятие проективная связь, из которых Производная Шварца в комплексный анализ это экземпляр. В более общем смысле, как аффинные, так и проективные связи являются типами Картановые соединения.
С помощью основные связки, соединение может быть реализовано как Алгебра Ли -значен дифференциальная форма. Видеть подключение (основной пакет).
Подход к соединениям, который напрямую использует понятие транспортировки «данных» (что бы это ни было), является Связь Ehresmann.
Наиболее абстрактный подход может быть предложен Александр Гротендик, где Связь Гротендика рассматривается как спуск данные из бесконечно малых окрестностей диагональ; видеть (Оссерман 2004 ).

Смотрите также

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Связь (математика) в Wikimedia Commons
Подключения в Manifold Atlas